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第8讲 分式方程及其应用
◎2022年版课标要求
能根据等式的基本性质解可化为一元一次方程的分式方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
◎备考策略
1. 熟练掌握分式方程的解题步骤，计算部分抓牢基础；
2.根据等量关系，熟练建模：能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
3. 注重试题背景的真实和问题的实际性：老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题。
◎链接教材
人教：八上P149～P159；华师：八下P12～P16；北师：八下P125～P133.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　 解分式方程
例1 (2025成都模拟)解方程：
＋＝1.
解分式方程的步骤如下：
变式1 解方程：
(1)(2025资阳改编)＝；
(2)(2025威海)－1＝；
(3)(2025德阳模拟)－＝1.
例2 关于y的分式方程＋＝1的解为正数，则a的取值范围为( )
A.a＞1 B.a＞1且a≠4 C.a＞－1 D.a＞－1且a≠4
由分式方程的解为正数，得到关于a的不等式，一定要注意分式方程的公分母不等于0时a的取值.
变式2 (2025凉山州)若关于x的分式方程＋＝3无解，则m＝ .
将分式方程化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或使分母为零，分别求解即可.
考点2　分式方程的应用
例3 (2024巴中)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60 km，一部分学生乘慢车先行0.5 h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km，求慢车的速度.设慢车的速度为x km/h，则可列方程为( )
A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝
变式3－1 (2025云南)某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg，机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1 000 kg所用时间相等.求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
【提醒】分式方程的应用题注意双检验：
(1)检验是否为分式方程的解；
(2)检验是否符合实际意义.
变式3－2 (2025扬州)某文创商店推出甲、乙两款书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价.
1.(2025湖南省卷)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为( )
A.x＋1＝2x　
B.x＋2＝1　
C.1＝2x
D.x＝2(x＋1)
2.(2025绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15 t，A货车运输450 t所用时间与B货车运输300 t所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x t，则可列方程为( )
A.＝　 B.＝　 C.＝　　 D.＝
3.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里＝500 m)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为＝，其中x表示( )
A.快马的速度 B.慢马的速度 C.规定的时间 D.以上都不对
4.(2025宜宾)方程＋＝0的解为 .
5.一项工程，甲队单独做提前2天完成，乙队单独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队单独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程为 .
6.解分式方程：－＝1.
7.(2025山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22 h.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
8.(2025龙东地区)已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的值为 ( )
A.k＜－4 B.k＞－4 C.k＜－4且k≠－ D.k＞－4且k≠－
9.(2025遂宁)若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为( )
A.2 B.3 C.0或2 D.－1或3
10.(2025重庆)列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个.
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.第8讲 分式方程及其应用
◎2022年版课标要求
能根据等式的基本性质解可化为一元一次方程的分式方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
◎备考策略
1. 熟练掌握分式方程的解题步骤，计算部分抓牢基础；
2.根据等量关系，熟练建模：能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
3. 注重试题背景的真实和问题的实际性：老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题。
◎链接教材
人教：八上P149～P159；华师：八下P12～P16；北师：八下P125～P133.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　 解分式方程
例1 (2025成都模拟)解方程：
＋＝1.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2(x＋1)＋x(x－1)＝(x＋1)(x－1).
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－3.
解分式方程的步骤如下：
变式1 解方程：
(1)(2025资阳改编)＝；
解：方程两边乘(x＋1)(x＋3)，得
3(x＋3)＝5(x＋1).
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋1)(x＋3)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
(2)(2025威海)－1＝；
解：方程两边乘(2x－1)，得
x－2－(2x－1)＝－1.
解得x＝0.
检验：当x＝0时，2x－1≠0.
∴原分式方程的解为x＝0.
(3)(2025德阳模拟)－＝1.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2＋(x＋1)2＝(x＋1)(x－1).
解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－2.
例2 关于y的分式方程＋＝1的解为正数，则a的取值范围为(　B　)
A.a＞1 B.a＞1且a≠4 C.a＞－1 D.a＞－1且a≠4
由分式方程的解为正数，得到关于a的不等式，一定要注意分式方程的公分母不等于0时a的取值.
变式2 (2025凉山州)若关于x的分式方程＋＝3无解，则m＝　－1　.
将分式方程化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或使分母为零，分别求解即可.
考点2　分式方程的应用
例3 (2024巴中)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60 km，一部分学生乘慢车先行0.5 h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km，求慢车的速度.设慢车的速度为x km/h，则可列方程为(　A　)
A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝
变式3－1 (2025云南)某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg，机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1 000 kg所用时间相等.求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运x kg化工原料，则机器人B每小时搬运(x＋20)kg化工原料.
根据题意，得＝.
解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意.
∴x＋20＝100.
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料.
【提醒】分式方程的应用题注意双检验：
(1)检验是否为分式方程的解；
(2)检验是否符合实际意义.
变式3－2 (2025扬州)某文创商店推出甲、乙两款书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价.
解：设乙款书签的单价为x元，则甲款书签的单价为x元.
根据题意，得＝－3.
解得x＝16.
经检验，x＝16是原分式方程的解，且符合题意.
∴x＝×16＝20.
答：乙款书签的单价为16元，甲款书签的单价为20元.
1.(2025湖南省卷)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　A　)
A.x＋1＝2x　
B.x＋2＝1　
C.1＝2x
D.x＝2(x＋1)
2.(2025绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15 t，A货车运输450 t所用时间与B货车运输300 t所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x t，则可列方程为(　C　)
A.＝　 B.＝　 C.＝　　 D.＝
3.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里＝500 m)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为＝，其中x表示(　C　)
A.快马的速度 B.慢马的速度 C.规定的时间 D.以上都不对
4.(2025宜宾)方程＋＝0的解为　x＝1　.
5.一项工程，甲队单独做提前2天完成，乙队单独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队单独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程为　＋＝1　.
6.解分式方程：－＝1.
解：方程两边乘(x＋3)(x－3)，得
(x＋3)(x＋2)－5＝(x＋3)(x－3).
解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，(x＋3)(x－3)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－2.
7.(2025山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22 h.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x km.
根据题意，得－＝22.
解得x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意.
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km.
8.(2025龙东地区)已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的值为 (　A　)
A.k＜－4 B.k＞－4 C.k＜－4且k≠－ D.k＞－4且k≠－
9.(2025遂宁)若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为(　D　)
A.2 B.3 C.0或2 D.－1或3
10.(2025重庆)列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个.
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
解：(1)设该厂每天生产的乙种文创产品数量是x个，则甲种文创产品数量为(x＋50)个.
根据题意，得3(x＋50)＝4x＋100.
解得x＝50.
∴x＋50＝100.
答：该厂每天生产的乙种文创产品数量是50个，甲种文创产品数量是100个.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则甲种文创产品增加的数量是2y个.
根据题意，得－＝10.
解得y＝20.
经检验，y＝20是原分式方程的解，且符合题意.
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.

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