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第2讲 数的开方与二次根式
◎2022年版课标要求
①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
②了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根.
③了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.
◎备考策略
复习时熟练掌握二次根式的性质和运算，特别是二次根式中的分母有理化，做好基础的计算类题目。
◎链接教材
人教：七下P53～P62，八下P1～P20；华师：八上P1～P7，九上P1～P16；北师：八上P20～P35，八上P41～P52.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1 　算术平方根、平方根与立方根
算术平 方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么正数x就叫作a的算术平方根.a的算术平方根记为　① 　. 规定：0的算术平方根是　② 　
平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，记为±. 正数有　③ 　个平方根，它们互为相反数；0的平方根是　④ 　；负数　⑤ 　平方根. 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方
立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根，记为. 正数的立方根是　⑥ 　，0的立方根是　⑦ 　，负数的立方根是　⑧ 　. 求一个数a的立方根的运算，叫作开立方
例1 25的平方根是(　 　)
A.5 B.－5 C.±5 D.±
变式1 若＝－2，则a的值为(　 　)
A.9 B.±9 C.±3 D.3
例2 下列各式中，化简结果正确的是(　 　)
A.＝4 B.＝±3 C.＝－4 D.＝8
变式2 已知一个正数的两个平方根分别为2x＋1和3－4x，则这个正数是(　 　)
A.25 B.16 C.8 D.2
考点2　二次根式
概念 形如(a≥0)的式子叫作二次根式
性质 (1)≥0(a≥0)； (2)()2＝　⑨ 　(a≥0)； (3)＝｜a｜＝
最简二 次根式 被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
运算 (1)乘法运算：·＝　 　(a≥0，b≥0)；反过来有＝　 　(a≥0，b≥0). (2)除法运算：＝　 　(a≥0，b＞0)；反过来有＝　 　(a≥0，b＞0). (3)加减运算：一般地，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
例3 (2025资阳)使代数式有意义的实数x的取值范围是 .
变式3 (2025河南)请写出一个使在实数范围内有意义的x的值： .
例4 下列式子中，属于最简二次根式的是(　 　)
A. B. C. D.
变式4 与能合并的二次根式是(　 　)
A. B. C. D.
例5 (2025甘肃省卷)计算：－×.
变式5－1 下列运算正确的是(　 　)
A.()2＝3 B.＝－2 C.＋＝ D.×＝
变式5－2 计算：
(1)×－；
(2)－｜－3｜－2－(－)2.
例6 已知x＝－1，y＝＋1，求代数式x2＋3xy＋y2的值.
变式6 若x＝＋1，求x2－2x＋2的值.
考点3　二次根式的估值
确定与二次根式相邻的两个连续整数
步骤 示例
(1)先对二次根式平方； (2)找出与二次根式平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数； (3)对以上两个整数开方； (4)确定这个二次根式的值在开方后所得的这两个整数之间 ()2＝13 ↓ 确定9和16 ↓ ＝3，＝4 ↓ 3＜＜4
例7 已知m＝＋，则以下对m的估算正确的是(　 　)
A.2＜m＜3 B.3＜m＜4 C.4＜m＜5 D.5＜m＜6
变式7 (1)已知a为正整数，且＜a＜，则a等于(　 　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)(2025烟台)实数3的整数部分为 .
(3)如图，数轴上有A，B，C，D四点，以下线段中，长度最接近3＋的是(　 　)
A.线段AB B.线段AC C.线段BC D.线段BD
1.(2025绵阳模拟)2的算术平方根是(　 　)
A. B.± C.4 D.
2.(2025连云港)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　 　)
A.x≤1 B.x≥1 C.x≤－1 D.x≥－1
3.下列式子中，为最简二次根式的是(　 　)
A. B. C. D.
4.(2025徐州)下列运算错误的是(　 　)
A.＋＝ B.×＝ C.÷＝2 D.(－)2＝3
5.已知x，y为实数，若满足y＝＋＋2，则xy的值为(　 　)
A.5 B.6 C.8 D.9
6.已知m＝－，则实数m的范围是(　 　)
A.2＜m＜3 B.3＜m＜4 C.4＜m＜5 D.5＜m＜6
7.计算：(1)(2025浙江)｜－5｜＋＝ ；
(2)(2025自贡)－3＝ .
8.(2025天津)计算(＋1)(－1)的结果为 .
9.(2025资阳模拟)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 .
10.若是整数，则满足条件的最小正整数n的值是 .
11.计算：
(1)－＋｜1－｜；
(2)(2025陕西)×＋｜－2｜－(π－3)0；
(3)(2025青岛)－()0；
(4)÷＋.
12.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则－(b－a－2)的结果是(　 　)
A.2 B.2a－2 C.2－2b D.－2
13.(2024德阳)将一组数，2，，2，，2，…，，…按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是(　 　)
A.7 B.8 C. D.4
14.(2025南通)我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝.若a＝2，b＝3，c＝1，则S的值为 .
15.已知正数x的两个平方根分别是a－4和2a－5，y的立方根是－2，z是的整数部分，求x＋y＋8z的平方根.
16.按照国际标准，A系列纸为矩形纸，如图1，其中A0纸的面积为1 m2.将A0纸沿长边对开便成了两张A1纸，将A1纸沿长边对开便成了两张A2纸……将A4纸沿长边对开便成了两张A5纸.
【操作与观察】
将一张A4纸按图2所示的方式进行两次折叠(折痕分别是AB和AE)，观察发现点B恰好与点C重合，求A4纸的长、宽之比.
【类比与归纳】
①按照国际标准，类比上述研究可以得到A5纸的长、宽之比是 ；
②用A0纸可以裁剪出的最大正方形的面积为 m2.第2讲 数的开方与二次根式
◎2022年版课标要求
①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
②了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根.
③了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.
◎备考策略
复习时熟练掌握二次根式的性质和运算，特别是二次根式中的分母有理化，做好基础的计算类题目。
◎链接教材
人教：七下P53～P62，八下P1～P20；华师：八上P1～P7，九上P1～P16；北师：八上P20～P35，八上P41～P52.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1 　算术平方根、平方根与立方根
算术平 方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么正数x就叫作a的算术平方根.a的算术平方根记为　①　　. 规定：0的算术平方根是　②　0　
平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，记为±. 正数有　③　2　个平方根，它们互为相反数；0的平方根是　④　0　；负数　⑤　没有　平方根. 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方
立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根，记为. 正数的立方根是　⑥　正数　，0的立方根是　⑦　0　，负数的立方根是　⑧　负数　. 求一个数a的立方根的运算，叫作开立方
例1 25的平方根是(　C　)
A.5 B.－5 C.±5 D.±
变式1 若＝－2，则a的值为(　A　)
A.9 B.±9 C.±3 D.3
例2 下列各式中，化简结果正确的是(　A　)
A.＝4 B.＝±3 C.＝－4 D.＝8
变式2 已知一个正数的两个平方根分别为2x＋1和3－4x，则这个正数是(　A　)
A.25 B.16 C.8 D.2
考点2　二次根式
概念 形如(a≥0)的式子叫作二次根式
性质 (1)≥0(a≥0)； (2)()2＝　⑨　a　(a≥0)； (3)＝｜a｜＝
最简二 次根式 被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
运算 (1)乘法运算：·＝　 　　(a≥0，b≥0)；反过来有＝　 　·　(a≥0，b≥0). (2)除法运算：＝　 　　(a≥0，b＞0)；反过来有＝　 　　(a≥0，b＞0). (3)加减运算：一般地，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
例3 (2025资阳)使代数式有意义的实数x的取值范围是　x≥1　.
变式3 (2025河南)请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　2(答案不唯一)　.
例4 下列式子中，属于最简二次根式的是(　B　)
A. B. C. D.
变式4 与能合并的二次根式是(　D　)
A. B. C. D.
例5 (2025甘肃省卷)计算：－×.
解：原式＝2－
＝.
变式5－1 下列运算正确的是(　A　)
A.()2＝3 B.＝－2 C.＋＝ D.×＝
变式5－2 计算：
(1)×－；
解：原式＝－(＋)
＝－4－2
＝－6.
(2)－｜－3｜－2－(－)2.
解：原式＝3－(3－)－2×－2
＝3－3＋－－2
＝－2.
例6 已知x＝－1，y＝＋1，求代数式x2＋3xy＋y2的值.
解：∵x＝－1，y＝＋1，
∴x2＋3xy＋y2
＝(x＋y)2＋xy
＝(－1＋＋1)2＋(－1)(＋1)
＝(2)2＋(3－1)
＝12＋2
＝14.
变式6 若x＝＋1，求x2－2x＋2的值.
解：∵x＝＋1，
∴x2－2x＋2
＝(x－1)2＋1
＝(＋1－1)2＋1
＝5＋1＝6.
考点3　二次根式的估值
确定与二次根式相邻的两个连续整数
步骤 示例
(1)先对二次根式平方； (2)找出与二次根式平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数； (3)对以上两个整数开方； (4)确定这个二次根式的值在开方后所得的这两个整数之间 ()2＝13 ↓ 确定9和16 ↓ ＝3，＝4 ↓ 3＜＜4
例7 已知m＝＋，则以下对m的估算正确的是(　B　)
A.2＜m＜3 B.3＜m＜4 C.4＜m＜5 D.5＜m＜6
变式7 (1)已知a为正整数，且＜a＜，则a等于(　B　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)(2025烟台)实数3的整数部分为　4　.
(3)如图，数轴上有A，B，C，D四点，以下线段中，长度最接近3＋的是(　D　)
A.线段AB B.线段AC C.线段BC D.线段BD
1.(2025绵阳模拟)2的算术平方根是(　A　)
A. B.± C.4 D.
2.(2025连云港)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　D　)
A.x≤1 B.x≥1 C.x≤－1 D.x≥－1
3.下列式子中，为最简二次根式的是(　B　)
A. B. C. D.
4.(2025徐州)下列运算错误的是(　A　)
A.＋＝ B.×＝ C.÷＝2 D.(－)2＝3
5.已知x，y为实数，若满足y＝＋＋2，则xy的值为(　D　)
A.5 B.6 C.8 D.9
6.已知m＝－，则实数m的范围是(　B　)
A.2＜m＜3 B.3＜m＜4 C.4＜m＜5 D.5＜m＜6
7.计算：(1)(2025浙江)｜－5｜＋＝　2　；
(2)(2025自贡)－3＝　0　.
8.(2025天津)计算(＋1)(－1)的结果为　60　.
9.(2025资阳模拟)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是　5　.
10.若是整数，则满足条件的最小正整数n的值是　6　.
11.计算：
(1)－＋｜1－｜；
解：原式＝3－(－2)＋－1
＝3＋2＋－1
＝4＋.
(2)(2025陕西)×＋｜－2｜－(π－3)0；
解：原式＝＋2－1
＝6＋2－1
＝7.
(3)(2025青岛)－()0；
解：原式＝－1
＝8－1
＝7.
(4)÷＋.
解：原式＝＋(2－2＋3)
＝＋5－2
＝5－.
12.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则－(b－a－2)的结果是(　A　)
A.2 B.2a－2 C.2－2b D.－2
13.(2024德阳)将一组数，2，，2，，2，…，，…按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是(　C　)
A.7 B.8 C. D.4
14.(2025南通)我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝.若a＝2，b＝3，c＝1，则S的值为　　.
15.已知正数x的两个平方根分别是a－4和2a－5，y的立方根是－2，z是的整数部分，求x＋y＋8z的平方根.
解：∵正数x的两个平方根分别是a－4和2a－5，
∴a－4＋2a－5＝0.∴a＝3.
∴a－4＝3－4＝－1.
∴x＝(－1)2＝1.
∵y的立方根是－2，z是的整数部分，且＜＜，
∴y＝(－2)3＝－8，2＜＜3.
∴z＝2.
∴x＋y＋8z＝1－8＋8×2＝9.
∴9的平方根是±3.
16.按照国际标准，A系列纸为矩形纸，如图1，其中A0纸的面积为1 m2.将A0纸沿长边对开便成了两张A1纸，将A1纸沿长边对开便成了两张A2纸……将A4纸沿长边对开便成了两张A5纸.
【操作与观察】
将一张A4纸按图2所示的方式进行两次折叠(折痕分别是AB和AE)，观察发现点B恰好与点C重合，求A4纸的长、宽之比.
【类比与归纳】
①按照国际标准，类比上述研究可以得到A5纸的长、宽之比是　∶1　；
②用A0纸可以裁剪出的最大正方形的面积为　　m2.
解：[操作与观察]设A4纸的长为m，宽为n.
第一次折叠，形成一个正方形，
∴AB＝n.
第二次折叠，得AB＝AC＝m，
∴n＝m.
∴＝.
∴A4纸的长、宽之比是∶1.

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