资源简介

第1讲 实数
◎2022年版课标要求
①理解负数的意义（新增）；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
③了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成（新增），了解实数与数轴上的点一一对应.
④能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.（新增）
⑤能借助数轴理解相反数和绝对值的意义（新增），会求实数的相反数和绝对值.
⑥理解乘方的意义.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.⑤能运用有理数的运算解决简单问题.
⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算.
⑧会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.
◎备考策略
复习时熟练掌握实数的有关概念及运算，做好基础的计算类题目。
◎链接教材
人教：七上P1～P52，七下P53～P62，八上P142～P145；华师：七上P9～P80，八上P1～P16，八下P17～P21；北师：七上P22～P76，八上P33～P40.
◎课时安排
建议1-2课时
◎教学过程
考点1　 正负数的意义及实数的分类
正数与 负数 (1)大于　① 　的数叫作正数，在正数前面加上符号“－”的数叫作　② 　.　③ 　既不是正数也不是负数. (2)用正负数可以表示具有相反意义的量
实数的 分类 (1)按定义分类 实 (2)按性质分类：正实数、0、负实数
例1 (2024凉山州)下列各数中：5，－，－3，0，－25.8，＋2，负数有(　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2 某天，月球表面白天的最高温度为零上126 ℃，如果把它记作＋126 ℃，那么夜间的最低温度零下150 ℃记作 ℃.
变式2－1 (2025河南)在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作＋4个，那么该队失3个球记作(　 　)
A.＋3个 B.－3个 C.＋4个 D.－4个
变式2－2 (2025辽宁)在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量0.02 g记作＋0.02 g，那么低于标准质量0.01 g记作 g.
例3 (2025广州)下列四个选项中，属于负无理数的是(　 　)
A.－ B.－1 C.0 D.3
变式3 有下列各数：0，0.，－，，－π，，3.131 131 113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)，其中，无理数的个数是(　 　)
A.2 B.3
C.4 D.5
常见的无理数类型：
(1)开方开不尽的数；
(2)最终结果含π的数；
(3)像0.010 010 001 …(相邻两个1之间0的个数逐次加1)类型的无限不循环小数.
考点2　 实数的有关概念 重点
数轴 (1)规定了　⑦ 　、　⑧ 　和　⑨ 　的直线称为数轴； (2)实数与数轴上的点一一对应； (3)如图，若数轴上A，B两点所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离为　⑩ 　，线段AB的中点C对应的实数为　 　
相反数 (1)只有符号不同的两个数叫作互为相反数； (2)实数a的相反数是　 　，特别地，0的相反数是　 　
绝对值 (1)数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作｜a｜. (2)｜a｜＝ (3)｜a｜具有非负性，即｜a｜≥0
倒数 (1)乘积是1的两个数互为倒数，即若ab＝1，则a，b互为倒数. (2)实数a(a≠0)的倒数是　 　
例4 (1)(2025成都模拟)－的倒数是(　 　)
A. B.－ C. D.－
(2)(2025宜宾)2 025的相反数是(　 　)
A.－2 025 B.2 025 C. D.－
(3)(2025乐山模拟)化简：｜－2｜＝ .
变式4 如图，点M表示的数是m，下列各点中，表示m的相反数的是(　 　)
A.点A B.点B C.点C D.点D
例5 若数轴上的点A表示的数是－2，那么与点A相距3个单位长度的点表示的数是(　 　)
A.1 B.±1 C.－5 D.1或－5
变式5 (2025泸州模拟)如图，已知AB＝AC，点B到数轴的距离为1，则数轴上点C所表示的数为 .
考点3　 实数的大小比较与估算　 重点
实数的 大小比较 (1)正数　 　零，负数　 　零，正数　 　负数；两个负数作比较，　 　的反而小. (2)在数轴上表示的两个数，右边的数总是　 　左边的数. (3)若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b
实数的 估算 利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计实数的大小
例6 (2025湖南省卷)下列四个数中，最大的数是(　 　)
A.3.5 B. C.0 D.－1
变式6 (2025湖北省卷)数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是(　 　)
A.a＜b
B.a＞b
C.b＜0
D.a＞0
例7 (2025扬州)如图，数轴上点A表示的数可能是(　 　)
A.
B.
C.
D.
变式7 写出一个无理数x，使得3＜x＜4，则x可以是 (只要写出一个满足条件的x即可).
考点4　 科学记数法与近似数
科学 记数法 把一个绝对值大于10的数表示成a×10n，或把一个绝对值小于1的数表示成a×10－n(1≤｜a｜＜10，n为正整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法
近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
例8 用科学记数法表示下列各数：
(1)9 540 000＝ ；
(2)35.07万＝ ；
(3)1 400亿＝ ；
(4)0.000 074＝ .
变式8－1 (2025资阳)2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1 300万辆.将数“1 300万”用科学记数法表示为(　 　)
A.13×106 B.1.3×107 C.1.3×108 D.0.13×108
变式8－2 已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10－12秒，那么这个工具1秒可以擦除 次(用科学记数法表示).
例9 用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)566.123(精确到个位)≈ ；
(2)3.896(精确到0.01)≈ .
考点5　 实数的运算　 重点
1.四则运算
加法 法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得　 　. (3)一个数同0相加，仍得这个数
减法 法则 减去一个数等于加这个数的　 　，即a－b＝a＋　 　
乘法 法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得 0
除法 法则 除以一个不为0的数等于乘这个数的　 　，即a÷b＝a·　 　(b≠0)
运算 律 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
2.实数的常考运算
乘方 (－a)n＝
零次幂 a0＝　 　(a≠0)
负整数 指数幂 a－n＝　 　(a≠0，n是正整数)，特别地，a－1＝　 　
去绝对 值符号 ｜a－b｜＝
例10 (2025德阳模拟)计算：
×30＋×(－10)2－12 026.
变式10 计算：
－32＋12×－(－2)4÷8.
例11 (2025成都)计算：
－＋2cos 45°＋｜－2｜.
变式11 计算：
＋4cos30°－－－(－π)0.
1.(2025德阳)下列数是正数的是(　 　)
A.1 B.0 C.－1 D.－2
2.(2025遂宁)小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20 m记为“＋20 m”，那么向西跑20 m记为(　 　)
A.＋20 m B.－20 m C.＋40 m D.－40 m
3.(2025资阳)－的相反数是 (　 　)
A.－4 B.－ C. D.4
4.(2025烟台)｜－3｜的倒数是 (　 　)
A.3 B. C.－3 D.－
5.(2025江西)下列各数中，是无理数的是(　 　)
A.0 B. C.3.14 D.
6.(2025绵阳模拟)下列各数中，最小的数是(　 　)
A.－2 B.－(－2) C.－ D.－
7.(2025内江)2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员.若每颗卫星每天处理的数据量为3 500 000 000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35 000 000 000字节，将数据35 000 000 000用科学记数法表示为(　 　)
A.35×109 B.3.5×109 C.3.5×1010 D.0.35×1010
8.(2025成都)如果某天中午的气温是5 ℃，傍晚比中午下降了7 ℃，那么傍晚的气温是(　 　)
A.2 ℃ B.－2 ℃ C.－5 ℃ D.－7 ℃
9.(2025自贡)若(－4)×□＝8，则□内的数字是(　 　)
A.－2 B.2 C.4 D.－4
10.(2025广元)2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功.此次发射任务，火箭的入轨速度要达到11.2 km/s，用科学记数法表示这个速度为 m/s.
11.已知(x－2 025)2＋｜y＋1｜＝0，则yx的值是 .
12.(2025重庆)若n为正整数，且满足n＜＜n＋1，则n＝ .
13.计算：
(1)(2025达州)(－1)0－(－1)2＋；
(2)(2025乐山)＋－2sin 30°；
(3)(2025广元)－2cos 45°＋π0－；
(4)(2025遂宁)－＋＋2sin 60°.
14.(2025资阳)已知数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是(　 　)
A.＋2或－2 B.2＋或2－ C.＋2 D.－2
15.(2025北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 (　 　)
A.a＞－1 B.a＋b＝0 C.a－b＞0 D.｜a｜＞｜b｜
16.(2025南充)如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A对应的数是( 　)
A.2－2π B.π－2 C.5－2π D.2－π
17.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b＝(a＋b＞0)，如：3*2＝＝，那么8*(6*3)＝ .
18.(2025威海)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.
二进制数的组成数字为0，1.十进制数22化为二进制数：
22＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝101102.
传统三进制数的组成数字为0，1，2.十进制数22化为三进制数：
22＝2×32＋1×31＋1×30＝2113.
将二进制数10112化为三进制数为(　 　)
A.1023 B.1013 C.1103 D.123第1讲 实数
◎2022年版课标要求
①理解负数的意义（新增）；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
③了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成（新增），了解实数与数轴上的点一一对应.
④能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.（新增）
⑤能借助数轴理解相反数和绝对值的意义（新增），会求实数的相反数和绝对值.
⑥理解乘方的意义.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.⑤能运用有理数的运算解决简单问题.
⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算.
⑧会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.
◎备考策略
复习时熟练掌握实数的有关概念及运算，做好基础的计算类题目。
◎链接教材
人教：七上P1～P52，七下P53～P62，八上P142～P145；华师：七上P9～P80，八上P1～P16，八下P17～P21；北师：七上P22～P76，八上P33～P40.
◎课时安排
建议1-2课时
◎教学过程
考点1　 正负数的意义及实数的分类
正数与 负数 (1)大于　①　0　的数叫作正数，在正数前面加上符号“－”的数叫作　②　负数　.　③　0　既不是正数也不是负数. (2)用正负数可以表示具有相反意义的量
实数的 分类 (1)按定义分类 实 (2)按性质分类：正实数、0、负实数
例1 (2024凉山州)下列各数中：5，－，－3，0，－25.8，＋2，负数有(　C　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2 某天，月球表面白天的最高温度为零上126 ℃，如果把它记作＋126 ℃，那么夜间的最低温度零下150 ℃记作　－150　℃.
变式2－1 (2025河南)在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作＋4个，那么该队失3个球记作(　B　)
A.＋3个 B.－3个 C.＋4个 D.－4个
变式2－2 (2025辽宁)在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量0.02 g记作＋0.02 g，那么低于标准质量0.01 g记作　－0.01　g.
例3 (2025广州)下列四个选项中，属于负无理数的是(　A　)
A.－ B.－1 C.0 D.3
变式3 有下列各数：0，0.，－，，－π，，3.131 131 113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)，其中，无理数的个数是(　B　)
A.2 B.3
C.4 D.5
常见的无理数类型：
(1)开方开不尽的数；
(2)最终结果含π的数；
(3)像0.010 010 001 …(相邻两个1之间0的个数逐次加1)类型的无限不循环小数.
考点2　 实数的有关概念 重点
数轴 (1)规定了　⑦　原点　、　⑧　正方向　和　⑨　单位长度　的直线称为数轴； (2)实数与数轴上的点一一对应； (3)如图，若数轴上A，B两点所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离为　⑩　b－a　，线段AB的中点C对应的实数为　 　　
相反数 (1)只有符号不同的两个数叫作互为相反数； (2)实数a的相反数是　 　－a　，特别地，0的相反数是　 　0　
绝对值 (1)数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作｜a｜. (2)｜a｜＝ (3)｜a｜具有非负性，即｜a｜≥0
倒数 (1)乘积是1的两个数互为倒数，即若ab＝1，则a，b互为倒数. (2)实数a(a≠0)的倒数是　 　　
例4 (1)(2025成都模拟)－的倒数是(　D　)
A. B.－ C. D.－
(2)(2025宜宾)2 025的相反数是(　A　)
A.－2 025 B.2 025 C. D.－
(3)(2025乐山模拟)化简：｜－2｜＝　2　.
变式4 如图，点M表示的数是m，下列各点中，表示m的相反数的是(　A　)
A.点A B.点B C.点C D.点D
例5 若数轴上的点A表示的数是－2，那么与点A相距3个单位长度的点表示的数是(　D　)
A.1 B.±1 C.－5 D.1或－5
变式5 (2025泸州模拟)如图，已知AB＝AC，点B到数轴的距离为1，则数轴上点C所表示的数为　1－　.
考点3　 实数的大小比较与估算　 重点
实数的 大小比较 (1)正数　 　大于　零，负数　 　小于　零，正数　 　大于　负数；两个负数作比较，　 　绝对值大　的反而小. (2)在数轴上表示的两个数，右边的数总是　 　大于　左边的数. (3)若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b
实数的 估算 利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计实数的大小
例6 (2025湖南省卷)下列四个数中，最大的数是(　A　)
A.3.5 B. C.0 D.－1
变式6 (2025湖北省卷)数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是(　A　)
A.a＜b
B.a＞b
C.b＜0
D.a＞0
例7 (2025扬州)如图，数轴上点A表示的数可能是(　C　)
A.
B.
C.
D.
变式7 写出一个无理数x，使得3＜x＜4，则x可以是　(答案不唯一)　(只要写出一个满足条件的x即可).
考点4　 科学记数法与近似数
科学 记数法 把一个绝对值大于10的数表示成a×10n，或把一个绝对值小于1的数表示成a×10－n(1≤｜a｜＜10，n为正整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法
近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
例8 用科学记数法表示下列各数：
(1)9 540 000＝　9.54×106　；
(2)35.07万＝　3.507×105　；
(3)1 400亿＝　1.4×1011　；
(4)0.000 074＝　7.4×10－5　.
变式8－1 (2025资阳)2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1 300万辆.将数“1 300万”用科学记数法表示为(　B　)
A.13×106 B.1.3×107 C.1.3×108 D.0.13×108
变式8－2 已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10－12秒，那么这个工具1秒可以擦除　2.5×109　次(用科学记数法表示).
例9 用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)566.123(精确到个位)≈　566　；
(2)3.896(精确到0.01)≈　3.90　.
考点5　 实数的运算　 重点
1.四则运算
加法 法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得　 　0　. (3)一个数同0相加，仍得这个数
减法 法则 减去一个数等于加这个数的　 　相反数　，即a－b＝a＋　 　(－b)　
乘法 法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得 0
除法 法则 除以一个不为0的数等于乘这个数的　 　倒数　，即a÷b＝a·　 　　(b≠0)
运算 律 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
2.实数的常考运算
乘方 (－a)n＝
零次幂 a0＝　 　1　(a≠0)
负整数 指数幂 a－n＝　 　　(a≠0，n是正整数)，特别地，a－1＝　 　　
去绝对 值符号 ｜a－b｜＝
例10 (2025德阳模拟)计算：
×30＋×(－10)2－12 026.
解：原式＝×30－×30＋×100－1
＝5－24＋25－1
＝5.
变式10 计算：
－32＋12×－(－2)4÷8.
解：原式＝－9＋12×－16×
＝－9＋4－2
＝－7.
例11 (2025成都)计算：
－＋2cos 45°＋｜－2｜.
解：原式＝4－3＋2×＋2－
＝1＋＋2－
＝3.
变式11 计算：
＋4cos30°－－－(－π)0.
解：原式＝4＋4×－(－1)－3－1
＝4＋2－＋1－3－1
＝4－2.
1.(2025德阳)下列数是正数的是(　A　)
A.1 B.0 C.－1 D.－2
2.(2025遂宁)小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20 m记为“＋20 m”，那么向西跑20 m记为(　B　)
A.＋20 m B.－20 m C.＋40 m D.－40 m
3.(2025资阳)－的相反数是 (　C　)
A.－4 B.－ C. D.4
4.(2025烟台)｜－3｜的倒数是 (　B　)
A.3 B. C.－3 D.－
5.(2025江西)下列各数中，是无理数的是(　B　)
A.0 B. C.3.14 D.
6.(2025绵阳模拟)下列各数中，最小的数是(　A　)
A.－2 B.－(－2) C.－ D.－
7.(2025内江)2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员.若每颗卫星每天处理的数据量为3 500 000 000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35 000 000 000字节，将数据35 000 000 000用科学记数法表示为(　C　)
A.35×109 B.3.5×109 C.3.5×1010 D.0.35×1010
8.(2025成都)如果某天中午的气温是5 ℃，傍晚比中午下降了7 ℃，那么傍晚的气温是(　B　)
A.2 ℃ B.－2 ℃ C.－5 ℃ D.－7 ℃
9.(2025自贡)若(－4)×□＝8，则□内的数字是(　A　)
A.－2 B.2 C.4 D.－4
10.(2025广元)2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功.此次发射任务，火箭的入轨速度要达到11.2 km/s，用科学记数法表示这个速度为　1.12×104　m/s.
11.已知(x－2 025)2＋｜y＋1｜＝0，则yx的值是　－1　.
12.(2025重庆)若n为正整数，且满足n＜＜n＋1，则n＝　5　.
13.计算：
(1)(2025达州)(－1)0－(－1)2＋；
解：原式＝1－1＋2
＝2.
(2)(2025乐山)＋－2sin 30°；
解：原式＝3＋5－2×
＝3＋5－1
＝7.
(3)(2025广元)－2cos 45°＋π0－；
解：原式＝－1－2×＋1－3
＝－1－＋1－3
＝－3.
(4)(2025遂宁)－＋＋2sin 60°.
解：原式＝4－3＋(2－)＋2×
＝4－3＋2－＋
＝3.
14.(2025资阳)已知数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是(　A　)
A.＋2或－2 B.2＋或2－ C.＋2 D.－2
15.(2025北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 (　D　)
A.a＞－1 B.a＋b＝0 C.a－b＞0 D.｜a｜＞｜b｜
16.(2025南充)如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A对应的数是( D　)
A.2－2π B.π－2 C.5－2π D.2－π
17.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b＝(a＋b＞0)，如：3*2＝＝，那么8*(6*3)＝　　.
18.(2025威海)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.
二进制数的组成数字为0，1.十进制数22化为二进制数：
22＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝101102.
传统三进制数的组成数字为0，1，2.十进制数22化为三进制数：
22＝2×32＋1×31＋1×30＝2113.
将二进制数10112化为三进制数为(　A　)
A.1023 B.1013 C.1103 D.123

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