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第9讲 一元二次方程及其应用
◎2022年版课标要求
①理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
②会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.
③了解一元二次方程的根与系数的关系(2022年版课标调整为考查内容)．
④ 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程”)；
◎备考策略
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，了解一元二次方程的根与系数的关系，把更多判别式和根与系数的关系转化为解决函数综合问题的工具；
3. 能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
4. 老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题。
◎链接教材
人教：九上P1～P26；华师：九上P17～P46；北师：九上P30～P58.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　一元二次方程的相关概念及解法
概念 等式的两边都是整式，只含有　① 　未知数，并且未知数的最高次数为　② 　的方程
一般形式 ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c为常数且a≠0
解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
例1 一元二次方程2x2＋3x－4＝0的常数项为( )
A.2 B.3 C.4 D.－4
例2 (2025达州)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为 .
变式2 已知方程x2－3x＋1＝0有一个根是m，则代数式2m2－6m＋2 026的值为 .
例3 解方程：x2＋4x＋3＝0.
变式3 解方程：(1)x2－6x＋8＝0；
(2)2x2＋3x－1＝0.
考点2　一元二次方程根的判别式
概念 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为　③ 　
结论 (1)b2－4ac＞0 方程有　④ 　的实数根；(2)b2－4ac＝0 方程有　⑤ 　的实数根；(3)b2－4ac　⑥ 　0 方程无实数根
例4 (2025内江)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a＜2 C.a≤2且a≠1 D.a＜2且a≠1
变式4－1 (2025德阳)若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是( )
A.2 B.0 C.－2 D.－4
变式4－2 (2025南充模拟)已知关于x的方程为(k2－1)x2－(3k－1)x＋2＝0，k为实数.判断方程的根的情况.
考点3　一元二次方程根与系数的关系
内容 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝　⑦ 　，x1x2＝　⑧ 　
例5 (2025乐山)若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x2＋x1的值为( )
A.1 B.1 C.－2 D.2
(1)＋＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；
(4)＋＝；
(5)＋＝＝；
(6)｜x1－x2｜＝
＝.
变式5－1 (2025广安)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为 .
变式5－2 若关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)设x1，x2是方程的两个根，且＋＝x1x2－4，求k的值.
考点4　 一元二次方程的应用
例6 (2025泸州模拟)某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的40元/kg经两次调价后调至32.4元/kg.
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率.
(2)现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500 kg，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20 kg，现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
变式6－1 (2025德阳模拟)在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个球队之间都要比赛一场，共比赛36场，则每个球队参赛的场数为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
变式6－2 (2025广元)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为x m，则
可列方程为( )
A.(12－x)(10－x)＝12×10×
B.(12－2x)(10－x)＝12×10×
C.(12－x)(10－2x)＝12×10×
D.(12－2x)(10－2x)＝12×10×
1.将一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是( )
A.2，－1 B.2，4 C.2，－4 D.2，1
2.用配方法解方程x2－4x－9＝0时，原方程应变形为( )
A.(x－2)2＝13 B.(x－2)2＝11 C.(x－4)2＝11 D.(x－4)2＝13
3.(2025广安)关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法确定
4.(2025湖北省卷)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( )
A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3　 C.x1x2＝4　 D.x1x2＝3
5.(2025福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程为( )
A.5x2＝6
B.5(1＋x2)＝6
C.x(5－x)＝6
D.5(1＋x)2＝6
6.(2025凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 t.若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是( )
A.560(1＋x)2＝1 860
B.560＋560(1＋x)＋560(1＋2x)＝1 860
C.560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860
D.560＋560(1＋2x)2＝1 860
7.一元二次方程x2－2x＝0的根是 .
8.(2025苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ .
9.(2025广元)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－＝0有两个相等的实数根，则a＝ .
10.解方程：
(1)(y－2)(y－3)＝12；
(2)x2－6x＋1＝0.
11.(2025泸州)若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为 .
12.(2025南充)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根.
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值；
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
13.某摊主购进一款饰品进行销售，该款饰品进价为每个25元，标价为每个37元.临近春节，该摊主打算将该款饰品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使该款饰品平均每天的销售利润为90元？(注：利润＝售价－进价)
14.(2024凉山州)阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 .
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500.
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？第9讲 一元二次方程及其应用
◎2022年版课标要求
①理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
②会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.
③了解一元二次方程的根与系数的关系(2022年版课标调整为考查内容)．
④ 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程”)；
◎备考策略
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，了解一元二次方程的根与系数的关系，把更多判别式和根与系数的关系转化为解决函数综合问题的工具；
3. 能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
4. 老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题。
◎链接教材
人教：九上P1～P26；华师：九上P17～P46；北师：九上P30～P58.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　一元二次方程的相关概念及解法
概念 等式的两边都是整式，只含有　①　一个　未知数，并且未知数的最高次数为　②　2　的方程
一般形式 ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c为常数且a≠0
解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
例1 一元二次方程2x2＋3x－4＝0的常数项为(　D　)
A.2 B.3 C.4 D.－4
例2 (2025达州)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为　2　.
变式2 已知方程x2－3x＋1＝0有一个根是m，则代数式2m2－6m＋2 026的值为　2 024　.
例3 解方程：x2＋4x＋3＝0.
解：解法一　移项，得x2＋4x＝－3.
配方，得x2＋4x＋4＝－3＋4，即(x＋2)2＝1.
两边开平方，得x＋2＝±1，即x＋2＝1或x＋2＝－1.
∴x1＝－1，x2＝－3.
解法二　∵a＝1，b＝4，c＝3，
∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×3＝4.
∴x＝＝＝，
即x1＝－1，x2＝－3.
变式3 解方程：(1)x2－6x＋8＝0；
解：移项，得x2－6x＝－8.
配方，得x2－6x＋9＝－8＋9，即(x－3)2＝1.
两边开平方，得x－3＝1或x－3＝－1.
∴x1＝4，x2＝2.
(2)2x2＋3x－1＝0.
解：∵a＝2，b＝3，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－1)＝9＋8＝17.
∴x＝＝＝.
∴方程的解为x1＝，x2＝.
考点2　一元二次方程根的判别式
概念 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为　③　b2－4ac　
结论 (1)b2－4ac＞0 方程有　④　两个不相等　的实数根；(2)b2－4ac＝0 方程有　⑤　两个相等　的实数根；(3)b2－4ac　⑥　＜　0 方程无实数根
例4 (2025内江)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　C　)
A.a≤2 B.a＜2 C.a≤2且a≠1 D.a＜2且a≠1
变式4－1 (2025德阳)若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是(　C　)
A.2 B.0 C.－2 D.－4
变式4－2 (2025南充模拟)已知关于x的方程为(k2－1)x2－(3k－1)x＋2＝0，k为实数.判断方程的根的情况.
解：当k2－1＝0时，k＝1或k＝－1.
原方程为－2x＋2＝0或4x＋2＝0.
此时关于x的方程有实数根.
当k2－1≠0时，原方程为一元二次方程.
∵Δ＝(3k－1)2－8(k2－1)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0，
∴关于x的方程有实数根.
综上，k为任何实数，原方程均有实数根.
考点3　一元二次方程根与系数的关系
内容 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝　⑦　－　，x1x2＝　⑧　　
例5 (2025乐山)若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x2＋x1的值为(　C　)
A.1 B.1 C.－2 D.2
(1)＋＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；
(4)＋＝；
(5)＋＝＝；
(6)｜x1－x2｜＝
＝.
变式5－1 (2025广安)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为　29　.
变式5－2 若关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)设x1，x2是方程的两个根，且＋＝x1x2－4，求k的值.
解：(1)∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，
∴Δ＝(－4)2－4(k＋1)≥0.解得k≤3.
(2)根据题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1.
∵＋＝x1x2－4，
∴＝x1x2－4.
∴＝k＋1－4.
化简，得k2－2k－15＝0.
解得k1＝5，k2＝－3.
∵k≤3，
∴k＝－3.
考点4　 一元二次方程的应用
例6 (2025泸州模拟)某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的40元/kg经两次调价后调至32.4元/kg.
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率.
(2)现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500 kg，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20 kg，现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
解：(1)设这个降价率为x.
由题意，得40(1－x)2＝32.4.
解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去).
答：这个降价率为10％.
(2)设每千克水果应涨价y元.
由题意，得(500－20y)(10＋y)＝6 000.
整理，得y2－15y＋50＝0.
解得y1＝5，y2＝10.
∵要使顾客得到实惠，
∴y应取5.
答：每千克水果应涨价5元.
变式6－1 (2025德阳模拟)在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个球队之间都要比赛一场，共比赛36场，则每个球队参赛的场数为(　B　)
A.7 B.8 C.9 D.10
变式6－2 (2025广元)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为x m，则
可列方程为(　D　)
A.(12－x)(10－x)＝12×10×
B.(12－2x)(10－x)＝12×10×
C.(12－x)(10－2x)＝12×10×
D.(12－2x)(10－2x)＝12×10×
1.将一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是(　C　)
A.2，－1 B.2，4 C.2，－4 D.2，1
2.用配方法解方程x2－4x－9＝0时，原方程应变形为(　A　)
A.(x－2)2＝13 B.(x－2)2＝11 C.(x－4)2＝11 D.(x－4)2＝13
3.(2025广安)关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的情况是(　B　)
A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法确定
4.(2025湖北省卷)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　D　)
A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3　 C.x1x2＝4　 D.x1x2＝3
5.(2025福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程为(　C　)
A.5x2＝6
B.5(1＋x2)＝6
C.x(5－x)＝6
D.5(1＋x)2＝6
6.(2025凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 t.若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是(　C　)
A.560(1＋x)2＝1 860
B.560＋560(1＋x)＋560(1＋2x)＝1 860
C.560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860
D.560＋560(1＋2x)2＝1 860
7.一元二次方程x2－2x＝0的根是　x1＝0，x2＝2　.
8.(2025苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝　－3　.
9.(2025广元)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－＝0有两个相等的实数根，则a＝　－1　.
10.解方程：
(1)(y－2)(y－3)＝12；
解：化为一般形式，得y2－5y－6＝0.
因式分解，得(y＋1)(y－6)＝0.
∴y＋1＝0或y－6＝0.
解得y1＝－1，y2＝6.
(2)x2－6x＋1＝0.
解：∵a＝1，b＝－6，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×1＝32.
∴x＝＝3±2.
∴x1＝3＋2，x2＝3－2.
11.(2025泸州)若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为　10　.
12.(2025南充)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根.
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值；
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
解：(1)把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，得m2＝6.∴m＝±.
∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0.
解得x1＝－1，x2＝4.∴x2＝4，m＝±.
(2)证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.
∵Δ＝4m2＋1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝－m2.
∵－m2≤0，∴(x1－1)(x2－1)≤0.
13.某摊主购进一款饰品进行销售，该款饰品进价为每个25元，标价为每个37元.临近春节，该摊主打算将该款饰品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使该款饰品平均每天的销售利润为90元？(注：利润＝售价－进价)
解：设每个该款饰品售价定为a元.
由题意，得(a－25)×＝90.
化简，得a2－64a＋1 020＝0.
解得a1＝30，a2＝34.
∵要尽快清空库存，
∴a＝30.
答：当售价定为每件30元时，才能使该款饰品平均每天的销售利润为90元.
14.(2024凉山州)阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为　36　，前15行的点数之和为　120　，那么，前n行的点数之和为　n(n＋1)　.
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和　不能　(填“能”或“不能”)为500.
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
解：前n行的点数之和为
2＋4＋6＋…＋2n＝2×(1＋n)×n＝n(n＋1).
由题意，得n(n＋1)＝420.
整理，得n2＋n－420＝0，
即(n＋21)(n－20)＝0.
解得n＝20或n＝－21(舍去).
∴一共能摆放20排.

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