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第5讲 分式
◎2022年版课标要求
了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.
◎备考策略
1.先基础，再综合：老师在教学过程中，要先对学生进行基础点的复习，再让学生综合训练，体会基础点在综合题中的应用；
2.题目选取：练习分式化简及求值时，注意以含整式或有理数的形式为主；
3.简单分母有理化：通过数据的代值计算，可以看出，分母有理化考到“”的形式，所以在复习时，注意复习这种形式的分母有理化。
◎链接教材
人教：八上P127～P142；华师：八下P1～P12；北师：八下P108～P124.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1　分式的概念及有意义的条件
概念 形如(A，B表示两个整式)的式子，B中含有字母
三个应用 若分式有意义，则　① 　；若分式的值为0，则　② 　且　③ 　
例1 已知x为实数，当x取何值时，下列式子有意义？
(1)： ； (2)： ；
(3)： ； (4)： .
变式1 若分式的值为0，则a的值为(　 　)
A.0 B.2 C.±2 D.－2
考点2 　分式的基本性质
基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的数或式子，分式的值不变
约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分
通分 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分
最简分式 分子与分母没有公因式的分式
例2 下列分式中，属于最简分式的是(　 　)
A. B. C. D.
变式2－1 下列分式变形正确的是(　 　)
A.＝－ B.＝ C.＝ D.＝
变式2－2 已知x＋2y－1＝10，则代数式的值是 .
求分式的值，有时需要对已知条件或结论先进行变形，然后再整体代入求值.
考点3　分式的运算　 重点
乘除运算 (1)乘法：·＝　④ 　；(2)除法：÷＝　⑤ 　
乘方运算 ＝　⑥ 　(n为正整数)
加减运算 (1)同分母：±＝　⑦ 　；(2)异分母：±＝　⑧ 　
例3 化简x2÷的结果是(　 　)
A. B.x2y2 C. D.x2y6
变式3 计算÷的结果是(　 　)
A. B. C.－ D.－
例4 化简－的结果是(　 　)
A.a＋2 B.a－2 C. D.
变式4 (2025达州)化简：－＝ .
例5 大拖拉机n天耕地a hm2，小拖拉机m天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的(　 　)
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
变式5 某镇为发展农业经济，对10 km长的农产品运输通道进行了扩建和重修.某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的a km/h提升到了a km/h，则此货车在该运输通道上行驶时节约的时间为 h.(用含a的代数式表示)
例6 (2025资阳)先化简，再求值：
÷，其中a＝2.
变式6－1 (2025绵阳模拟)先化简，再求值：
1－÷，其中a，b满足＋＝0.
变式6－2 (2025遂宁)先化简，再求值：
÷，其中a满足a2－4＝0.
例7 若＋＝4，求的值.
对于分式的化简求值，解题关键是记住分式的混合运算顺序，先根据分式的运算法则化简，再取使分式有意义的值代入求值.
1.若分式的值为零，则x的取值为(　 　)
A.3 B.2 C.－3 D.－2
2.下列分式中，最简分式是(　 　)
A. B. C. D.
3.将分式中的m，n同时扩大为原来的2倍，分式的值将(　 　)
A.扩大为原来的2倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
4.化简x3的结果是(　 　)
A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6
5.绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m t，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水的吨数是 (　 　)
A.－ B.－ C.－ D.－
6.(2025河南)化简－的结果是 (　 　)
A.x＋1 B.x C.x－1 D.x－2
7.(2025凉山州)若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 .
8.(2025北京)已知a＋b－3＝0，则代数式的值为 .
9.(2025宜宾)计算：·.
10.(2025泸州)化简：
÷.
11.先化简，再代入求值：
÷，其中a＝＋1.
12.已知＋＝1(a＋b≠0)，则＝(　 　)
A. B.1 C.2 D.3
13.(2025南充)已知＝＝＝2，则的值是(　 　)
A.2 B.3 C.4 D.6
14.甲、乙两艘船在某海域航行，甲船m h航行(n＋2)n mile，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行t h的路程为 n mile.
15.(2025凉山州)先化简，再求值：1－÷，求值时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x(x为整数).
16.阅读下面的解题过程：
已知＝，求的值.
解：由＝，知x≠0，
∴＝3，即x＋＝3.①
∵＝x2＋＝－2＝32－2＝7，②
∴的值为.
(1)第①步由＝3得到x＋＝3是运用了法则：＝＋；那么第②步中的x2＋＝－2则是运用了公式： .(用含a，b的式子表示)
(2)上述解题过程用到的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知＝－1，求的值.
(3)已知＋＝，＋＝，＋＝，求的值.第5讲 分式
◎2022年版课标要求
了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.
◎备考策略
1.先基础，再综合：老师在教学过程中，要先对学生进行基础点的复习，再让学生综合训练，体会基础点在综合题中的应用；
2.题目选取：练习分式化简及求值时，注意以含整式或有理数的形式为主；
3.简单分母有理化：通过数据的代值计算，可以看出，分母有理化考到“”的形式，所以在复习时，注意复习这种形式的分母有理化。
◎链接教材
人教：八上P127～P142；华师：八下P1～P12；北师：八下P108～P124.
◎课时安排
建议1课时
◎教学过程
考点1　分式的概念及有意义的条件
概念 形如(A，B表示两个整式)的式子，B中含有字母
三个应用 若分式有意义，则　①　B≠0　；若分式的值为0，则　②　A＝0　且　③　B≠0　
例1 已知x为实数，当x取何值时，下列式子有意义？
(1)：　x≠2　； (2)：　x≥－3且x≠5　；
(3)：　x＞－1　； (4)：　x＞　.
变式1 若分式的值为0，则a的值为(　D　)
A.0 B.2 C.±2 D.－2
考点2 　分式的基本性质
基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的数或式子，分式的值不变
约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分
通分 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分
最简分式 分子与分母没有公因式的分式
例2 下列分式中，属于最简分式的是(　B　)
A. B. C. D.
变式2－1 下列分式变形正确的是(　D　)
A.＝－ B.＝ C.＝ D.＝
变式2－2 已知x＋2y－1＝10，则代数式的值是　　.
求分式的值，有时需要对已知条件或结论先进行变形，然后再整体代入求值.
考点3　分式的运算　 重点
乘除运算 (1)乘法：·＝　④　　；(2)除法：÷＝　⑤　　
乘方运算 ＝　⑥　　(n为正整数)
加减运算 (1)同分母：±＝　⑦　　；(2)异分母：±＝　⑧　　
例3 化简x2÷的结果是(　C　)
A. B.x2y2 C. D.x2y6
变式3 计算÷的结果是(　B　)
A. B. C.－ D.－
例4 化简－的结果是(　A　)
A.a＋2 B.a－2 C. D.
变式4 (2025达州)化简：－＝　　.
例5 大拖拉机n天耕地a hm2，小拖拉机m天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的(　A　)
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
变式5 某镇为发展农业经济，对10 km长的农产品运输通道进行了扩建和重修.某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的a km/h提升到了a km/h，则此货车在该运输通道上行驶时节约的时间为　　h.(用含a的代数式表示)
例6 (2025资阳)先化简，再求值：
÷，其中a＝2.
解：原式＝·
＝·
＝.
当a＝2时，原式＝＝3.
变式6－1 (2025绵阳模拟)先化简，再求值：
1－÷，其中a，b满足＋＝0.
解：原式＝1－·
＝1－
＝
＝－.
∵(a－)2＋＝0，
∴a－＝0，b＋1＝0.
∴a＝，b＝－1.
∴原式＝－＝.
变式6－2 (2025遂宁)先化简，再求值：
÷，其中a满足a2－4＝0.
解：原式＝÷
＝·
＝.
∵a满足a2－4＝0，∴a＝±2.
∵原式分母不为0，∴a－2≠0.∴a＝－2.
当a＝－2时，原式＝＝.
例7 若＋＝4，求的值.
解：∵＋＝4，∴＝4.∴a＋b＝4ab.
∴＝＝＝4.
对于分式的化简求值，解题关键是记住分式的混合运算顺序，先根据分式的运算法则化简，再取使分式有意义的值代入求值.
1.若分式的值为零，则x的取值为(　B　)
A.3 B.2 C.－3 D.－2
2.下列分式中，最简分式是(　D　)
A. B. C. D.
3.将分式中的m，n同时扩大为原来的2倍，分式的值将(　C　)
A.扩大为原来的2倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
4.化简x3的结果是(　A　)
A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6
5.绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m t，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水的吨数是 (　A　)
A.－ B.－ C.－ D.－
6.(2025河南)化简－的结果是 (　A　)
A.x＋1 B.x C.x－1 D.x－2
7.(2025凉山州)若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是　m≥1　.
8.(2025北京)已知a＋b－3＝0，则代数式的值为　　.
9.(2025宜宾)计算：·.
解：原式＝·
＝·
＝1.
10.(2025泸州)化简：
÷.
解：原式＝÷
＝÷
＝·
＝.
11.先化简，再代入求值：
÷，其中a＝＋1.
解：原式＝÷
＝·
＝.
当a＝＋1时，
原式＝
＝.
12.已知＋＝1(a＋b≠0)，则＝(　C　)
A. B.1 C.2 D.3
13.(2025南充)已知＝＝＝2，则的值是(　D　)
A.2 B.3 C.4 D.6
14.甲、乙两艘船在某海域航行，甲船m h航行(n＋2)n mile，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行t h的路程为　　n mile.
15.(2025凉山州)先化简，再求值：1－÷，求值时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x(x为整数).
解：原式＝1－·
＝1－＝－
＝＝.
∵分式有意义，且－2≤x≤2，
∴x≠2，0，－2.
又x为整数，∴x＝－1或x＝1.
当x＝－1时，原式＝＝.
16.阅读下面的解题过程：
已知＝，求的值.
解：由＝，知x≠0，
∴＝3，即x＋＝3.①
∵＝x2＋＝－2＝32－2＝7，②
∴的值为.
(1)第①步由＝3得到x＋＝3是运用了法则：＝＋；那么第②步中的x2＋＝－2则是运用了公式：　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　.(用含a，b的式子表示)
(2)上述解题过程用到的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知＝－1，求的值.
(3)已知＋＝，＋＝，＋＝，求的值.
解：(2)由＝－1，知x≠0，
∴＝－1，即x－3＋＝－1.
∴x＋＝2.∴x2＋＝－2＝2.
∵＝x2＋－7＝2－7＝－5，
∴＝－.
(3)∵＋＝，＋＝，＋＝，
∴2＝＋＋.
∴＋＋＝.
∵＝＋＋
＝＋＋＝，
∴＝.

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