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第3讲 代数式与整式
◎2022年版课标要求
①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.
②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式.
③会把具体数代入代数式进行计算.
④了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.
⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则.能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）.
⑥理解乘法公式（a+b）（a-b）=a -b ，（a±b） =a ±2ab+ b ，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理（新增）.
⑦了解代数推理（新增）.
◎备考策略
1.关注知识的推导过程：在教学过程中，要让学生理解同类项的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则，平方差公式，完全平方公式的推导过程；
2.易错点多形式训练：建议老师在日常检测中，针对基础知识，尽量单一知识点多形式练习(比如：字母换成数字，字母带系数等)，发现并聚焦学生问题，解决问题。
◎链接教材
人教：七上P53～P76，八上P95～P113；华师：七上P81～P118，八上P18～P42；
北师：七上P77～P104，七下P1～P36.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1 　列代数式及其求值
代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式
代数式 的值 用数值代替代数式中的字母，进而计算出的结果，叫作代数式的值. 求值方法有直接代入法和整体代入法等
例1 用代数式表示“比a的3倍小4”，正确的是(　A　)
A.3a－4 B.3(a－4) C.a－3×4 D.a3－4
变式1－1 如图，某铜钱外围是半径为a的圆，内含边长为b的正方形，下列表示铜钱阴影部分面积的代数式是(　B　)
A.πa－2πb
B.πa2－b2
C.πb2－πa2
D.2πb－πa
变式1－2 (2025广安)一种商品每件标价为a元，按标价的八折出售，则每件商品的售价是　0.8a　元.
例2 (2025扬州)若a2－2b＋1＝0，则代数式2a2－4b＋3的值是　1　.
变式2 (2025威海)若2x－3y＝2，则6y－4x＋1＝　－3　.
整体代入法：观察已知代数式与所求代数式之间的数量关系，把已知代数式整体代入求值.
考点2 　数式规律
例3 (2025云南)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是(　A　)
A.(2n－1)a B.(2n＋1)a C.(n＋1)a D.2 025a
变式3 (2025河南)观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为　2nxn　.
例4 (2025重庆)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　C　)
A.32 B.28 C.24 D.20
变式4 (2025乐山)醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(　B　)
A.18 B.20 C.22 D.24
考点3 　整式的有关概念
单项式 概念 由数或字母的积表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式
系数 单项式中的数字因数
次数 一个单项式中所有字母的指数的和
多项式 概念 几个单项式的和
项 多项式中的每个单项式，其中不含字母的项叫作常数项
次数 一个多项式中次数最高项的次数
整式 单项式与多项式统称为整式
例5 下列关于代数式3x2－2xy2－1的说法中，正确的是(　C　)
A.它是二次三项式 B.二次项是2xy2 C.按x降幂排列 D.常数项是1
变式5 下列叙述中，正确的是(　D　)
A.单项式－的系数是－3，次数是3
B.多项式3a3b＋2a2＋1是六次三项式
C.多项式x2－2x－1的常数项是1
D.0是整式
考点4　整式的加减　 重点
同类项 所含　④　字母　相同，并且相同字母的　⑤　指数　也相同的项称为同类项
合并 同类项 把同类项的系数相加减，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数不变，如4xy2＋5xy2＝　⑥　9xy2　
去括号 (1)括号前是“＋”号，去括号后括号内各项不变号，如a＋(b＋c)＝a＋b＋c； (2)括号前是“－”号，去括号后括号内每一项都变号，如a－(b－c)＝　⑦　a－b＋c　. 拓展： 添括号法则：a－b－c＝a－(　⑧　b＋c　)
例6 计算：(4a3＋a－1)－[4a3－3(a＋2)].
解：原式＝4a3＋a－1－(4a3－3a－6)
＝4a3＋a－1－4a3＋3a＋6
＝4a＋5.
变式6－1 老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌盖住了一个二次三项式，形式如图：－3x－1＝x2－5x，则所盖的二次三项式为　x2－2x＋1　.
变式6－2 先化简，再求值：2－3(a2b－1)－2ab2－1，其中a＝2，b＝1.
解：原式＝2a2b＋ab2－3a2b＋3－2ab2－1
＝－a2b－ab2＋2.
当a＝2，b＝1时，
原式＝－22×1－2×12＋2
＝－4.
考点5　 幂的运算 重点
同底数幂相乘 am·an＝　⑨　am＋n　
幂的乘方 (am)n＝　⑩　amn　
积的乘方 (ab)n＝　 　anbn　
同底数幂相除 am÷an＝　 　am－n　(a≠0)
例7 (2025眉山)下列计算正确的是(　D　)
A.a2＋a3＝a5 B.a2·a3＝a6 C.(－a2)3＝a6 D.a12÷a3＝a9
变式7 下列运算正确的是(　A　)
A.a3÷a3＝1 B.2a3－a3＝2 C.(－ab)2＝ab2 D.(－2a)3＝－6a3
例8 已知xm＝6，xn＝4，则xm－n的值为(　B　)
A.2 B. C. D.24
变式8 (1)若x＋3y－2＝0，则3x·27y＝　9　；
(2)计算：×＝　－　.
考点6　 整式的乘除与乘法公式
1.整式的乘除
单×单 把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 如2a2·3ab2＝　 　6a3b2　
单×多 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 如2a(a2－1)＝　 　2a3－2a　
多×多 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 如(2a－1)(a＋2)＝　 　2a2＋3a－2　
单÷单 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 如a3b2÷a2＝　 　2ab2　
多÷单 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 如(3a2b－ab2＋b)÷b＝　 　3a2－ab＋1　
2.乘法公式
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝　 　a2－b2　
完全平方公式 (a±b)2＝　 　a2±2ab＋b2　
乘法公式的几何背景(数形结合)： 由图1可得乘法公式：　 　(a＋b)(a－b)＝a2－b2　； 由图2可得乘法公式：　 　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　； 由图3可得乘法公式：　 　(a－b)2＝a2－2ab＋b2　
例9 先化简，再求值：(x＋2)(3x－2)－2x(x＋2)，其中x＝－1.
解：原式＝3x2－2x＋6x－4－2x2－4x
＝x2－4.
当x＝－1时，
原式＝(－1)2－4＝3＋1－2－4
＝－2.
变式9－1 先化简，再求值：
[(a－2b)2－(2b－a)(a＋2b)－2a(2a－b)]÷2a，其中a＋b＝－2.
解：原式＝[a2－4ab＋4b2－(4b2－a2)－4a2＋2ab]÷2a
＝(a2－4ab＋4b2－4b2＋a2－4a2＋2ab)÷2a
＝(－2a2－2ab)÷2a＝－a－b.
当a＋b＝－2时，
原式＝－a－b＝－(a＋b)＝－(－2)＝2.
变式9－2 已知a＋b＝4，a－b＝2，求：
(1)ab；　　　　　　
解：(1)∵a＋b＝4，a－b＝2，
∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝16，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4.
∴(a＋b)2－(a－b)2＝(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)＝12.
∴4ab＝12.∴ab＝3.
(2)a2＋b2.
(2)由(1)可得(a＋b)2＋(a－b)2＝(a2＋2ab＋b2)＋(a2－2ab＋b2)＝20.
∴2(a2＋b2)＝20.
∴a2＋b2＝10.
1.(2025上海)用代数式表示a与b差的平方，正确的是(　B　)
A.a2－b2 B.(a－b)2 C.a2－b D.a－b2
2.(2025长沙)智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为(　D　)
A.6m B.m＋10 C.60m D.10m
3.(2024内江)下列单项式中，ab3的同类项是(　A　)
A.3ab3 B.2a2b3 C.－a2b2 D.a3b
4.(2025宜宾)下列计算正确的是(　A　)
A.m3÷m＝m2 B.(－mn)2＝－mn2 C.3m2－m2＝2 D.m2·m3＝m6
5.(2025成都)下列计算正确的是(　D　)
A.x＋2y＝3xy B.(x3)2＝x5 C.(x－y)2＝x2－y2 D.2xy·3x＝6x2y
6.(2025南充)计算：a(a－3)－a2＝　－3a　.
7.(2025苏州)若y＝x＋1，则代数式2y－2x＋3的值为　5　.
8.(2025乐山)已知am＝3，an＝2，则am＋2n的值为　12　.
9.(2024乐山)已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝　29　.
10.(2025徐州)如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为　3n＋1　.(用含n的代数式表示)
11.先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(1－x)，其中x＝6.
解：原式＝x2－4＋x－x2＝x－4.
当x＝6时，
原式＝6－4＝2.
12.(2025南充模拟)先化简，再求值：(2a－b)2－(4a3＋ab2)÷a，其中a＝，b＝－1.
解：原式＝4a2－4ab＋b2－4a2－b2＝－4ab.
当a＝，b＝－1时，
原式＝－4××(－1)＝1.
13.(2025眉山模拟)已知(3x－m)(x2＋x＋1)的结果中不含x的二次项，(a＋2b)2＋(1＋b)2＝0.
(1)求m的值；
(2)求(a－b)m的值.
解：(1)原式＝3x3＋3x2＋3x－mx2－mx－m
＝3x3＋(3－m)x2＋(3－m)x－m.
∵结果不含x的二次项，
∴3－m＝0.
∴m＝3.
(2)∵(a＋2b)2＋(1＋b)2＝0，且(a＋2b)2≥0，(1＋b)2≥0，
∴a＋2b＝0，1＋b＝0.
∴a＝2，b＝－1.
∴(a－b)m＝(2＋1)3＝27.
14.将一张长为2a，宽为2b的矩形纸片(a＞b)，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为(　D　)
A.a2＋b2 B.a2－b2 C.(a＋b)2 D.(a－b)2
15.(2025自贡)若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为　1　.
16.(2025浙江)[文化欣赏]我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
[应用体验]已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为　8　.
17.(2024攀枝花)如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形.若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放　36　块小正方体.
18.(2025宁夏)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫作“极差数”.例如三位数231，因为3－1＝2，所以它是“极差数”.
【理解定义】
三位数265是不是“极差数”？　不是　.
【建模推理】
(1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为　a＝b－c　；
(2)任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
解：任意一个“极差数”都能被11整除.
理由：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∴a＝b－c.
∴这个“极差数”为
　100a＋10b＋c
＝100(b－c)＋10b＋c
＝100b－100c＋10b＋c
＝110b－99c
＝11(10b－9c).
∴100a＋10b＋c能被11整除.
∴任意一个“极差数”都能被11整除.第3讲 代数式与整式
◎2022年版课标要求
①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.
②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式.
③会把具体数代入代数式进行计算.
④了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.
⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则.能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）.
⑥理解乘法公式（a+b）（a-b）=a -b ，（a±b） =a ±2ab+ b ，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理（新增）.
⑦了解代数推理（新增）.
◎备考策略
1.关注知识的推导过程：在教学过程中，要让学生理解同类项的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则，平方差公式，完全平方公式的推导过程；
2.易错点多形式训练：建议老师在日常检测中，针对基础知识，尽量单一知识点多形式练习(比如：字母换成数字，字母带系数等)，发现并聚焦学生问题，解决问题。
◎链接教材
人教：七上P53～P76，八上P95～P113；华师：七上P81～P118，八上P18～P42；
北师：七上P77～P104，七下P1～P36.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1 　列代数式及其求值
代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式
代数式 的值 用数值代替代数式中的字母，进而计算出的结果，叫作代数式的值. 求值方法有直接代入法和整体代入法等
例1 用代数式表示“比a的3倍小4”，正确的是(　 　)
A.3a－4 B.3(a－4) C.a－3×4 D.a3－4
变式1－1 如图，某铜钱外围是半径为a的圆，内含边长为b的正方形，下列表示铜钱阴影部分面积的代数式是(　 　)
A.πa－2πb
B.πa2－b2
C.πb2－πa2
D.2πb－πa
变式1－2 (2025广安)一种商品每件标价为a元，按标价的八折出售，则每件商品的售价是 元.
例2 (2025扬州)若a2－2b＋1＝0，则代数式2a2－4b＋3的值是 .
变式2 (2025威海)若2x－3y＝2，则6y－4x＋1＝ .
整体代入法：观察已知代数式与所求代数式之间的数量关系，把已知代数式整体代入求值.
考点2 　数式规律
例3 (2025云南)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是(　 　)
A.(2n－1)a B.(2n＋1)a C.(n＋1)a D.2 025a
变式3 (2025河南)观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 .
例4 (2025重庆)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　 　)
A.32 B.28 C.24 D.20
变式4 (2025乐山)醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(　 　)
A.18 B.20 C.22 D.24
考点3 　整式的有关概念
单项式 概念 由数或字母的积表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式
系数 单项式中的数字因数
次数 一个单项式中所有字母的指数的和
多项式 概念 几个单项式的和
项 多项式中的每个单项式，其中不含字母的项叫作常数项
次数 一个多项式中次数最高项的次数
整式 单项式与多项式统称为整式
例5 下列关于代数式3x2－2xy2－1的说法中，正确的是(　 　)
A.它是二次三项式 B.二次项是2xy2 C.按x降幂排列 D.常数项是1
变式5 下列叙述中，正确的是(　 　)
A.单项式－的系数是－3，次数是3
B.多项式3a3b＋2a2＋1是六次三项式
C.多项式x2－2x－1的常数项是1
D.0是整式
考点4　整式的加减　 重点
同类项 所含　④ 　相同，并且相同字母的　⑤ 　也相同的项称为同类项
合并 同类项 把同类项的系数相加减，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数不变，如4xy2＋5xy2＝　⑥ 　
去括号 (1)括号前是“＋”号，去括号后括号内各项不变号，如a＋(b＋c)＝a＋b＋c； (2)括号前是“－”号，去括号后括号内每一项都变号，如a－(b－c)＝　⑦ 　. 拓展： 添括号法则：a－b－c＝a－(　⑧ 　)
例6 计算：(4a3＋a－1)－[4a3－3(a＋2)].
变式6－1 老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌盖住了一个二次三项式，形式如图：－3x－1＝x2－5x，则所盖的二次三项式为 .
变式6－2 先化简，再求值：2－3(a2b－1)－2ab2－1，其中a＝2，b＝1.
考点5　 幂的运算 重点
同底数幂相乘 am·an＝　⑨ 　
幂的乘方 (am)n＝　⑩ 　
积的乘方 (ab)n＝　 　
同底数幂相除 am÷an＝　 　(a≠0)
例7 (2025眉山)下列计算正确的是(　 　)
A.a2＋a3＝a5 B.a2·a3＝a6 C.(－a2)3＝a6 D.a12÷a3＝a9
变式7 下列运算正确的是(　 　)
A.a3÷a3＝1 B.2a3－a3＝2 C.(－ab)2＝ab2 D.(－2a)3＝－6a3
例8 已知xm＝6，xn＝4，则xm－n的值为(　 　)
A.2 B. C. D.24
变式8 (1)若x＋3y－2＝0，则3x·27y＝ ；
(2)计算：×＝ .
考点6　 整式的乘除与乘法公式
1.整式的乘除
单×单 把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 如2a2·3ab2＝　 　
单×多 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 如2a(a2－1)＝　 　
多×多 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 如(2a－1)(a＋2)＝　 　
单÷单 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 如a3b2÷a2＝　 　
多÷单 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 如(3a2b－ab2＋b)÷b＝　 　
2.乘法公式
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝　 　
完全平方公式 (a±b)2＝　 　
乘法公式的几何背景(数形结合)： 由图1可得乘法公式：　 　； 由图2可得乘法公式：　 　； 由图3可得乘法公式：　 　
例9 先化简，再求值：(x＋2)(3x－2)－2x(x＋2)，其中x＝－1.
变式9－1 先化简，再求值：
[(a－2b)2－(2b－a)(a＋2b)－2a(2a－b)]÷2a，其中a＋b＝－2.
变式9－2 已知a＋b＝4，a－b＝2，求：
(1)ab；　　　　　　
(2)a2＋b2.
1.(2025上海)用代数式表示a与b差的平方，正确的是(　 　)
A.a2－b2 B.(a－b)2 C.a2－b D.a－b2
2.(2025长沙)智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为(　 　)
A.6m B.m＋10 C.60m D.10m
3.(2024内江)下列单项式中，ab3的同类项是(　 　)
A.3ab3 B.2a2b3 C.－a2b2 D.a3b
4.(2025宜宾)下列计算正确的是(　 　)
A.m3÷m＝m2 B.(－mn)2＝－mn2 C.3m2－m2＝2 D.m2·m3＝m6
5.(2025成都)下列计算正确的是(　 　)
A.x＋2y＝3xy B.(x3)2＝x5 C.(x－y)2＝x2－y2 D.2xy·3x＝6x2y
6.(2025南充)计算：a(a－3)－a2＝ .
7.(2025苏州)若y＝x＋1，则代数式2y－2x＋3的值为 .
8.(2025乐山)已知am＝3，an＝2，则am＋2n的值为 .
9.(2024乐山)已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝ .
10.(2025徐州)如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 .(用含n的代数式表示)
11.先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(1－x)，其中x＝6.
12.(2025南充模拟)先化简，再求值：(2a－b)2－(4a3＋ab2)÷a，其中a＝，b＝－1.
13.(2025眉山模拟)已知(3x－m)(x2＋x＋1)的结果中不含x的二次项，(a＋2b)2＋(1＋b)2＝0.
(1)求m的值；
(2)求(a－b)m的值.
14.将一张长为2a，宽为2b的矩形纸片(a＞b)，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为(　 　)
A.a2＋b2 B.a2－b2 C.(a＋b)2 D.(a－b)2
15.(2025自贡)若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为 .
16.(2025浙江)[文化欣赏]我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
[应用体验]已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为 .
17.(2024攀枝花)如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形.若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体.
18.(2025宁夏)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫作“极差数”.例如三位数231，因为3－1＝2，所以它是“极差数”.
【理解定义】
三位数265是不是“极差数”？ .
【建模推理】
(1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 ；
(2)任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？

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