资源简介

第4讲 因式分解
◎2022年版课标要求
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.
◎福建七年考情分析
因式 分解 2025 24 12 解答题 解题过程中包含提公因式法分解因式 运算能力
2024 11 4 填空题 提公因式 运算能力
2019 11 4 填空题 平方差公式 运算能力
◎命题特点
从近七年福建中考考题分析，本课时以基础运算题为主，主要是对提公因式法和公式法的运用。特别需要关注的是代数推理题型的加入，常常运用因式分解解决问题。
◎备考策略
复习时熟练掌握对提公因式法和公式法的运用，做好基础的计算类题目。
◎链接教材
人教：八上P114～P121；华师：八上P42～P45；北师：八下P91～P106.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1　因式分解的概念及方法
概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式
方法 提公因 式法 用式子表示： ma＋mb＋mc＝　①　m(a＋b＋c)　 公因式的确定：
公式法 a2－b2＝(a＋b)(a－b)； a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 补充：因式分解与整式乘法互为逆运算
*十字 相乘法 x2＋(p＋q)x＋pq＝　②　(x＋p)(x＋q)　
例1 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　B　)
A.(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.x2＋2x＋1＝(x＋1)2
C.x2＋2x－1＝x(x＋2)－1
D.x(x－1)＝x2－x
例2 分解因式：
(1)(2025达州)m2＋2m＝　m(m＋2)　；
(2)2mn＋6mn2＝　2mn(1＋3n)　；
(3)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)＝　(a2＋b2)(p－q)　；
(4)5a(m－n)＋2b(n－m)＝　(m－n)(5a－2b)　.
例3 分解因式：
(1)(2025内江)a2－1＝　(a＋1)(a－1)　；
(2)a2－4b2＝　(a＋2b)(a－2b)　；
(3)m2＋10m＋25＝　(m＋5)2　；
(4)9a2－6ab＋b2＝　(3a－b)2　；
(5)*x2＋2x－8＝　(x＋4)(x－2)　.
变式3 分解因式：
(1)b2－＝　　；
(2)1－4m＋4m2＝　(1－2m)2　；
(3)(2m＋3)2－4m2＝　3(4m＋3)　；
(4)(a－b)2－2b(a－b)＋b2＝　(a－2b)2　.
考点2　多步分解因式
一般 步骤 一提(提公因式)；二套(套乘法公式)；三检验(检验是否分解彻底)
例4 分解因式：
(1)4m2－4n2＝　4(m＋n)(m－n)　；
(2)x3y－xy＝　xy(x＋1)(x－1)　；
(3)ax2－2ax＋a＝　a(x－1)2　；
(4)－2a3＋12a2－18a＝　－2a(a－3)2　.
变式4 分解因式：
(1)81－a4；
解：原式＝92－a4
＝(9＋a2)(9－a2)
＝(9＋a2)(3＋a)(3－a).
(2)a2(x－y)＋9(y－x)；
解：原式＝a2(x－y)－9(x－y)
＝(a2－9)(x－y)
＝(a＋3)(a－3)(x－y).
(3)(x＋y)2－4xy；
解：原式＝x2＋2xy＋y2－4xy
＝x2－2xy＋y2
＝(x－y)2.
(4)(x＋2)(x＋4)＋1.
解：原式＝x2＋6x＋8＋1
＝x2＋6x＋9
＝(x＋3)2.
考点3 　因式分解的应用
例5 计算：.
解：原式＝＝＝2 025.
例6 已知x＋2y＝－1，求x2－4y2＋2x的值.
解：∵x＋2y＝－1，
∴原式＝(x＋2y)(x－2y)＋2x
＝－1×(x－2y)＋2x
＝x＋2y
＝－1.
变式6－1 若a＋b＝3，ab＝－5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
解：∵a＋b＝3，ab＝－5，
∴原式＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2
＝－5×32
＝－45.
变式6－2 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－ac＝b2－bc，判断△ABC的形状并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由：
∵a2－ac＝b2－bc，
∴a2－b2－ac＋bc＝0.
∴(a－b)(a＋b－c)＝0.
又a＋b＞c，即a＋b－c＞0，
∴a－b＝0，即a＝b.
∴△ABC是等腰三角形.
1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　C　)
A.a2b2＝(ab)2
B.a2－a－2＝a(a－1)－2
C.a2－2ab＋b2＝(a－b)2
D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2.把多项式2ab＋4ab2分解因式，应提取的公因式是(　B　)
A.ab B.2ab C.2ab2 D.4ab2
3.下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为(　C　)
A.x2＋y2 B.－x2－y2 C.－x2＋y2 D.x2＋2xy
4.若代数式x2＋mx＋1能用公式法分解因式，则m的值为(　A　)
A.±2 B.±1 C.2 D.1
5.分解因式：
(1)(2025吉林)a2－ab＝　a(a－b)　.
(2)(2025苏州)x2－9＝　(x＋3)(x－3)　.
(3)x2－4xy＋4y2＝　(x－2y)2　.
(4)(2025北京)7m2－28＝　7(m＋2)(m－2)　.
(5)(2025绥化)2mx2－4mxy＋2my2＝　2m(x－y)2　.
6.观察下面拼图过程，写出相应的关系式：　ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)　.
7.已知2x－y＝，xy＝2，则2x2y－xy2＝　1　.
8.(2025内江)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝　4　.
9.分解因式：
(1)x4－16y4；
解：原式＝(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝(x2＋4y2)(x－2y)(x＋2y).
(2)x2(m－2)＋y2(2－m)；
解：原式＝x2(m－2)－y2(m－2)
＝(m－2)(x2－y2)
＝(m－2)(x＋y)(x－y).
(3)(x＋2)(x－8)＋25；
解：原式＝x2－8x＋2x－16＋25
＝x2－6x＋9
＝(x－3)2.
(4)－x3＋8x2－12x.
解：原式＝－x(x2－8x＋12)
＝－x(x－2)(x－6).
10.任意两个奇数的平方差总能(　D　)
A.被3整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被8整除
11.若代数式P＝2a2－2a＋3，Q＝a2＋1，则P和Q的大小关系是(　A　)
A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.无法确定
12.若算式的结果为整数，则整数n的值不可能是(　D　)
A.100 B.50 C.17 D.3
13.(2025成都)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　4x(答案不唯一)　(填一个即可).
14.已知a－b＝1，则a3－a2b＋b2－2ab的值为　1　.
15.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2－12a－6b＋45＝0，且c为偶数，求△ABC的周长的最小值.
解：∵a2＋b2－12a－6b＋45＝0，
∴(a2－12a＋36)＋(b2－6b＋9)＝0.
∴(a－6)2＋(b－3)2＝0.
∴a－6＝0，b－3＝0.
解得a＝6，b＝3.
∵△ABC的三边长分别是a，b，c，
∴3＜c＜9.
又c为偶数，∴c＝4，6，8.
当a＝6，b＝3，c＝4时，△ABC的周长最小，最小值是6＋3＋4＝13.
16.请认真阅读下面的命题和部分证明过程.
问题：如何证明命题“像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)”. 证明：假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数. ……
请你将上述证明过程补充完整.
解：分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数.
而4n－2不是4的倍数，两者矛盾，
故x，y不可能均为偶数.
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝4(k2－m2＋k－m)为4的倍数.
而4n－2不是4的倍数，两者矛盾，
故x，y不可能均为奇数.
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数，而4n－2是偶数，两者矛盾，
故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
综上，形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数).第4讲 因式分解
◎2022年版课标要求
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.
◎福建七年考情分析
因式 分解 2025 24 12 解答题 解题过程中包含提公因式法分解因式 运算能力
2024 11 4 填空题 提公因式 运算能力
2019 11 4 填空题 平方差公式 运算能力
◎命题特点
从近七年福建中考考题分析，本课时以基础运算题为主，主要是对提公因式法和公式法的运用。特别需要关注的是代数推理题型的加入，常常运用因式分解解决问题。
◎备考策略
复习时熟练掌握对提公因式法和公式法的运用，做好基础的计算类题目。
◎链接教材
人教：八上P114～P121；华师：八上P42～P45；北师：八下P91～P106.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1　因式分解的概念及方法
概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式
方法 提公因 式法 用式子表示： ma＋mb＋mc＝　① 　 公因式的确定：
公式法 a2－b2＝(a＋b)(a－b)； a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 补充：因式分解与整式乘法互为逆运算
*十字 相乘法 x2＋(p＋q)x＋pq＝　② 　
例1 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　 　)
A.(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.x2＋2x＋1＝(x＋1)2
C.x2＋2x－1＝x(x＋2)－1
D.x(x－1)＝x2－x
例2 分解因式：
(1)(2025达州)m2＋2m＝ ；
(2)2mn＋6mn2＝ ；
(3)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)＝ ；
(4)5a(m－n)＋2b(n－m)＝ .
例3 分解因式：
(1)(2025内江)a2－1＝ ；
(2)a2－4b2＝ ；
(3)m2＋10m＋25＝ ；
(4)9a2－6ab＋b2＝ ；
(5)*x2＋2x－8＝ .
变式3 分解因式：
(1)b2－＝ ；
(2)1－4m＋4m2＝ ；
(3)(2m＋3)2－4m2＝ ；
(4)(a－b)2－2b(a－b)＋b2＝ .
考点2　多步分解因式
一般 步骤 一提(提公因式)；二套(套乘法公式)；三检验(检验是否分解彻底)
例4 分解因式：
(1)4m2－4n2＝ ；
(2)x3y－xy＝ ；
(3)ax2－2ax＋a＝ ；
(4)－2a3＋12a2－18a＝ .
变式4 分解因式：
(1)81－a4；
(2)a2(x－y)＋9(y－x)；
(3)(x＋y)2－4xy；
(4)(x＋2)(x＋4)＋1.
考点3 　因式分解的应用
例5 计算：.
例6 已知x＋2y＝－1，求x2－4y2＋2x的值.
变式6－1 若a＋b＝3，ab＝－5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
变式6－2 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－ac＝b2－bc，判断△ABC的形状并说明理由.
1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　 　)
A.a2b2＝(ab)2
B.a2－a－2＝a(a－1)－2
C.a2－2ab＋b2＝(a－b)2
D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2.把多项式2ab＋4ab2分解因式，应提取的公因式是(　 　)
A.ab B.2ab C.2ab2 D.4ab2
3.下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为(　 　)
A.x2＋y2 B.－x2－y2 C.－x2＋y2 D.x2＋2xy
4.若代数式x2＋mx＋1能用公式法分解因式，则m的值为(　 　)
A.±2 B.±1 C.2 D.1
5.分解因式：
(1)(2025吉林)a2－ab＝ .
(2)(2025苏州)x2－9＝ .
(3)x2－4xy＋4y2＝ .
(4)(2025北京)7m2－28＝ .
(5)(2025绥化)2mx2－4mxy＋2my2＝ .
6.观察下面拼图过程，写出相应的关系式： .
7.已知2x－y＝，xy＝2，则2x2y－xy2＝ .
8.(2025内江)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝ .
9.分解因式：
(1)x4－16y4；
(2)x2(m－2)＋y2(2－m)；
(3)(x＋2)(x－8)＋25；
(4)－x3＋8x2－12x.
10.任意两个奇数的平方差总能(　 　)
A.被3整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被8整除
11.若代数式P＝2a2－2a＋3，Q＝a2＋1，则P和Q的大小关系是(　 　)
A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.无法确定
12.若算式的结果为整数，则整数n的值不可能是(　 　)
A.100 B.50 C.17 D.3
13.(2025成都)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 (填一个即可).
14.已知a－b＝1，则a3－a2b＋b2－2ab的值为 .
15.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2－12a－6b＋45＝0，且c为偶数，求△ABC的周长的最小值.
16.请认真阅读下面的命题和部分证明过程.
问题：如何证明命题“像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)”. 证明：假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数. ……
请你将上述证明过程补充完整.

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