资源简介

第12讲 变量与函数
◎2022年版课标要求
探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例；理解函数值的意义(2022年版课标新增)；结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
◎备考策略
复习时熟练掌握函数的基本定义，函数的应用也要重视，不能因为近几年考查次数少而忽略对基础知识和题型的掌握。
◎链接教材
人教：八下P70～P85；华师：八下P27～P33，P36～P42；
北师：七下P61～P79，八上P75～P78.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　函数的相关概念及表示方法
常量、变量 在某一变化过程中，保持不变的量叫作常量，发生变化的量叫作变量
函数 一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有　① 　的值与其对应，那么就说x是　② 　，y是x的函数
函数值 在自变量x的取值范围内，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值
函数的表 示方法 　③ 　；　④ 　； 　⑤ 　
例1 下列各曲线表示y是x的函数的是 .(填序号)
例2 现有一支蜡烛原长为20 cm，每分钟燃烧0.5 cm，点燃x min后，蜡烛的长度是y cm.
(1)当x＝2时，y＝ ；
(2)y与x之间的关系式为 ，其中x的取值范围是 .
变式2－1 在函数y＝中，自变量x的取值范围是 .
变式2－2 如图，已知长方形菜园ABCD一边靠墙(墙足够长)，另外三边是用长为24 m的篱笆围成的，设BC＝x m，AB＝y m，则y与x之间的关系式为 .(写出自变量的取值范围)
　考点2　函数图象获取信息
例3 甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆.已知他离图书馆的距离s(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
(1)他第一次休息时距离图书馆 km，停留的时间为 min；
(2)他离图书馆的最远距离是 km，在120 min内共跑了 km；
(3)他两次休息地相距 km；
(4)他在CD路段内的平均速度是每小时多少千米？
变式3－1 (2025湖南省卷)甲、乙两人在一次100 m赛跑比赛中，路程s(m)与时间t(s)的函数关系如图所示， 先到终点.(填“甲”或“乙”)
变式3－2 氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气.如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M(g)随加热时间t(min)的变化情况，则下列说法错误的是( )
A.第3 min时未产生氧气
B.第6 min时开始产生氧气
C.第10 min时氧气质量达到最大9.6 g
D.10 min后，氧气质量仍在增加
　考点3　根据实际问题得函数图象
例4 高速路况状态下，电动汽车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究，下面是他们的探究过程，请补充完整.
(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程(km)与速度(km/h)的有关数据如表所示：
速度 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
续航 里程 100 340 460 500 580 560 500 430 380 310
则自变量是 ，因变量是 .
(2)如果设速度为x，续航里程为y，请在下图中画出反映变量关系的图象.
(3)结合画出的图象，下列说法正确的有 .(填序号)
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60 km/h左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小.
(4)若想要该车辆的续航里程保持在500 km以上，该车的车速应大约控制在 至 km/h范围内.
画函数图象的步骤：列表、描点、连线.
变式4 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中(不考虑水的阻力)，在铁块接触杯底前停止下降.能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块下降的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是( )
1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( )
A B C D
2.(2025内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A.x≥2 B.x≤2 C.x＞2 D.x＜2
3. (2025)如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度( )
A.越来越慢 B.越来越快 C.保持不变 D.快慢交替变化
4.某游泳池的横断面示意图如图所示.游泳池分为深水区和浅水区，如果以固定的流量向这个空水池注水(注满为止)，则水的深度h与注水时间t的函数关系的大致图象是( )
5.(2025广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是 ( )
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
6.在函数y＝－中，自变量x的取值范围是 .
7.一个正方形的边长为5 cm，每边减少x cm，得到新正方形的周长为y cm，y与x之间的关系式是 .
8.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：
气温/℃ … 11 13 15 …
蟋蟀每分钟 鸣叫的次数 … 56 70 84 …
若这种蟋蟀每分钟鸣叫112次，则该地当时的气温约为 ℃.
9.(2025江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10. (2025河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是( )
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
11.甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地.设甲、乙两车距A地的路程为y(km)，乙车行驶的时间为x(h)，y与x之间的图象如图所示.
(1)求乙车到达B地的时间；
(2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程.
12.如图1，在长方形ABCD中，AB＝4，点P沿着B→C→D→A运动，开始以每秒m个单位长度匀速运动，a s后变为每秒2个单位长度匀速运动，b s后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图2所示.
(1)求长方形的长；
(2)直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ；
(3)当点P运动到BC的中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着C→D→A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x s，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式.第12讲 变量与函数
◎2022年版课标要求
探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例；理解函数值的意义(2022年版课标新增)；结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
◎备考策略
复习时熟练掌握函数的基本定义，函数的应用也要重视，不能因为近几年考查次数少而忽略对基础知识和题型的掌握。
◎链接教材
人教：八下P70～P85；华师：八下P27～P33，P36～P42；
北师：七下P61～P79，八上P75～P78.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　函数的相关概念及表示方法
常量、变量 在某一变化过程中，保持不变的量叫作常量，发生变化的量叫作变量
函数 一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有　①　唯一　的值与其对应，那么就说x是　②　自变量　，y是x的函数
函数值 在自变量x的取值范围内，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值
函数的表 示方法 　③　解析式法　；　④　列表法　； 　⑤　图象法　
例1 下列各曲线表示y是x的函数的是　①②③　.(填序号)
例2 现有一支蜡烛原长为20 cm，每分钟燃烧0.5 cm，点燃x min后，蜡烛的长度是y cm.
(1)当x＝2时，y＝　19　；
(2)y与x之间的关系式为　y＝20－0.5x　，其中x的取值范围是　0≤x≤40　.
变式2－1 在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥1且x≠2　.
变式2－2 如图，已知长方形菜园ABCD一边靠墙(墙足够长)，另外三边是用长为24 m的篱笆围成的，设BC＝x m，AB＝y m，则y与x之间的关系式为　y＝－x＋12(0＜x＜24)　.(写出自变量的取值范围)
　考点2　函数图象获取信息
例3 甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆.已知他离图书馆的距离s(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
(1)他第一次休息时距离图书馆　1.5　km，停留的时间为　20　min；
(2)他离图书馆的最远距离是　3　km，在120 min内共跑了　6　km；
(3)他两次休息地相距　1.5　km；
(4)他在CD路段内的平均速度是每小时多少千米？
解：CD路段内的路程为1.5 km，
所用的时间为＝(h).
∴甲同学在CD路段内的平均速度是1.5÷＝4.5(km/h).
变式3－1 (2025湖南省卷)甲、乙两人在一次100 m赛跑比赛中，路程s(m)与时间t(s)的函数关系如图所示，　甲　先到终点.(填“甲”或“乙”)
变式3－2 氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气.如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M(g)随加热时间t(min)的变化情况，则下列说法错误的是(　D　)
A.第3 min时未产生氧气
B.第6 min时开始产生氧气
C.第10 min时氧气质量达到最大9.6 g
D.10 min后，氧气质量仍在增加
　考点3　根据实际问题得函数图象
例4 高速路况状态下，电动汽车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究，下面是他们的探究过程，请补充完整.
(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程(km)与速度(km/h)的有关数据如表所示：
速度 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
续航 里程 100 340 460 500 580 560 500 430 380 310
则自变量是　速度　，因变量是　续航里程　.
(2)如果设速度为x，续航里程为y，请在下图中画出反映变量关系的图象.
(3)结合画出的图象，下列说法正确的有　②③　.(填序号)
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60 km/h左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小.
(4)若想要该车辆的续航里程保持在500 km以上，该车的车速应大约控制在　40　至　100　km/h范围内.
画函数图象的步骤：列表、描点、连线.
变式4 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中(不考虑水的阻力)，在铁块接触杯底前停止下降.能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块下降的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是(　C　)
1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是(　D　)
A B C D
2.(2025内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是(　A　)
A.x≥2 B.x≤2 C.x＞2 D.x＜2
3. (2025)如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度(　B　)
A.越来越慢 B.越来越快 C.保持不变 D.快慢交替变化
4.某游泳池的横断面示意图如图所示.游泳池分为深水区和浅水区，如果以固定的流量向这个空水池注水(注满为止)，则水的深度h与注水时间t的函数关系的大致图象是(　D　)
5.(2025广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是 (　B　)
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
6.在函数y＝－中，自变量x的取值范围是　x≤3且x≠2　.
7.一个正方形的边长为5 cm，每边减少x cm，得到新正方形的周长为y cm，y与x之间的关系式是　y＝20－4x(0＜x＜5)　.
8.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：
气温/℃ … 11 13 15 …
蟋蟀每分钟 鸣叫的次数 … 56 70 84 …
若这种蟋蟀每分钟鸣叫112次，则该地当时的气温约为　19　℃.
9.(2025江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(　A　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10. (2025河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是(　C　)
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
11.甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地.设甲、乙两车距A地的路程为y(km)，乙车行驶的时间为x(h)，y与x之间的图象如图所示.
(1)求乙车到达B地的时间；
(2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程.
解：(1)由图象，得乙车从A地到B地的速度为180÷1.5＝120(km/h).
∴120m＝300.
解得m＝2.5，
即乙车到达B地的时间为2.5 h.
(2)由图象，得甲车的速度为(300－180)÷1.5＝120÷1.5＝80(km/h).
则乙车到达B地时甲车距A地的路程是300－2.5×80＝300－200＝100(km).
12.如图1，在长方形ABCD中，AB＝4，点P沿着B→C→D→A运动，开始以每秒m个单位长度匀速运动，a s后变为每秒2个单位长度匀速运动，b s后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图2所示.
(1)求长方形的长；
(2)直接写出m＝　1　，a＝　4　，b＝　9　；
(3)当点P运动到BC的中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着C→D→A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x s，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式.
解：(1)∵在5≤t≤7时，△ABP的面积不变，
∴此时点P在CD上运动，速度为每秒2个单位长度.
∵在5≤t≤7时，△ABP的面积为12，
∴×4×BC＝12.∴BC＝6.
∴长方形的长为6.
(3)由(1)，得BC＝6，CD＝2×2＝4.
∵0≤x≤4，∴点Q在DC上.
点P分三种情形：
①当0≤x≤1时，如图，点P1在BC上，BP1＝3＋x，CQ＝x.
∴y＝BP1·CQ＝×(3＋x)·x
＝x2＋x.
②当1＜x≤2时，如图，点P2在BC上，BP2＝4＋2(x－1)＝2x＋2，CQ＝x.
∴y＝BP2·CQ＝×(2x＋2)·x＝x2＋x.
③当2＜x≤4时，如图，点P3在CD上，CP3＝2(x－2)，CQ＝x.
∴P3Q＝x－2(x－2)＝4－x.
∴y＝P3Q·BC＝×(4－x)×6＝12－3x.
∴y＝

展开更多......

收起↑