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第11讲 平面直角坐标系
◎2022年版课标要求
①理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；
②在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；
③对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形(2022年版课标将“刻画一个简单图形”调整为“表达单图形”)；
④在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写简出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；
⑤在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；
⑥在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化．
◎备考策略
复习时熟练掌握平面直角坐标洗的有关概念、函数的基本定义，函数的应用也要重视，不能因为近几年考查次数少而忽略对基础知识和题型的掌握。
◎链接教材
人教：七下P63～P86；华师：八下P34～P36，九上P84～P93；北师：八上P53～P73.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　平面直角坐标系及点的坐标特征
各象限内
坐标轴上 (1)点P(x，y)在x轴上 　⑤ 　＝0；(2)点P(x，y)在y轴上 　⑥ 　＝0；(3)原点O的坐标为　⑦ 　.注意：坐标轴上的点不属于任何象限
各象限角平分线上 (1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标　⑧ 　；(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标　⑨ 　
平行于坐标轴的直线上 (1)平行于x 轴的直线上点的　⑩ 　坐标相等；(2)平行于y轴的直线上点的　 　坐标相等
例1 已知点P(4－n，2n＋8).
(1)若点P在第二象限，则n的取值范围是 .
(2)若点P在x轴上，则n＝ ；若点P在y轴上，则n＝ .
(3)若点P在第一、三象限的角平分线上，则n＝ ；若点P在第二、四象限的角平分线上，则n＝ .
(4)若点Q(4，n＋5)，PQ∥y轴，则点Q在第 象限.
变式1－1 (2025成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
变式1－2 在平面直角坐标系中，若点A(m，m－3)在x轴上，则点B(m＋2，1－m)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例2 如图，将一片枫叶图案放在平面直角坐标系中，若点A，B的坐标分别为(0，2)，(－1，0)，则点C的坐标为 .
(例2)
变式2 如图，点M是正六边形EFGHPQ的中心.在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0，0)，点E的坐标为(－1，0)，则点H的坐标为( )
(变式2)
A.(－2，0)　 B.(1，1)　 C.(1，0)　 D.(2，0)
　考点2　平面直角坐标系内点的坐标与距离
点到坐标轴及原点的距离 如图，P(a，b)为平面直角坐标系中任意一点.(1)点P(a，b)到x轴的距离为｜b｜；(2)点P(a，b)到y轴的距离为｜a｜；(3)点P(a，b)到原点的距离为
两点间的距离 已知P(x，y)，Q(x1，y1)为平面直角坐标系中任意两点.(1)如图1，PQ∥x轴 y＝y1，PQ＝｜x1－x｜；(2)如图2，PQ∥y轴 x＝x1，PQ＝｜y1－y｜；(3)PQ＝.拓展：PQ的中点M的坐标是
例3 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为( )
A.(2，－4) B.(4，－2) C.(－4，2) D.(－2，4)
变式3－1 已知点A(－1，2)，点B到y轴的距离为3，若线段AB与x轴平行，则点B的坐标为 .
变式3－2 如图，若四边形ABCD为正方形，AB平行于x轴，顶点A的坐标是(－1，1)，B的坐标是(3，1)，则顶点C的坐标是 .
　考点3　用坐标表示点的对称与平移
点的对称 P(x，y)P1　 　；P(x，y)P2　 　；P(x，y)P3　 　
点的平移 P(x，y)P1(x－m，y)；P(x，y)P2　 　；P(x，y)P3　 　；P(x，y)P4　 　
例4 已知点P(－2，3)关于原点的对称点为点Q(a，b)，则a－b＝ .
变式4－1 点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称.若点A的坐标为(m，n)，则点C的坐标为( )
A.(－m，n) B.(m，－n) C.(－m，－n) D.(m，n)
变式4－2 已知点(a，－3)向左平移4个单位长度后，到y轴的距离为2，则a的值为 .
例5 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(3，c)三点，且a，b满足关系式｜a－2｜＋(b－3)2＝0，BC＝2OA.
(1)求点C的坐标.
(2)是否存在点P使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1.(2025)如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，在第四象限的是 ( )
(第1题)
A.点A　　　 B.点B　　 C.点C D.点D
2.若点P(3，a－2)和点Q(3，－2)关于x轴对称，则a的值为( )
A.4 B.－2 C.2 D.－4
3.大雁在南飞时保持严格整齐的队形，即排成“人”或“一”.如图，这是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标分别为F(－1，4)，G(－1，－2)，那么头雁A的坐标是( )
(第3题)
A.(3，1) B.(4，1) C.(4，2) D.(5，1)
4.若将点P(3m－1，m＋2)向上平移1个单位长度得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为( )
A.(－5，0) B.(－7，－1) C.(－10，0) D.(－10，－1)
5.如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥x轴于点A(－6，0)，直线m⊥y轴于点B(0，－3)，则点P的坐标可能是( )
A.(－6.5，－3.5) B.(－6.5，－2.5) C.(－5.5，－3.5) D.(－5.5，－2.5)
6.(2025广安)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a－2)2＋｜b＋3｜＝0，则点A在第 象限.
7.(2025泸州)若点(1，a－2)在第一象限，则a的取值范围是 .
8.已知点P(4，a＋1)与点Q(－5，7－a)的连线平行于x轴，则a的值为 .
9.在平面直角坐标系中，已知点M(m＋2，m－5).
(1)若点M在x轴上，求m的值；
(2)若点M在第二、四象限的角平分线上，求点M的坐标；
(3)在同一平面直角坐标系中，点A(4，6)，且AM∥y轴，求点M的坐标.
10.已知点P(2a，1－3a)在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和是11，则a的值为( )
A.－1 B.1 C.－2 D.3
11.在平面直角坐标系中，有A(0，3)，B(2，3)，C(4，－1)三点，P为直线AB上的动点，当PC的长度最小时，点P的坐标为( )
A.(－1，3) B.(4，3) C.(3，3) D.(2，2)
12.已知m2＝16，＝5，若A(m，n)在第四象限，则m＋n的值为 .
13.如图，已知A，B两点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C(1，2)，则点B的对应点D的坐标是 .
14.(2025山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为 .
15.(2025德阳)△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是 .(只需写出一个即可)
16.已知当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n时，称P(2m－2，n＋2)为“好点”.例如，点A(5，1)为“好点”.因为当A的坐标为(5，1)时，2m－2＝5，n＋2＝1，解得m＝，n＝－1，所以2m＝2×＝7，8＋n＝8＋(－1)＝7.所以2m＝8＋n.所以A(5，1)是“好点”.
(1)判断B(3，－1)，C(6，10)是否为“好点”，并说明理由；
(2)若点M(a，2a－1)是“好点”，请判断点M在第几象限，并说明理由.第11讲 平面直角坐标系
◎2022年版课标要求
①理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；
②在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；
③对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形(2022年版课标将“刻画一个简单图形”调整为“表达单图形”)；
④在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写简出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；
⑤在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；
⑥在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化．
◎备考策略
复习时熟练掌握平面直角坐标洗的有关概念、函数的基本定义，函数的应用也要重视，不能因为近几年考查次数少而忽略对基础知识和题型的掌握。
◎链接教材
人教：七下P63～P86；华师：八下P34～P36，九上P84～P93；北师：八上P53～P73.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　平面直角坐标系及点的坐标特征
各象限内
坐标轴上 (1)点P(x，y)在x轴上 　⑤　y　＝0；(2)点P(x，y)在y轴上 　⑥　x　＝0；(3)原点O的坐标为　⑦　(0，0)　.注意：坐标轴上的点不属于任何象限
各象限角平分线上 (1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标　⑧　相等　；(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标　⑨　互为相反数　
平行于坐标轴的直线上 (1)平行于x 轴的直线上点的　⑩　纵　坐标相等；(2)平行于y轴的直线上点的　 　横　坐标相等
例1 已知点P(4－n，2n＋8).
(1)若点P在第二象限，则n的取值范围是　n＞4　.
(2)若点P在x轴上，则n＝　－4　；若点P在y轴上，则n＝　4　.
(3)若点P在第一、三象限的角平分线上，则n＝　－　；若点P在第二、四象限的角平分线上，则n＝　－12　.
(4)若点Q(4，n＋5)，PQ∥y轴，则点Q在第　一　象限.
变式1－1 (2025成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是(　B　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
变式1－2 在平面直角坐标系中，若点A(m，m－3)在x轴上，则点B(m＋2，1－m)所在的象限是(　D　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例2 如图，将一片枫叶图案放在平面直角坐标系中，若点A，B的坐标分别为(0，2)，(－1，0)，则点C的坐标为　(4，－3)　.
(例2)
变式2 如图，点M是正六边形EFGHPQ的中心.在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0，0)，点E的坐标为(－1，0)，则点H的坐标为(　C　)
(变式2)
A.(－2，0)　 B.(1，1)　 C.(1，0)　 D.(2，0)
　考点2　平面直角坐标系内点的坐标与距离
点到坐标轴及原点的距离 如图，P(a，b)为平面直角坐标系中任意一点.(1)点P(a，b)到x轴的距离为｜b｜；(2)点P(a，b)到y轴的距离为｜a｜；(3)点P(a，b)到原点的距离为
两点间的距离 已知P(x，y)，Q(x1，y1)为平面直角坐标系中任意两点.(1)如图1，PQ∥x轴 y＝y1，PQ＝｜x1－x｜；(2)如图2，PQ∥y轴 x＝x1，PQ＝｜y1－y｜；(3)PQ＝.拓展：PQ的中点M的坐标是
例3 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为(　D　)
A.(2，－4) B.(4，－2) C.(－4，2) D.(－2，4)
变式3－1 已知点A(－1，2)，点B到y轴的距离为3，若线段AB与x轴平行，则点B的坐标为　(－3，2)或(3，2)　.
变式3－2 如图，若四边形ABCD为正方形，AB平行于x轴，顶点A的坐标是(－1，1)，B的坐标是(3，1)，则顶点C的坐标是　(3，5)　.
　考点3　用坐标表示点的对称与平移
点的对称 P(x，y)P1　 　(x，－y)　；P(x，y)P2　 　(－x，y)　；P(x，y)P3　 　(－x，－y)　
点的平移 P(x，y)P1(x－m，y)；P(x，y)P2　 　(x＋m，y)　；P(x，y)P3　 　(x，y＋n)　；P(x，y)P4　 　(x，y－n)　
例4 已知点P(－2，3)关于原点的对称点为点Q(a，b)，则a－b＝　5　.
变式4－1 点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称.若点A的坐标为(m，n)，则点C的坐标为(　C　)
A.(－m，n) B.(m，－n) C.(－m，－n) D.(m，n)
变式4－2 已知点(a，－3)向左平移4个单位长度后，到y轴的距离为2，则a的值为　2或6　.
例5 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(3，c)三点，且a，b满足关系式｜a－2｜＋(b－3)2＝0，BC＝2OA.
(1)求点C的坐标.
(2)是否存在点P使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)∵｜a－2｜≥0，(b－3)2≥0，｜a－2｜＋(b－3)2＝0，
∴a－2＝0，b－3＝0.
解得a＝2，b＝3.
∴A(0，2)，B(3，0).∴OA＝2.
∵BC＝2OA，∴BC＝4.
∵B(3，0)，C(3，c)，∴BC⊥x轴.∴C(3，4).
(2)存在点P，使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍.
由(1)，得四边形AOBC为直角梯形，且OA＝2，BC＝4，OB＝3.
∴S四边形AOBC＝(OA＋BC)·OB＝×(2＋4)×3＝9.
∵S△AOP＝·OA·｜m｜＝×2·｜m｜＝｜m｜，S△AOP＝2S四边形AOBC，
∴｜m｜＝2×9.∴m＝±18.
∴点P的坐标为(18，－6)或(－18，6).
1.(2025)如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，在第四象限的是 (　D　)
(第1题)
A.点A　　　 B.点B　　 C.点C D.点D
2.若点P(3，a－2)和点Q(3，－2)关于x轴对称，则a的值为(　A　)
A.4 B.－2 C.2 D.－4
3.大雁在南飞时保持严格整齐的队形，即排成“人”或“一”.如图，这是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标分别为F(－1，4)，G(－1，－2)，那么头雁A的坐标是(　D　)
(第3题)
A.(3，1) B.(4，1) C.(4，2) D.(5，1)
4.若将点P(3m－1，m＋2)向上平移1个单位长度得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为(　D　)
A.(－5，0) B.(－7，－1) C.(－10，0) D.(－10，－1)
5.如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥x轴于点A(－6，0)，直线m⊥y轴于点B(0，－3)，则点P的坐标可能是(　B　)
A.(－6.5，－3.5) B.(－6.5，－2.5) C.(－5.5，－3.5) D.(－5.5，－2.5)
6.(2025广安)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a－2)2＋｜b＋3｜＝0，则点A在第　四　象限.
7.(2025泸州)若点(1，a－2)在第一象限，则a的取值范围是　a＞2　.
8.已知点P(4，a＋1)与点Q(－5，7－a)的连线平行于x轴，则a的值为　3　.
9.在平面直角坐标系中，已知点M(m＋2，m－5).
(1)若点M在x轴上，求m的值；
(2)若点M在第二、四象限的角平分线上，求点M的坐标；
(3)在同一平面直角坐标系中，点A(4，6)，且AM∥y轴，求点M的坐标.
解：(1)∵点M(m＋2，m－5)在x轴上，
∴m－5＝0.
解得m＝5.
(2)∵点M(m＋2，m－5)在第二、四象限的角平分线上，
∴点M的横、纵坐标互为相反数.
∴m＋2＋m－5＝0.
解得m＝.
∴点M的坐标为.
(3)∵点A(4，6)，且AM∥y轴，M(m＋2，m－5)，
∴点A，M的横坐标相等，即m＋2＝4.
解得m＝2.
∴点M的坐标为(4，－3).
10.已知点P(2a，1－3a)在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和是11，则a的值为(　C　)
A.－1 B.1 C.－2 D.3
11.在平面直角坐标系中，有A(0，3)，B(2，3)，C(4，－1)三点，P为直线AB上的动点，当PC的长度最小时，点P的坐标为(　B　)
A.(－1，3) B.(4，3) C.(3，3) D.(2，2)
12.已知m2＝16，＝5，若A(m，n)在第四象限，则m＋n的值为　－1　.
13.如图，已知A，B两点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C(1，2)，则点B的对应点D的坐标是　(3，4)　.
14.(2025山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　(3，3)　.
15.(2025德阳)△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是　(2，1)(答案不唯一，纵坐标的绝对值为1即可)　.(只需写出一个即可)
16.已知当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n时，称P(2m－2，n＋2)为“好点”.例如，点A(5，1)为“好点”.因为当A的坐标为(5，1)时，2m－2＝5，n＋2＝1，解得m＝，n＝－1，所以2m＝2×＝7，8＋n＝8＋(－1)＝7.所以2m＝8＋n.所以A(5，1)是“好点”.
(1)判断B(3，－1)，C(6，10)是否为“好点”，并说明理由；
(2)若点M(a，2a－1)是“好点”，请判断点M在第几象限，并说明理由.
解：(1)B(3，－1)是“好点”，C(6，10)不是“好点”.
理由：当B的坐标为(3，－1)时，
2m1－2＝3，n1＋2＝－1.
解得m1＝，n1＝－3.
∴2m1＝2×＝5，8＋n1＝8＋(－3)＝5.
∴2m1＝8＋n1.∴B(3，－1)是“好点”.
当C的坐标是(6，10)时，
2m2－2＝6，n2＋2＝10.
解得m2＝4，n2＝8.
∴2m2＝2×4＝8，8＋n2＝8＋8＝16.
∴2m2≠8＋n2.
∴C(6，10)不是“好点”.
(2)点M在第三象限.理由：
∵点M(a，2a－1)是“好点”，
∴2m－2＝a，n＋2＝2a－1.
整理，得m＝，n＝2a－3.
∵2m＝8＋n，∴2·＝8＋(2a－3).
解得a＝－3.
∴M(－3，－7).
∴点M在第三象限.

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