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上海市虹口区2026届高三二模考试数学试卷
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.双曲线的渐近线是 ．
A. B. C. D.
2.已知和分别表示事件和事件发生的概率，且，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是 ．
A. B.
C. D.
3.一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得 ．
A. 为严格增数列
B. 为公差不为零的等差数列．
C. 为等比数列其中，
D. 为周期数列
4.设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是( )
结论：若当，恒有，则函数一定是偶函数；
结论：若当，恒有，则函数可以不是偶函数．
A. 和都正确 B. 正确，错误 C. 错误，正确 D. 和都错误
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.设全集为，集合，则 ．
6.已知一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为 ．
7.已知离散型随机变量服从二项分布，则 ．
8.设，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
9.某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为 用“拒绝”或“接受”填空
10.在中，，，，则 ．
11.将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则 ．
12.在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则 ．
13.已知复数满足是实数，则的最小值为 ．
14.已知焦点为的抛物线上有两点和，且，为和的中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为 ．
15.某种健身拉力器的手臂固定支架为，需运动者将肩关节放置于点处，手肘放置于点处，手掌放置于点处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点处；保持、、、四点共线．将小臂视为线段，长度为，大臂视为线段，长度为在锻炼时要求保持肩关节和手肘不动，运用大臂力量将小臂绕着手肘作圆周运动，始终与处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从拉伸至已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时 度．结果精确到度
16.在以为原点的空间直角坐标系中，设，，和是两个点集，设，对任意的，总存在，使得若，且，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在底面半径为，侧面积为的圆锥中，、、为底面圆周上不同的三个点，
求直线与平面所成角的正弦值
设点为线段上的动点不含端点和，求证直线与不垂直
18.本小题分
班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告报告指出，高三学生每周平均手机使用时长单位：小时总体上服从正态分布
小明老师将自己所带班级共名学生视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过小时的人数，在此估算基础上若在全班任选位同学，则至少有位同学的每周平均手机使用时长超过小时的概率是多少结果用最简分数表示
参考数据：若．则
小明老师发现小虹同学每周平均手机使用时长超过小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后周小虹每周手机使用时长与相应该周数学练习得分每周练习难度相同且满分均为分，制成表以这组数据建立回归方程请求出实数的值
表
第周 第周 第周 第周 第周
手机使用时长
练习得分
受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长小明老师统计发现该计划表中若第天能复习时长超过小时记为“高效复习”，则第天也能“高效复习”的概率为若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为设，为正整数表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效求证：数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效．
19.本小题分
设．
解不等式：；
设，若存在，使得，求实数的取值范围．
20.本小题分
设椭圆的左顶点为．
求的离心率；
设的左焦点为，上顶点为，若点在上且位于轴右侧．，求点的横坐标；
设直线，与交于不同的两点和，若点在以为直径的圆外，求实数的取值范围．
21.本小题分
若对于定义在上的函数，设是的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质”
分别判断函数和是否在上具有“性质”；无需说明理由
设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围；
若函数在上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.拒绝
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.略
18.略
19.解：因为，，
所以，得，
故的解集为；
，则，
因为关于原点对称，所以在上为奇函数，
易得，
因为，等号成立时，所以，
则在上单调递增，
若存在，使得，
则存在，使得，
则存在，使得，即，
因为函数图象关于对称，其在上的最小值为，则，
故实数的取值范围为．

20.解：由椭圆方程可得，，所以．
由条件可知，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
，因为，所以，
所以直线的方程为，
联立椭圆：
所以或，
又因为点位于轴右侧，所以的横坐标为．
设，，联立椭圆
先确定有两个交点，即，
即，
所以．
因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角，
而点在以为直径的圆外，所以，等价于，
由，，
所以，
即．
将，代入可得，
，
，
解得或，结合，
所以．

21.解：因为是严格增函数，则根据“性质”的定义可知，函数在上具有“性质”；
因为，则函数在上不具有“性质”
当时，此时在和上单调递增，函数在上具有“性质”
当时，此时在和上单调递减，函数在上具有“性质”
当时，函数在区间不单调，在不具有“性质”
当时，此时在上单调递减，在上单调递增，
要使函数在上具有“性质”，
则需满足或，即或，
整理得或，解得或或，
又，得或．
当时，函数在区间不单调，在上不具有“性质”
综上，实数的取值范围是．
证明：因为函数在上具有“性质”，其图像是连续曲线，在上单调．
若单调递减，假设中至少有个元素，则，单调递减，
，矛盾，因此最多一个元素．
若单调递增，假设中至少有个元素，则．
对，若，由于单调递增，，矛盾
若，由于单调递增，，矛盾．
因此对，必有，即，是无限集．
令是连续函数，若单调递增：
若对所有都成立，则，与矛盾．
若对所有都成立，则，与矛盾．
故存在，使，由零点存在定理，，使，即，非空．
若单调递减：
当，，，
由零点存在定理，使，非空．
综上，要么是单元素集，要么是无限集，命题得证．

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