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2025-2026 学年第二学期九年级一模数学试卷
一、选择题（共 30 分，每小题 3 分）
1．下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，是正分数的是（ ）．
A． B． C． D．
3．若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形
4．已知关于 x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
5．如图， ， 是 的两条切线， ， 是切点，点 在圆上．若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
6．一个不透明的盒子中有 个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中
摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在 左右，则盒
中红球的个数约有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．已知正比例函数 （k为常数，且 ）的图象与反比例函数 的图象交于 ，
两点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作 轴，交 于点 D，垂足为 C，若 的
面积为 ，D为 的中点，则 k的值为（ ）
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A． B．1 C． D．
9．如图，在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转至 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，其中抛物线图像与 x轴负半轴交点横坐标
，则以下五个结论中，正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共 24 分，每小题 3 分）
11．若 m、n为正整数，且满足 ，当 时，m的值有______个．
12．分解因式： ______．
13．若 m是方程 的一个根，则代数式 的值为______．
14．如图，将正方形 绕点 逆时针旋转 得到正方形 ，若 ，则 的长为______．
15．如图， 是 的直径， 与 相切于点 B，连接 ，交 于点 D， ，点 E在
上，则 ________ ．
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16．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点 B落在边 上，记为点 ，折痕为 ，已知
， ， ，那么 的长度是________．
17．如图， 为半圆 的直径，弦 ，点 在 上，连接 ， ．若 ，
，则 的值为___________．
18．如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中 ；俯视图中 ， ；
左视图中 、 ．则这个四棱柱的侧面面积为______．
三、解答题（共 66 分）
19．（6分）如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系
的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点 的坐标为 ．
(1)将 绕原点 顺时针旋转 ，得到 ，在所给的网格图中画出 ；
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(2)在所给的网格图中找到两点 ，使得 均在线段 的垂直平分线上，并写出点 和点 的坐
标．
20．（6分）计算与解不等式组：
(1)计算： ；
(2)解不等式组： ．
21．（6分）俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只
能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”
的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，求每天“遗忘”的百分比．（参考数据： ）
22．（8分）如图，在菱形 中，点 E、F分别在边 上，且 ．连接 ，延长
交 的延长线于点 G．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
23．（8分）如图，在正方形 ABCD中，E、F是对角线 BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点 A顺时
针旋转 90°后，得到△ABQ，连接 EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
24．（8分）如图，四边形 内接于 ，点 E在 的延长线上， ，连接 交
于点 F，连接 ．
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(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
25．（8分）如图， 的顶点 在坐标原点，点 在 轴上， ，反比例函数
的图象经过 的中点 ，交 于点 ，点 的坐标为 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点 的坐标．
26．（6分）2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺．一架无人机在着陆坡坡道 上
方水平向右飞行跟踪拍摄．当谷爱凌在 点时，无人机在她仰角为 45°的斜上方 处；当谷爱凌到达 点时，
无人机恰好飞到她正上方 处．已知坡道 的坡度为 ，坡长 米，无人机水平飞行距离
米，求无人机离地面的高度 的长．（ ，结果保留整数．）
27．（10分）如图 1，抛物线 与 轴交于 两点，对称轴是直线 ，图象与 轴
交于点 ，连接 ．
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(1)（3分）求抛物线的解析式；
(2)（3分）点 是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接 ，当 时，求点 的坐
标；
(3)（4分）如图 2，点 是线段 上一动点， 的坐标 ，连接 ，求 的最小值．
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答案
1-5 CDABC 6-10 BDCDC
11．6
12．
13．
14．
15．40
16．4
17．
18．
19．（1）如图所示 即为所求，
（2）如图所示 即为所求，点 （答案不唯一）．
20．(1) ； (2)
21．设每天“遗忘”的百分比为 ，
由题意得： ，
解得： ， （大于 ，舍去）．
，
答：每天“遗忘”的百分比约为 ．
22．（1）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵
∴ ；
（2）∵四边形 是菱形，
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∴ ， ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ．
23．（1）∵将△ADF绕点 A顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，
∴∠QAF=90°，AQ=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠QAE=45°，
在△AQE和△AFE中，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）∵将△ADF绕点 A顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，
∴∠ABQ=∠ADF=45°，QB=DF，
∴∠QBE=∠ABQ+∠ABE=90°，
由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在 Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，
则 EF2=BE2+DF2．
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24．（1）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，连接 并延长交 于点 G，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
25．（1）设反比例函数的表达式为 ，
将点 代入 中，得 ，
反比例函数的表达式 ．
（2）如图，过点 作 ，垂足为 ，
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点 为 的中点， ，
为 的中点，
，
点的横坐标为 ，代入 中得 ，
点 的坐标为 ．
26．如图，过点 作 地面于点 ，过点 作 地面于点 ，交 于点 ，
四边形 、四边形 是矩形，
， ， 米， ，
坡道 的坡度为 ，
，
设 米，则 米，
米，
米，
，
解得 ，
米， 米，
米， 米，
米，
，
米，
米，
米．
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27．（1）∵ ，对称轴是直线 ，
∴ ， ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，过点 作 平行线，交抛物线于点 ，此时 ，
令 ，
则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得 ，
∴设直线 的解析式为 ，
联立解析式： ，
解得： ， ，
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∴点 的坐标为 ；
（3）如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 3．
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