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第6讲 一元一次方程及其应用
◎2022年版课标要求
①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程.
◎备考策略
先基础，再综合：在教学过程中，老师要先对学生进行基础点的复习，熟练掌握等式的性质，一元一次方程的解题步骤，再到一元一次方程的实际应用。
◎链接教材
人教：七上P77～P112；华师：七下P1～P22；北师：七上P129～P153.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　等式的基本性质
基本性质1 等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍　①　相等　，即：如果a＝b，那么a±c　②　＝　b±c
基本性质2 等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍　③　相等　.如果a＝b，那么ac　④　＝　bc；如果a＝b，c≠0，那么　⑤　＝　
例1 根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是(　C　)
A.如果a＝b，那么a＋1＝b－1
B.如果6a＝3，那么a＝2
C.如果a＝b，那么3a＝3b
D.如果ac＝bc，那么a＝b
变式1 若－3a＋1＝－3b＋1，则下列结论正确的是(　B　)
A.a＝－b B.a＝b C.a＝3b D.a＝－3b
考点2　方程、一元一次方程的相关概念
方程 含有未知数的等式
方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值
一元一次方程 只含有　⑥　一个　未知数，且含有未知数的式子都是　⑦　整式　，未知数的次数都是1的方程
例2 (2025遂宁)已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝　2　.
变式2 若关于x的一元一次方程2x＋a＋b＝0的解为x＝1，则代数式2 025－a－b的值为　2 027　.
考点3 　一元一次方程的解法
例3 解方程：
(1)(2025眉山)2(x－1)＝2＋x；
解：去括号，得2x－2＝2＋x.
移项，得2x－x＝2＋2.
合并同类项，得x＝4.
(2)－＝1.
解：去分母，得2(5x－2)－(3x＋1)＝4.
去括号，得10x－4－3x－1＝4.
移项，得10x－3x＝4＋4＋1.
合并同类项，得7x＝9.
系数化为1，得x＝.
解一元一次方程的步骤：
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘分母为“1”的项
去括号 根据去括号法则，把方程中的括号去掉
移项 把含未知数的项和常数项分别移到等号两边，注意移项要改变符号
合并同类项 把方程化为ax＝b的形式
系数化为1 方程两边同除以含未知数项的系数
变式3－1 下列变形正确的是(　C　)
A.3x－2＝4x＋5移项，得3x－4x＝－5＋2
B.2(x＋3)－3(2x－1)＝0去括号，得2x＋6－6x－3＝0
C.x－1＝x去分母，得4x－6＝3x
D.x＝－系数化为1，得x＝－1
变式3－2 解方程：
(1)2(x－3)＝1－(2x－5)；
解：去括号，得2x－6＝1－2x＋5.
移项，得2x＋2x＝1＋5＋6.
合并同类项，得4x＝12.
系数化为1，得x＝3.
(2)＝1－；
解：去分母，得4(3x－1)＝12－3(x＋2).
去括号，得12x－4＝12－3x－6.
移项，得12x＋3x＝4＋12－6.
合并同类项，得15x＝10.
系数化为1，得x＝.
(3)－1＝.
解：去分母，得3(3y－1)－12＝2(5y－7).
去括号，得9y－3－12＝10y－14.
移项，得9y－10y＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－y＝1.
系数化为1，得y＝－1.
变式3－3 若有理数a，b使等式a－b＝ab＋1成立，则称数对a，b为“共生有理数对”，记为(a，b).如：2－＝2×＋1，则是“共生有理数对”.若(6，m)是“共生有理数对”，求m的值.
解：∵(6，m)是“共生有理数对”，
∴6－m＝6m＋1.
∴7m＝5.
∴m＝.
考点4 　一元一次方程的应用
例4 在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本.求该班有学生多少人.设该班有学生x人，则可列方程为(　B　)
A.3x－22＝4x＋26 B.3x＋22＝4x－26 C.＝ D.＝
变式4－1 (2025天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为(　A　)
A.240x＝150(x＋12) B.240x＝150(x－12)
C.150x＝240(x＋12) D.150x＝240(x－12)
变式4－2 (2025陕西)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg，小悦平均每小时采摘4 kg，小康采摘的时长是　1.2　h.
变式4－3 整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6 h，9 h.现在先由甲单独做1 h，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？
解：设两人合作整理这批图书还要用x h完成.
根据题意，得＋x＝1.
解得x＝3.
答：两人合作整理这批图书还要用3 h完成.
变式4－4 张先生需要邮寄若干千克红茶给亲友，经了解，现有甲、乙两家物流公司可供选择，甲物流公司的收费标准是：所有寄件按4元/kg收费；乙物流公司的收费标准是：寄件不大于20 kg收费100元，20 kg以上的部分按2元/kg收费.张先生说：“我无论选择哪家物流公司，要付的邮费都是一样的”.张先生要邮寄多少千克的红茶？
解：∵要付的邮费都是一样的，
∴邮寄红茶的质量需要大于20 kg.
设张先生要邮寄x kg的红茶.
根据题意，得4x＝100＋2(x－20).
解得x＝30.
答：张先生要邮寄30 kg的红茶.
1.若a＝b，则下列等式变形正确的是(　C　)
A.a＋1＝b－1 B.3a＝2b C.－2a＝－2b D.＝
2.(2025)已知x＝2是关于x的方程x＋m＝7的解，则m的值为(　C　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.在解方程－＝1的过程中，变形正确的是(　D　)
A.2(3x－1)－3(2x＋1)＝6
B.3(3x－1)－4x－2＝1
C.9x－3－4x＋2＝6
D.3(3x－1)－2(2x＋1)＝6
4.(2025连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢.”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得(　A　)
A.x＋x＝1 B.x－x＝1 C.7x＋9x＝1 D.9x－7x＝1
5.(2025成都)任意给一个数x，按下列程序进行计算.若输出结果是15，则x的值为　3　.
6.三阶幻方是中国古代劳动人民智慧的结晶.它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等.如图是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝　8　.
7.解方程：
(1)3(x－2)＋1＝x－1；
解：去括号，得3x－6＋1＝x－1.
移项，得3x－x＝－1＋6－1.
合并同类项，得2x＝4.
系数化为1，得x＝2.
(2)－＝.
解：去分母，得x－1－2(x＋2)＝4.
去括号，得x－1－2x－4＝4.
移项、合并同类项，得－x＝9.
系数化为1，得x＝－9.
8.某公司推出了A，B两款机器人.已知该公司生产5件A款机器人和生产6件B款机器人的成本相同；每件A款机器人的成本比每件B款机器人的成本多2万元.该公司生产的A款机器人和B款机器人每件的成本各是多少万元？
解：设A款机器人每件的成本为x万元，则B款机器人每件的成本为(x－2)万元.
根据题意，得5x＝6(x－2).
解得x＝12.
x－2＝12－2＝10.
答：A款机器人每件的成本为12万元，B款机器人每件的成本为10万元.
9.(2025德阳)在2 000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几何.”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少.设买鸡的人数为x，则x为(　D　)
A.5 B.7 C.8 D.9
10.若x＝2是关于x的一元一次方程ax－b－4＝0的解，则5－4a＋2b的值是　－3　.
11.学校图书馆新进了一批图书，九年级(8)班承担志愿者服务协助整理，已知由一名同学单独整理需要30 h才能完成.假设每名同学的整理工作效率相同，张老师先安排一部分同学整理1 h，后来又增加6名同学和他们一起整理2 h，恰好完成整理任务.张老师先安排整理图书的同学有多少名？
解：设张老师先安排整理图书的同学有x名.
根据题意，得×1＋×2＝1.
解得x＝6.
答：张老师先安排整理图书的同学有6名.
12.阅读下面的内容，并完成相应任务.
如果两个一元一次方程的解的和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”.例如：方程5x＝10的解为x＝2，方程x＋1＝0的解为x＝－1.∵2＋(－1)＝1，∴方程5x＝10与x＋1＝0互为“美好方程”.
任务：
(1)请判断方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3是否互为“美好方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程2x＋m＝0与－＝1互为“美好方程”，求m的值.
解：(1)方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3不互为“美好方程”.理由如下：
解方程4x－(x＋5)＝1，得x＝2.
解方程－2x－1＝3，得x＝－2.
∵2＋(－2)＝0≠1，
∴方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3不互为“美好方程”.
(2)解方程2x＋m＝0，得x＝－.
解方程－＝1，得x＝4.
∵关于x的方程2x＋m＝0与－＝1互为“美好方程”，
∴－＋4＝1.
解得m＝6.第6讲 一元一次方程及其应用
◎2022年版课标要求
①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程.
◎备考策略
先基础，再综合：在教学过程中，老师要先对学生进行基础点的复习，熟练掌握等式的性质，一元一次方程的解题步骤，再到一元一次方程的实际应用。
◎链接教材
人教：七上P77～P112；华师：七下P1～P22；北师：七上P129～P153.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　等式的基本性质
基本性质1 等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍　① 　，即：如果a＝b，那么a±c　② 　b±c
基本性质2 等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍　③ 　.如果a＝b，那么ac　④ 　bc；如果a＝b，c≠0，那么　⑤ 　
例1 根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是( )
A.如果a＝b，那么a＋1＝b－1
B.如果6a＝3，那么a＝2
C.如果a＝b，那么3a＝3b
D.如果ac＝bc，那么a＝b
变式1 若－3a＋1＝－3b＋1，则下列结论正确的是( )
A.a＝－b B.a＝b C.a＝3b D.a＝－3b
考点2　方程、一元一次方程的相关概念
方程 含有未知数的等式
方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值
一元一次方程 只含有　⑥ 　未知数，且含有未知数的式子都是　⑦ 　，未知数的次数都是1的方程
例2 (2025遂宁)已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝ .
变式2 若关于x的一元一次方程2x＋a＋b＝0的解为x＝1，则代数式2 025－a－b的值为 .
考点3 　一元一次方程的解法
例3 解方程：
(1)(2025眉山)2(x－1)＝2＋x；
(2)－＝1.
解一元一次方程的步骤：
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘分母为“1”的项
去括号 根据去括号法则，把方程中的括号去掉
移项 把含未知数的项和常数项分别移到等号两边，注意移项要改变符号
合并同类项 把方程化为ax＝b的形式
系数化为1 方程两边同除以含未知数项的系数
变式3－1 下列变形正确的是( )
A.3x－2＝4x＋5移项，得3x－4x＝－5＋2
B.2(x＋3)－3(2x－1)＝0去括号，得2x＋6－6x－3＝0
C.x－1＝x去分母，得4x－6＝3x
D.x＝－系数化为1，得x＝－1
变式3－2 解方程：
(1)2(x－3)＝1－(2x－5)；
(2)＝1－；
(3)－1＝.
变式3－3 若有理数a，b使等式a－b＝ab＋1成立，则称数对a，b为“共生有理数对”，记为(a，b).如：2－＝2×＋1，则是“共生有理数对”.若(6，m)是“共生有理数对”，求m的值.
考点4 　一元一次方程的应用
例4 在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本.求该班有学生多少人.设该班有学生x人，则可列方程为( )
A.3x－22＝4x＋26 B.3x＋22＝4x－26 C.＝ D.＝
变式4－1 (2025天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为( )
A.240x＝150(x＋12) B.240x＝150(x－12)
C.150x＝240(x＋12) D.150x＝240(x－12)
变式4－2 (2025陕西)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg，小悦平均每小时采摘4 kg，小康采摘的时长是 h.
变式4－3 整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6 h，9 h.现在先由甲单独做1 h，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？
变式4－4 张先生需要邮寄若干千克红茶给亲友，经了解，现有甲、乙两家物流公司可供选择，甲物流公司的收费标准是：所有寄件按4元/kg收费；乙物流公司的收费标准是：寄件不大于20 kg收费100元，20 kg以上的部分按2元/kg收费.张先生说：“我无论选择哪家物流公司，要付的邮费都是一样的”.张先生要邮寄多少千克的红茶？
1.若a＝b，则下列等式变形正确的是( )
A.a＋1＝b－1 B.3a＝2b C.－2a＝－2b D.＝
2.(2025)已知x＝2是关于x的方程x＋m＝7的解，则m的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.在解方程－＝1的过程中，变形正确的是( )
A.2(3x－1)－3(2x＋1)＝6
B.3(3x－1)－4x－2＝1
C.9x－3－4x＋2＝6
D.3(3x－1)－2(2x＋1)＝6
4.(2025连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢.”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得( )
A.x＋x＝1 B.x－x＝1 C.7x＋9x＝1 D.9x－7x＝1
5.(2025成都)任意给一个数x，按下列程序进行计算.若输出结果是15，则x的值为 .
6.三阶幻方是中国古代劳动人民智慧的结晶.它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等.如图是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝ .
7.解方程：
(1)3(x－2)＋1＝x－1；
(2)－＝.
8.某公司推出了A，B两款机器人.已知该公司生产5件A款机器人和生产6件B款机器人的成本相同；每件A款机器人的成本比每件B款机器人的成本多2万元.该公司生产的A款机器人和B款机器人每件的成本各是多少万元？
9.(2025德阳)在2 000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几何.”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少.设买鸡的人数为x，则x为( )
A.5 B.7 C.8 D.9
10.若x＝2是关于x的一元一次方程ax－b－4＝0的解，则5－4a＋2b的值是 .
11.学校图书馆新进了一批图书，九年级(8)班承担志愿者服务协助整理，已知由一名同学单独整理需要30 h才能完成.假设每名同学的整理工作效率相同，张老师先安排一部分同学整理1 h，后来又增加6名同学和他们一起整理2 h，恰好完成整理任务.张老师先安排整理图书的同学有多少名？
12.阅读下面的内容，并完成相应任务.
如果两个一元一次方程的解的和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”.例如：方程5x＝10的解为x＝2，方程x＋1＝0的解为x＝－1.∵2＋(－1)＝1，∴方程5x＝10与x＋1＝0互为“美好方程”.
任务：
(1)请判断方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3是否互为“美好方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程2x＋m＝0与－＝1互为“美好方程”，求m的值.

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