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第10讲 一元一次不等式(组)及其应用
◎2022年版课标要求
①结合具体问题，了解不等式的意义， 探索不等式的基本性质.
②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
◎备考策略
1. 先基础，再综合：在教学过程中，老师要先对学生进行基础点的复习，熟练掌握不等式的性质，不等式解题步骤，再到不等式组的求解；
2. 题目选取抓住本质教学：
①练习三种解不等式的形式；②去括号、去分母、变号、实心圆点、空心圆圈均需涉及；③会解任意两种不等式组成的不等式组的解集．
3. 根据不等量关系，熟练建模：能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
4. 注重试题背景的真实和问题的实际性：老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题．
◎链接教材
人教：七下P113～P133；华师：七下P49～P70；北师：八下P36～P63.
◎讲安排
建议1-2讲
◎教学过程
考点1　 不等式的基本性质
性质 内容应用
性质1 如果a＞b，那么a±c　① 　b±c
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac　② 　bc
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac　④ 　bc
例1 (2025乐山模拟)若a＜b，则下列不等式变形正确的是( )
A.a＋1＞b＋1
B.3a＜3b
C.a－b＞0
D.a2＞b2
变式1－1 已知x＞y，要使不等式(k－2)x＜(k－2)y成立，写出一个符合条件的k的整数值： .
变式1－2 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A，B对应的实数分别是a，b，下列结论一定成立的是( )
A.a－2＜b－2
B.b－a＜0
C.2a＞2b
D.a＋b＜0
考点2　一元一次不等式的概念及解法
概念 只含有　⑥ 　未知数，未知数的次数是　⑦ 　的不等式叫作一元一次不等式
例2 (2025达州)解不等式：≤，并把解集表示在数轴上.
【提醒】在数轴上表示不等式的解集要点：
(1)定方向：小于向左，大于向右；
(2)定边界：“≥”“≤”用实心圆点，“＞”“＜”用空心圆圈.
变式2 求不等式≥x－1的正整数解.
考点3　一元一次不等式组的概念及解法
概念 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组
解集 几个一元一次不等式解集的公共部分
例3 (2025天津)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 .
【归纳】利用数轴求不等式组的解集
类型(a＜b) 图示 解集 口诀
x＞b 同大取大
x＜a 同小取小
a＜x＜b 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
变式3 (2025重庆)求不等式组：的所有整数解.
考点4　一元一次不等式的应用
例4 (2025成都)2025年8月7日至8月17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
变式4 (2025湖南省卷)同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
(1)求A种材料和B种材料的单价；
(2)若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
1.(2025济南)若a＞b，则下列式子正确的是( )
A.a－1＜b－1 B.＜ C.－a＞－b D.2a＞a＋b
2.(2025福建)不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是( )
3.(2025宜宾)满足不等式组的解是( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
4.不等式2x－3＜11的一个正整数解是 .
5.若(1－a)x≤a－1的解集为x≥－1，则a的取值范围是 .
6.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)＞x－2；
(2)1－≤.
7.解不等式组：
(1)(2025北京)
(2)(2025成都)
8.(2025宜宾改编)某中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，他至少要答对多少道题？
9.若关于x，y的方程组的解满足3x＋2y＞7，则m的最小整数解为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
10.(2025南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 .
11.已知实数a，b满足2a－3b＝4，且a≥－1，b＜2，则a的取值范围是 .
12.(2025内江)对于x，y定义了一种新运算G，规定G(x，y)＝x＋3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 .
13.(2025遂宁)为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的.
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱？最低购买费用是多少元？第10讲 一元一次不等式(组)及其应用
◎2022年版课标要求
①结合具体问题，了解不等式的意义， 探索不等式的基本性质.
②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
◎备考策略
1. 先基础，再综合：在教学过程中，老师要先对学生进行基础点的复习，熟练掌握不等式的性质，不等式解题步骤，再到不等式组的求解；
2. 题目选取抓住本质教学：
①练习三种解不等式的形式；②去括号、去分母、变号、实心圆点、空心圆圈均需涉及；③会解任意两种不等式组成的不等式组的解集．
3. 根据不等量关系，熟练建模：能有效且快速提炼信息，根据等量关系建模；
4. 注重试题背景的真实和问题的实际性：老师在平时选题或者原创题时，在背景上，注意选择与学生密切联系的实际问题相关试题，数据要真实，设问要符合实际，能解决实际问题．
◎链接教材
人教：七下P113～P133；华师：七下P49～P70；北师：八下P36～P63.
◎讲安排
建议1-2讲
◎教学过程
考点1　 不等式的基本性质
性质 内容应用
性质1 如果a＞b，那么a±c　①　＞　b±c
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac　②　＞　bc
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac　④　＜　bc
例1 (2025乐山模拟)若a＜b，则下列不等式变形正确的是(　B　)
A.a＋1＞b＋1
B.3a＜3b
C.a－b＞0
D.a2＞b2
变式1－1 已知x＞y，要使不等式(k－2)x＜(k－2)y成立，写出一个符合条件的k的整数值：　1(答案不唯一)　.
变式1－2 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A，B对应的实数分别是a，b，下列结论一定成立的是(　A　)
A.a－2＜b－2
B.b－a＜0
C.2a＞2b
D.a＋b＜0
考点2　一元一次不等式的概念及解法
概念 只含有　⑥　一个　未知数，未知数的次数是　⑦　1　的不等式叫作一元一次不等式
例2 (2025达州)解不等式：≤，并把解集表示在数轴上.
解：去分母，得3(3x－1)≤2(2x＋1).
去括号，得9x－3≤4x＋2.
移项，得9x－4x≤3＋2.
合并同类项，得5x≤5.
系数化为1，得x≤1.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
【提醒】在数轴上表示不等式的解集要点：
(1)定方向：小于向左，大于向右；
(2)定边界：“≥”“≤”用实心圆点，“＞”“＜”用空心圆圈.
变式2 求不等式≥x－1的正整数解.
解：去分母，得1＋x≥3(x－1).
去括号，得1＋x≥3x－3.
移项，得x－3x≥－3－1.
合并同类项，得－2x≥－4.
系数化为1，得x≤2.
∴不等式的正整数解为1，2.
考点3　一元一次不等式组的概念及解法
概念 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组
解集 几个一元一次不等式解集的公共部分
例3 (2025天津)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得　x≤1　；
(2)解不等式②，得　x≥－2　；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为　－2≤x≤1　.
【归纳】利用数轴求不等式组的解集
类型(a＜b) 图示 解集 口诀
x＞b 同大取大
x＜a 同小取小
a＜x＜b 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
变式3 (2025重庆)求不等式组：的所有整数解.
解：解不等式①，得x＜2.
解不等式②，得x≥－1.
∴原不等式组的解集为－1≤x＜2.
∴该不等式组的所有整数解是－1，0，1.
考点4　一元一次不等式的应用
例4 (2025成都)2025年8月7日至8月17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
解：(1)设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元.
根据题意，得－＝7.
解得x＝25.
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意.
答：每个A种挂件的价格为25元.
(2)设该游客购买y个A种挂件，则购买(y＋5)个B种挂件.
由(1)，得每个B种挂件的价格为×25＝20(元).
根据题意，得25y＋20(y＋5)≤600.
解得y≤.
∵y为正整数，∴y最大值为11.
答：该游客最多购买11个A种挂件.
变式4 (2025湖南省卷)同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
(1)求A种材料和B种材料的单价；
解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元.
根据题意，得解得
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元.
(2)若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
解：设购买A种材料m件，则购买B种材料(50－m)件.
根据题意，得9m＋6(50－m)≤360.
解得m≤20.
∴m的最大值为20.
答：最多能购买A种材料20件.
1.(2025济南)若a＞b，则下列式子正确的是(　D　)
A.a－1＜b－1 B.＜ C.－a＞－b D.2a＞a＋b
2.(2025福建)不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是(　C　)
3.(2025宜宾)满足不等式组的解是(　C　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
4.不等式2x－3＜11的一个正整数解是　1(答案不唯一，x＜7即可)　.
5.若(1－a)x≤a－1的解集为x≥－1，则a的取值范围是　a＞1　.
6.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)＞x－2；
解：去分母，得2x－1＞5(x－2).
去括号，得2x－1＞5x－10.
移项，得2x－5x＞－10＋1.
合并同类项，得－3x＞－9.
系数化为1，得x＜3.
把解集表示在数轴上，如图所示.
(2)1－≤.
解：去分母，得12－3(x－1)≤4(2x＋1).
去括号，得12－3x＋3≤8x＋4.
移项，得－3x－8x≤4－12－3.
合并同类项，得－11x≤－11.
系数化为1，得x≥1.
把解集表示在数轴上，如图所示.
7.解不等式组：
(1)(2025北京)
解：解不等式①，得x＞－3.
解不等式②，得x＜1.
∴原不等式组的解集为－3＜x＜1.
(2)(2025成都)
解：解不等式①，得x＞2.
解不等式②，得x≤8.
∴原不等式组的解集为2＜x≤8.
8.(2025宜宾改编)某中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，他至少要答对多少道题？
解：设小明答对了x道题，则答错或不答的题为(20－x)道.
根据题意，得10x－5(20－x)≥80.
解得x≥12.∴x的最小值为12.
答：他至少要答对12道题.
9.若关于x，y的方程组的解满足3x＋2y＞7，则m的最小整数解为(　C　)
A.4 B.3 C.2 D.1
10.(2025南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　m≤3　.
11.已知实数a，b满足2a－3b＝4，且a≥－1，b＜2，则a的取值范围是　－1≤a＜5　.
12.(2025内江)对于x，y定义了一种新运算G，规定G(x，y)＝x＋3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　－17≤P＜－7　.
13.(2025遂宁)为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的.
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱？最低购买费用是多少元？
解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价为x元，B型号的新型垃圾桶的单价为y元.
由题意，得解得
答：A型号的新型垃圾桶的单价为60元，B型号的新型垃圾桶的单价为100元.
任务二：设购买A型号的新型垃圾桶a个，则购买B型号的新型垃圾桶(200－a)个.
由题意，得
解得117.5≤a≤120.
∵a为整数，∴a＝118或119或120.
∴有三种购买方案：
①购买A型号的新型垃圾桶118个，购买B型号的新型垃圾桶82个；
②购买A型号的新型垃圾桶119个，购买B型号的新型垃圾桶81个；
③购买A型号的新型垃圾桶120个，购买B型号的新型垃圾桶80个.
任务三：
方案①购买费用为60×118＋100×82＝15 280(元)；
方案②购买费用为60×119＋100×81＝15 240(元)；
方案③购买费用为60×120＋100×80＝15 200(元).
∵15 280＞15 240＞15 200，
∴购买A型号的新型垃圾桶120个，购买B型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15 200元.

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