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第7讲 二元一次方程(组)及其应用
◎2022年版课标要求
①掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组(2022年版课标将“掌握代入消元法和加减消元法”调整为“掌握消元法”)；
②*能解简单的三元一次方程组．
③能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程”)；
④能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理(2022年版课标将“解是否合理”调整为“解的合理性”).
◎备考策略
1. 打好基础：在教学过程中，要注意引导学生关注消元思想的运用，消元是解方程组的关键；
2. 注重方程在相关知识点上的应用：比如待定系数法求函数解析式，方程的实际应用等；
3. 根据等量关系，熟练建模：能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
4. 注重试题背景的真实和问题的实际性：老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题。
◎链接教材
人教：七下P87～P112；华师：七下P23～P48；北师：八上P102～P134.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　 二元一次方程(组)的相关概念
二元一次方程 含有　①　两　个未知数，且未知数的次数都是　②　1　的整式方程
方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值
方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解
例1 已知是二元一次方程组的解，则m－n的值是(　D　)
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1 已知是二元一次方程ax＋by＝5的一个解，则a2＋4ab＋4b2的值是　25　.
考点2　 二元一次方程组的解法
例2 解方程组：
(1)(2025山西)
解：①＋②，得4x＝12.
解得x＝3.
将x＝3代入②，得3＋2y＝1.
解得y＝－1.
∴原方程组的解为
(2)
解：解法一　①×3＋②，得7x＝7.
解得x＝1.
把x＝1代入①，得2×1－y＝4.
解得y＝－2.
∴原方程组的解为
解法二　由①，得y＝2x－4.③
将③代入②，得x＋3(2x－4)＝－5.
解得x＝1.
把x＝1代入③，得y＝2×1－4＝－2.
∴原方程组的解为
解二元一次方程组的基本思想是消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程，方法有代入消元法和加减消元法.
变式2－1 已知二元一次方程组则2a－b的值为　－4　.
变式2－2 解方程组：
(1)
解：由②，得y＝－2－3x.③
将③代入①，得2x＋7(－2－3x)＝5.
解得x＝－1.
将x＝－1代入③，得y＝－2－3×(－1)＝1.
∴原方程组的解为
(2)
解：①×2，得4x＋6y＝2.③
③－②，得4y＝－4.
解得y＝－1.
将y＝－1代入①，得2x－3＝1.
解得x＝2.
∴原方程组的解为
例3 已知二元一次方程组的解满足方程3x＋y＝－8，求k的值.
解：
②×2－①，得3x＋y＝k－20.
∵3x＋y＝－8，∴k－20＝－8.
∴k＝12.
变式3 已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值.
解：由题意，得
解得
把代入
得解得
考点3　 二元一次方程(组)的应用
例4 (2025绵阳模拟)下表是某水果店所销售的国产车厘子与智利车厘子两种商品的相关信息.已知该水果店某天销售这两种车厘子共122 kg，销售额为6 600元，求该水果店当天销售这两种车厘子的利润共多少元.
商品 智利车厘子 国产车厘子
成本 40元/kg 35元/kg
售价 60元/kg 50元/kg
解：设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg.
由题意，得
解得
∴利润为50×(60－40)＋72×(50－35)＝2 080(元).
答：该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2 080元.
变式4－1 (2025达州)《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金.设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为(　D　)
A. B. C. D.
变式4－2 已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10 t；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11 t.某物流公司现有27 t货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆(a≠0，b≠0)，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你直接写出该公司的租车方案.
解：(1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x t，y t.
根据题意，得解得
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3 t，4 t.
(2)有两种租车方案，分别为：①租用A型车1辆，B型车6辆；②租用A型车5辆，B型车3辆.
解析：根据题意，得3a＋4b＝27.
∴b＝.
∵a，b均为整数，且a≠0，b≠0，
∴有和两种情况.
故共有两种租车方案，分别为：
①租用A型车1辆，B型车6辆；
②租用A型车5辆，B型车3辆.
解二元一次方程组的一般步骤：审题→设未知数→列出二元一次方程组→解二元一次方程组→写出答案.
1.若是关于x，y的二元一次方程x－ay＝4的一组解，则a的值为(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.－3
2.已知二元一次方程组则m＋n的值是(　B　)
A.－2 B.－1 C.0 D.1
3.(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方程组为(　D　)
A. B. C. D.
4.(2025凉山州)若(3x＋2y－19)2＋＝0，则x＋y的平方根是(　C　)
A.8 B.±8 C.±2 D.2
5.已知是二元一次方程ax－by＝－2的一个解，则4b－20a＋1的值为　5　.
6.如果关于x，y的二元一次方程组的解也是方程3x－2y＝8的解，那么k的值为　1　.
7.解方程组：
(1)
解：由①＋②，得3x＝12.
解得x＝4.
将x＝4代入②，得4＋y＝5.
解得y＝1.
∴原方程组的解为
(2)
解：①×2＋②，得5x＝5.
解得x＝1.
将x＝1代入①，得1－2y＝3.
解得y＝－1.
∴原方程组的解为
8.(2025吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒.
由题意，得
解得
答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒.
9.(2025泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x＋2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1.类似地，方程2x＋3y＝21的正整数解的个数是(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2025眉山)我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个.”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个.若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为(　C　)
A. B.
C. D.
11.如图，该长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　76　.
12.(2025宁夏)一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx＝　1　.
13.(2025泸州模拟)“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高.某学校开展植树护林活动，据了解1棵A种树苗、4棵B种树苗的售价共计130元；2棵A种树苗、3棵B种树苗的售价共计160元.
(1)求A，B两种树苗每棵的售价分别为多少元.
(2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗(两种树苗均要购买，且400元全部用完)，问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来.
解：(1)设A，B两种树苗每棵的售价分别为x元、y元.
根据题意，得
解得
答：A，B两种树苗每棵的售价分别为50元、20元.
(2)设A，B两种树苗分别购进a棵和b棵.
根据题意，得50a＋20b＝400，
即b＝20－.
∵两种树苗均要购买，
∴a，b均为正整数.
∴或或
答：共有以下3种购买方案：
方案1：A种树苗购进2棵，B种树苗购进15棵；
方案2：A种树苗购进4棵，B种树苗购进10棵；
方案3：A种树苗购进6棵，B种树苗购进5棵.第7讲 二元一次方程(组)及其应用
◎2022年版课标要求
①掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组(2022年版课标将“掌握代入消元法和加减消元法”调整为“掌握消元法”)；
②*能解简单的三元一次方程组．
③能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程”)；
④能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理(2022年版课标将“解是否合理”调整为“解的合理性”).
◎备考策略
1. 打好基础：在教学过程中，要注意引导学生关注消元思想的运用，消元是解方程组的关键；
2. 注重方程在相关知识点上的应用：比如待定系数法求函数解析式，方程的实际应用等；
3. 根据等量关系，熟练建模：能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
4. 注重试题背景的真实和问题的实际性：老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题。
◎链接教材
人教：七下P87～P112；华师：七下P23～P48；北师：八上P102～P134.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　 二元一次方程(组)的相关概念
二元一次方程 含有　① 　个未知数，且未知数的次数都是　② 　的整式方程
方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值
方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解
例1 已知是二元一次方程组的解，则m－n的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1 已知是二元一次方程ax＋by＝5的一个解，则a2＋4ab＋4b2的值是 .
考点2　 二元一次方程组的解法
例2 解方程组：
(1)(2025山西)
(2)
解二元一次方程组的基本思想是消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程，方法有代入消元法和加减消元法.
变式2－1 已知二元一次方程组则2a－b的值为 .
变式2－2 解方程组：
(1)
(2)
例3 已知二元一次方程组的解满足方程3x＋y＝－8，求k的值.
变式3 已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值.
考点3　 二元一次方程(组)的应用
例4 (2025绵阳模拟)下表是某水果店所销售的国产车厘子与智利车厘子两种商品的相关信息.已知该水果店某天销售这两种车厘子共122 kg，销售额为6 600元，求该水果店当天销售这两种车厘子的利润共多少元.
商品 智利车厘子 国产车厘子
成本 40元/kg 35元/kg
售价 60元/kg 50元/kg
变式4－1 (2025达州)《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金.设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为( )
A. B. C. D.
变式4－2 已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10 t；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11 t.某物流公司现有27 t货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆(a≠0，b≠0)，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你直接写出该公司的租车方案.
解二元一次方程组的一般步骤：审题→设未知数→列出二元一次方程组→解二元一次方程组→写出答案.
1.若是关于x，y的二元一次方程x－ay＝4的一组解，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.－3
2.已知二元一次方程组则m＋n的值是( )
A.－2 B.－1 C.0 D.1
3.(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
4.(2025凉山州)若(3x＋2y－19)2＋＝0，则x＋y的平方根是( )
A.8 B.±8 C.±2 D.2
5.已知是二元一次方程ax－by＝－2的一个解，则4b－20a＋1的值为 .
6.如果关于x，y的二元一次方程组的解也是方程3x－2y＝8的解，那么k的值为 .
7.解方程组：
(1)
(2)
8.(2025吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
9.(2025泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x＋2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1.类似地，方程2x＋3y＝21的正整数解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2025眉山)我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个.”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个.若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为( )
A. B.
C. D.
11.如图，该长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 .
12.(2025宁夏)一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx＝ .
13.(2025泸州模拟)“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高.某学校开展植树护林活动，据了解1棵A种树苗、4棵B种树苗的售价共计130元；2棵A种树苗、3棵B种树苗的售价共计160元.
(1)求A，B两种树苗每棵的售价分别为多少元.
(2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗(两种树苗均要购买，且400元全部用完)，问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来.

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