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四川乐山市高中2026届高三第二次调查研究考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则( )
A. B. C. D.
2.复数与的积是实数的充要条件是( )
A. B. C. D.
3.在中，，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.定义平面斜坐标系，记，，分别为轴、轴正方向上的单位向量．若，则称为的斜坐标已知，的斜坐标分别为，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
7.在的展开式中，含项的系数是( )
A. B. C. D.
8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是( )
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的前项和为，且，，则( )
A. 公比 B. 数列是单调递减数列
C. D.
10.某水果店店长记录了过去天苹果的日销售量数据单位：：
销量
频数
店长假设日销售量近似服从正态分布，，，根据上述数据，下列说法正确的有( )
A. 可以估计约为
B. 日销售量在范围内的天数约为天
C. 若日销售量超过的概率为，则
D. 若未来连续天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布
11.已知函数两相邻对称中心的距离为，，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的对称中心为
C. 若有两个零点，，则
D. 当其中一个零点时，最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点在抛物线上，是抛物线的焦点，则 ．
13.已知函数在区间上的最小值为，则 ．
14.已知正方体，为的中心，为的中点，过、两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求的通项公式；
证明：．
16.本小题分
已知．
讨论的单调性；
当时，在最大值为，最小值为，求此时，的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，且底面是等腰梯形，，，．
若平面平面，求证：；
若平面平面，求与所成角的余弦值．
18.本小题分
年马年春晚武节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为，少年武者获胜的概率为，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制即先赢得局者获胜．
当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望；
设在该赛制下机器人获胜的概率为．
求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利；
随着的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论．
19.本小题分
已知椭圆的中心为，离心率为，且过点．
求椭圆的标准方程；
直线，与轴交于点，过点的直线与分别交于点，，椭圆的下焦点为，直线，分别交直线于点，，记直线，，的斜率分别为，，．
若，探究是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；
若，使得，，，四点共圆，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：当时，，
则，，，，
所以，即．
所以．
当时，满足上式，
故的通项公式为．
由知，，则，
所以，
因为，所以，则，因此，
故．

16.解：，
当时，令，所以函数在上单调递增，
令，所以函数在上单调递减；
当时，令，或，所以函数在和上单调递增，
令，所以函数在上单调递减；
当时，令，所以函数在上单调递增；
令，或，所以函数在和上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；
由可知：当时，函数在上单调递增，
所以当时，函数单调递增，
所以有，解得．

17.解：因为，且平面，平面，故平面，
又平面，平面平面，故，即；
由题意知底面是等腰梯形，，，
延长交于一点，设为，则为等边三角形，且也为等边三角形，
结合，可得，则为的中位线，故，
由于平面，平面，故为平面和平面的一个交点，
而为平面和平面的一个交点，
故即为平面和平面的交线，
由于平面，
故以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，
设与所成角为，则．

18.解：当时，赛制为三局两胜制，故的可能取值为，
，
，
所以的分布列为：
因为每局比赛中，机器人获胜的概率为，
由题可知为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或，
所以，
为局胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或，
，
所以，
所以时，局胜制对机器人更有利．
随着的增大，机器人获胜的可能性越来越大．
证明如下：
由可知，，
下面讨论局与前局的递推关系：
若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜，
其概率为，即．
若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜，
其获胜概率为，即．
若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜，
其获胜概率为．
，
，
，，即

19.解：因为椭圆的中心为，离心率为，且过点，
所以；
是定值，定值为，理由如下：
当时，点坐标为，下焦点的坐标为，
直线的方程为，与椭圆的方程联立，得
，或，
设，，
，
，
所以；
假设，使得，，，四点共圆成立，
此时直线的方程为，与椭圆的方程联立，得
，
设，，
因为直线与直线垂直，因此，必在纵轴同侧．
因为该椭圆关于纵轴对称，因此先考虑，在纵轴左侧情形，此时，
直线的方程为，令，得，
同理可得，显然有，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
因为，，，四点共圆，
所以，于是有，
，
，
，
设，，
所以，显然函数在上单调递增，
于是当时，，所以，
所以函数在上单调递增，
于是当时，，
即，
因为，所以，
当，在纵轴右侧情形，此时，
同理可得，
综上所述：的取值范围为．

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