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第13讲 一次函数的图象与性质
◎2022年版课标要求
①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
②能画一次函数的图象，根据图象和函数表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数.
③体会一次函数与二元一次方程的关系.
◎备考策略
1. 基本要求：熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式，掌握一次函数的图象与性质
2. 选题要求：在平时练习时，先从单一函数求解析式练习，然后逐步综合，比如：两函数图象结合求解析式，结合几何图形求函数解析式等；
3. 加强知识关联：对于综合性题目，能引导学生找到问题本质，找到解决问题的突破口，会运用相关几何知识求点坐标。
◎链接教材
人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　一次函数的概念及其图象与性质
概念 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数.特别地，当b＝0时，y＝kx是正比例函数
k，b取值 k＞0，b＞0 k＞0，b＝0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＝0 k＜0，b＜0
图象
经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性 y随x的增大而　①　增大　 y随x的增大而　②　减小　
与x轴的交点 令y＝0，得图象与x轴的交点坐标为
与y轴的交点 令x＝0，得图象与y轴的交点坐标为(0，b)
例1 已知一次函数y＝(2m－4)x＋4－m，若该函数的图象经过第一、二、三象限，且m为整数，解答下列问题：
(1)求m的值；
解：(1)由题意，得2m－4＞0，4－m＞0.
解得2＜m＜4.
∵m为整数，
∴m＝3.
(2)该一次函数的图象与x轴的交点坐标为　　，与y轴的交点坐标为　(0，1)　；
(3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(4)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且x1＞x2，则y1　＞　y2；(填“＞”“＜”或“＝”)
(5)若把题干中“且m为整数”去掉，该一次函数图象过定点，则定点的坐标为　　.
变式1－1 (2025广安模拟)已知一次函数y＝(k－2)x＋3的图象不经过第三象限，则k的取值范围为　k＜2　.
变式1－2 (2025广安)已知一次函数y＝－3x－6，当x＜－1时，y的值可以是　0(答案不唯一)　.(写出一个合理的值即可)
变式1－3 (2025德阳模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x＋k(k≠0，k为常数)的图象可能是(　D　)
　考点2　一次函数图象的平移
平移情况(m＞0) 平移后的表达式
向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m
向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m
向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b
向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b
例2 (1)将直线y＝－2x向上平移4个单位长度，得到的直线的表达式为　y＝－2x＋4　.
(2)将一次函数y＝－3x＋b的图象沿y轴向下平移2个单位长度，得到一次函数y＝－3x的图象，则b的值为　2　.
变式2 将直线y＝－2x向左平移2个单位长度得到的直线的表达式为(　C　)
A.y＝－2x＋2 B.y＝2x＋2 C.y＝－2x－4 D.y＝－2x＋4
　考点3　用待定系数法确定一次函数关系式
例3 已知直线y＝kx＋b经过点(2，4)与点(－2，2).
(1)确定函数y＝kx＋b的关系式；
(2)已知点(－3，y1)和点(4，y2)在直线y＝kx＋b上，试比较y1与y2的大小.
解：(1)∵直线y＝kx＋b经过点(2，4)与点(－2，2)，
∴解得
∴函数的关系式为y＝x＋3.
(2)∵k＝＞0，
∴y随x的增大而增大.
又－3＜4，
∴y1＜y2.
变式3－1 已知三点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)，试判断这三点是否在同一直线上，并说明理由.
解：这三点在同一直线上.理由如下：设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
把A(1，1)，B(2，－1)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y＝－2x＋3.
当x＝4时，y＝－2×4＋3＝－5.
∴点C(4，－5)在直线AB上.
∴点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)在同一直线上.
变式3－2 已知直线y＝kx＋b与直线y＝－2x平行，且经过点(2，3)，则b的值是　7　.
(1)判断三点共线的方法：首先利用两点确定一条直线，然后验证第三点是否在此直线上；
(2)直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2平行 k1＝k2且b1≠b2；
(3)拓展：直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2垂直 k1k2＝－1.
　考点4　一次函数与方程(组)、不等式
函数图象
方程(组) 关于x的方程kx＋b＝0的解为　③　x＝x0　 关于x，y的方程组的解为　④　　
不等式 关于x的不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集为x＞x0(或x＜x0) 关于x的不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集为　⑤　x＞m(或x＜m)　
例4 如图，若直线y＝ax＋b过点A(0，4)，B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　A　)
A.x＝－3 B.x＝4 C.x＝－ D.x＝－
变式4 (2025南充)已知直线y＝m(x＋1)(m≠0)与直线y＝n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，则＋的值是　－　.
例5 如图，若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)，则关于x的不等式kx＋b≥2的解集为　x≤0　.
变式5－1 如图，若一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象过点(－1，0)，则关于x的不等式k(x－1)＋b＞0的解集是(　C　)
A.x＞－2 B.x＞－1 C.x＞0 D.x＞1
变式5－2 如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则关于x的不等式kx－3＞2x＋b的解集是　x＜4　.
例6 如图，已知直线l：y＝kx＋b过点A(－2，0)，D(4，3).
(1)求直线l的表达式.
(2)若直线y＝－x＋4与x轴交于点B，且与直线l交于点C(2，2).
①求△ABC的面积.
②在直线l上是否存在点P，使△ABP的面积是△ABC面积的2倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：(1)把A(－2，0)，D(4，3)代入直线l：y＝kx＋b，得
解得
∴直线l的表达式为y＝x＋1.
(2)①把y＝0代入y＝－x＋4，得
0＝－x＋4.
解得x＝4.
∴B(4，0).∴AB＝4－(－2)＝6.
∴S△ABC＝AB·yC＝×6×2＝6.
②存在.
∵△ABP的面积是△ABC面积的2倍，
∴S△ABP＝6×2＝12.
∴AB·＝×6×＝12.
解得yP＝4或－4.
把y＝4代入y＝x＋1，得4＝x＋1.
解得x＝6.∴P(6，4).
把y＝－4代入y＝x＋1，得－4＝x＋1.
解得x＝－10.∴P(－10，－4).
综上，P(6，4)或P(－10，－4).
1.(2025上海)下列函数中，为正比例函数的是(　D　)
A.y＝3x＋1 B.y＝3x2 C.y＝ D.y＝
2.(2025新疆)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是(　C　)
A B C D
3.(2025广西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b＝(　D　)
A.3 B.4 C.6 D.7
4.(2025安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是(　D　)
A.(－2，2) B.(2，1) C.(－1，3) D.(3，4)
5.已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点(3，m)，则关于x的一元一次方程ax＋b＝m的解是(　A　)
A.x＝3　　　 B.x＝－3　　　 C.x＝3或x＝－3　　 D.不能确定
6.(2025天津)将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是　2(答案不唯一)　(写出一个即可).
7.如图，若直线y＝kx＋6经过点(1，4)，则关于x的不等式kx＋6＜4的解集是　x＞1　.
(第7题)
8.如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P(1，m)，则关于x，y的方程组的解为　　.
(第8题)
9.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－2，－3)与点(0，1).
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)当1≤x＜5时，求函数值y的取值范围.
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－2，－3)与点(0，1)，
∴解得
∴这个一次函数的关系式为y＝2x＋1.
(2)由(1)可知，一次函数的关系式为y＝2x＋1.
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大.
在y＝2x＋1中，
当x＝1时，y＝3；
当x＝5时，y＝11.
∵1≤x＜5，
∴3≤y＜11.
10. (2025广州改编)如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，1)，点B(－1，1)，若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是(　D　)
A.－3≤d≤－1 B.1≤d≤3 C.－4≤d≤－2 D.2≤d≤4
11.已知一次函数y＝(k－1)x＋2.若当－1≤x≤2时，函数有最小值－2，则k的值为　5或－1　.
12.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，3).
(1)求m的值和直线AB的表达式；
(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值.
解：(1)把A(2，m)代入y＝2x－，得m＝.
设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
把A，B(0，3)代入，
得解得
∴直线AB的表达式为y＝－x＋3.
(2)∵点P(t，y1)在线段AB上，
∴y1＝－t＋3(0≤t≤2).
∵点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，
∴y2＝2(t－1)－＝2t－.
∴y1－y2＝－t＋3－＝－t＋.
∵－＜0，∴y1－y2随t的增大而减小.
∴当t＝0时，y1－y2的值最大，最大值为.
13.如图1，直线l1：y＝x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝－x＋b与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝12.
(1)求直线l2的解析式.
(2)P为直线l1上一动点，若S△PCD＝S△ACD，请求出点P的坐标.
(3)如图2，将直线l2竖直向下平移(3＋)个单位长度得到直线l3，直线l3与x轴交于点E，连接BE，若点M为y轴上一动点，是否存在点M，使得∠MEO＝45°？若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)把y＝0代入l1：y＝x＋6，得0＝x＋6.
解得x＝－6.∴A(－6，0).
∵AC＝12，∴C(6，0).
∵直线l2：y＝－x＋b与x轴交于点C，
∴0＝－×6＋b.解得b＝3.
∴直线l2的解析式为y＝－x＋3.
(2)如图1，过点P作PQ∥y轴交CD于点Q.
设P(p，p＋6)，则Q.
∴PQ＝
＝＝.
联立直线l1和直线l2，得
解得
∴D(－2，4).
∴S△ACD＝×4AC＝×4×12＝24.
∴S△PCD＝S△ACD＝×24＝16.
∴S△PCD＝×(6＋2)PQ＝×8×＝16.解得p＝或p＝－.
∴点P的坐标为或.
(3)存在.点M的坐标为(0，2)或(0，－2).第13讲 一次函数的图象与性质
◎2022年版课标要求
①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
②能画一次函数的图象，根据图象和函数表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数.
③体会一次函数与二元一次方程的关系.
◎备考策略
1. 基本要求：熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式，掌握一次函数的图象与性质
2. 选题要求：在平时练习时，先从单一函数求解析式练习，然后逐步综合，比如：两函数图象结合求解析式，结合几何图形求函数解析式等；
3. 加强知识关联：对于综合性题目，能引导学生找到问题本质，找到解决问题的突破口，会运用相关几何知识求点坐标。
◎链接教材
人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　一次函数的概念及其图象与性质
概念 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数.特别地，当b＝0时，y＝kx是正比例函数
k，b取值 k＞0，b＞0 k＞0，b＝0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＝0 k＜0，b＜0
图象
经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性 y随x的增大而　① 　 y随x的增大而　② 　
与x轴的交点 令y＝0，得图象与x轴的交点坐标为
与y轴的交点 令x＝0，得图象与y轴的交点坐标为(0，b)
例1 已知一次函数y＝(2m－4)x＋4－m，若该函数的图象经过第一、二、三象限，且m为整数，解答下列问题：
(1)求m的值；
(2)该一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
(3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(4)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且x1＞x2，则y1 y2；(填“＞”“＜”或“＝”)
(5)若把题干中“且m为整数”去掉，该一次函数图象过定点，则定点的坐标为 .
变式1－1 (2025广安模拟)已知一次函数y＝(k－2)x＋3的图象不经过第三象限，则k的取值范围为 .
变式1－2 (2025广安)已知一次函数y＝－3x－6，当x＜－1时，y的值可以是 .(写出一个合理的值即可)
变式1－3 (2025德阳模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x＋k(k≠0，k为常数)的图象可能是( )
　考点2　一次函数图象的平移
平移情况(m＞0) 平移后的表达式
向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m
向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m
向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b
向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b
例2 (1)将直线y＝－2x向上平移4个单位长度，得到的直线的表达式为 .
(2)将一次函数y＝－3x＋b的图象沿y轴向下平移2个单位长度，得到一次函数y＝－3x的图象，则b的值为 .
变式2 将直线y＝－2x向左平移2个单位长度得到的直线的表达式为( )
A.y＝－2x＋2 B.y＝2x＋2 C.y＝－2x－4 D.y＝－2x＋4
　考点3　用待定系数法确定一次函数关系式
例3 已知直线y＝kx＋b经过点(2，4)与点(－2，2).
(1)确定函数y＝kx＋b的关系式；
(2)已知点(－3，y1)和点(4，y2)在直线y＝kx＋b上，试比较y1与y2的大小.
变式3－1 已知三点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)，试判断这三点是否在同一直线上，并说明理由.
变式3－2 已知直线y＝kx＋b与直线y＝－2x平行，且经过点(2，3)，则b的值是 .
(1)判断三点共线的方法：首先利用两点确定一条直线，然后验证第三点是否在此直线上；
(2)直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2平行 k1＝k2且b1≠b2；
(3)拓展：直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2垂直 k1k2＝－1.
　考点4　一次函数与方程(组)、不等式
函数图象
方程(组) 关于x的方程kx＋b＝0的解为　③ 　 关于x，y的方程组的解为　④ 　
不等式 关于x的不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集为x＞x0(或x＜x0) 关于x的不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集为　⑤ 　
例4 如图，若直线y＝ax＋b过点A(0，4)，B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是( )
A.x＝－3 B.x＝4 C.x＝－ D.x＝－
变式4 (2025南充)已知直线y＝m(x＋1)(m≠0)与直线y＝n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，则＋的值是 .
例5 如图，若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)，则关于x的不等式kx＋b≥2的解集为 .
变式5－1 如图，若一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象过点(－1，0)，则关于x的不等式k(x－1)＋b＞0的解集是( )
A.x＞－2 B.x＞－1 C.x＞0 D.x＞1
变式5－2 如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则关于x的不等式kx－3＞2x＋b的解集是 .
例6 如图，已知直线l：y＝kx＋b过点A(－2，0)，D(4，3).
(1)求直线l的表达式.
(2)若直线y＝－x＋4与x轴交于点B，且与直线l交于点C(2，2).
①求△ABC的面积.
②在直线l上是否存在点P，使△ABP的面积是△ABC面积的2倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
1.(2025上海)下列函数中，为正比例函数的是( )
A.y＝3x＋1 B.y＝3x2 C.y＝ D.y＝
2.(2025新疆)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )
A B C D
3.(2025广西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b＝( )
A.3 B.4 C.6 D.7
4.(2025安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( )
A.(－2，2) B.(2，1) C.(－1，3) D.(3，4)
5.已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点(3，m)，则关于x的一元一次方程ax＋b＝m的解是( )
A.x＝3　　　 B.x＝－3　　　 C.x＝3或x＝－3　　 D.不能确定
6.(2025天津)将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 (写出一个即可).
7.如图，若直线y＝kx＋6经过点(1，4)，则关于x的不等式kx＋6＜4的解集是 .
(第7题)
8.如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P(1，m)，则关于x，y的方程组的解为 .
(第8题)
9.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－2，－3)与点(0，1).
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)当1≤x＜5时，求函数值y的取值范围.
10. (2025广州改编)如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，1)，点B(－1，1)，若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是( )
A.－3≤d≤－1 B.1≤d≤3 C.－4≤d≤－2 D.2≤d≤4
11.已知一次函数y＝(k－1)x＋2.若当－1≤x≤2时，函数有最小值－2，则k的值为 .
12.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，3).
(1)求m的值和直线AB的表达式；
(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值.
13.如图1，直线l1：y＝x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝－x＋b与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝12.
(1)求直线l2的解析式.
(2)P为直线l1上一动点，若S△PCD＝S△ACD，请求出点P的坐标.
(3)如图2，将直线l2竖直向下平移(3＋)个单位长度得到直线l3，直线l3与x轴交于点E，连接BE，若点M为y轴上一动点，是否存在点M，使得∠MEO＝45°？若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由.

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