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第14讲 一次函数的实际应用
◎2022年版课标要求
①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；
②能用一次函数解决简单实际问题；
◎备考策略
在教学过程中，老师可从生活情境、科学情境和学生已知数学经验等入手，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材，创设数学问题，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
◎链接教材
人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　根据一次函数图象解决实际问题
例1 如图，深50 cm的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，容器顶部离水面的距离y(单位：cm)随时间t(单位：min)的变化图象如图所示.
(1)放入的长方体的高度为 cm；
(2)求该容器注满水所用的时间.
变式1 幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，其中奖励积分y(单位：分)与投放质量x(单位：kg)的函数关系如图所示.
(1)当投放质量不超过10 kg时，每千克可回收物可以赚取 积分；
(2)求AB段所在直线的函数关系式，并求当投放20 kg可回收物时，可以获得多少积分.
例2 已知A，B两地之间有一条笔直的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，到达B地后立即以原速沿原路返回A地，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20 min到达A地.甲车距A地的路程y甲(km)与甲车行驶的时间x(min)之间的关系如图所示.请解决以下问题：
(1)A，B两地之间的距离是 km，甲车的速度是 km/min.
(2)在图中画出乙车距A地的路程y乙(km)与乙车行驶时间x(min)之间的关系的图象；由图象可知，甲、乙两车在行驶过程中相遇了 次.
(3)请求出乙车距A地的路程y乙(km)与乙车行驶时间x(min)之间的关系式.(不需写出自变量x的取值范围)
(4)求甲车到B地时，乙车距A地的路程.
　考点2　建立一次函数关系式解决实际问题
例3 (2025广安)某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
(1)求A，B两种帐篷的单价各为多少元.
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
变式3 临近端午节，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案：
A超市：所有商品按七五折出售；
B超市：购物金额每满100元返40元.
(1)当购物金额为90元时，选择 超市更省钱；当购物金额为120元时，选择 超市更省钱；(填“A”或“B”)
(2)当购物金额为x(0＜x＜200)元时，请分别写出它们的实付金额y(单位：元)与购物金额x(单位：元)之间的函数关系式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱.
例4 (2025福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为 kg.
变式4 (2025苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位：m/s)与温度t(单位：℃)部分对应数值如下表：
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为( )
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
1.(2025山西)氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得(如图).实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为( )
A.y＝　 B.y＝9x　 C.y＝x D.y＝
2.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法.某户居民应缴水费y(元)与用水量x(t)的函数关系如图所示.若该用户本月用水18 t，则应缴水费( )
A.43.2元 B.45元 C.46.8元 D.48元
3.张老师复印资料时，剩余张数和时间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的时间为 min.
4.甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y(km)与x(h)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题：
(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(2)求线段CD对应的函数解析式.
(3)求货车从甲地出发多长时间后与轿车相遇.
5.(2025长春改编)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(min)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为 min，m＝ ；
(2)求AB所在直线对应的表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递5 450件，则乙机器人工作时间为 min.
6.(2025烟台)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.第14讲 一次函数的实际应用
◎2022年版课标要求
①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；
②能用一次函数解决简单实际问题；
◎备考策略
在教学过程中，老师可从生活情境、科学情境和学生已知数学经验等入手，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材，创设数学问题，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
◎链接教材
人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　根据一次函数图象解决实际问题
例1 如图，深50 cm的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，容器顶部离水面的距离y(单位：cm)随时间t(单位：min)的变化图象如图所示.
(1)放入的长方体的高度为　20　cm；
(2)求该容器注满水所用的时间.
解：设BC所在直线的函数关系式为y＝kt＋b(k，b为常数，且k≠0).
将B(3，30)和C(9，20)代入y＝kt＋b，得解得
∴BC所在直线的函数关系式为y＝－t＋35.
当该容器注满水时，y＝0，即－t＋35＝0.
解得t＝21.
∴该容器注满水所用的时间为21 min.
变式1 幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，其中奖励积分y(单位：分)与投放质量x(单位：kg)的函数关系如图所示.
(1)当投放质量不超过10 kg时，每千克可回收物可以赚取　10　积分；
(2)求AB段所在直线的函数关系式，并求当投放20 kg可回收物时，可以获得多少积分.
解：设AB段所在直线的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).
将A(10，100)，B(14，200)代入，得
解得
∴AB段所在直线的函数关系式为y＝25x－150.
当x＝20时，y＝25×20－150＝350.
∴当投放20 kg可回收物时，可以获得350积分.
例2 已知A，B两地之间有一条笔直的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，到达B地后立即以原速沿原路返回A地，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20 min到达A地.甲车距A地的路程y甲(km)与甲车行驶的时间x(min)之间的关系如图所示.请解决以下问题：
(1)A，B两地之间的距离是　60　km，甲车的速度是　2　km/min.
(2)在图中画出乙车距A地的路程y乙(km)与乙车行驶时间x(min)之间的关系的图象；由图象可知，甲、乙两车在行驶过程中相遇了　2　次.
(3)请求出乙车距A地的路程y乙(km)与乙车行驶时间x(min)之间的关系式.(不需写出自变量x的取值范围)
(4)求甲车到B地时，乙车距A地的路程.
解：(2)如图所示.
(3)由60÷80＝0.75，
得y乙与x之间的函数关系式为y乙＝60－0.75x.
(4)当x＝＝30时，y乙＝60－0.75×30＝37.5.即甲车到B地时，乙车距A地的路程为37.5 km.
　考点2　建立一次函数关系式解决实际问题
例3 (2025广安)某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
(1)求A，B两种帐篷的单价各为多少元.
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
解：(1)设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x＋400)元.
由题意，得＝.解得x＝600.
经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意.
x＋400＝1 000.
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1 000元.
(2)设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷(20－m)顶，总费用为W元.
由题意，得20－m≥m.解得m≤15.
又两种型号的帐篷均需购买，
∴0＜m≤15.
W＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000.
∵－400＜0，∴W随m的增大而减小.
∴当m＝15时，W取最小值，
W最小＝－400×15＋20 000＝14 000.
此时20－m＝5.
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14 000元.
变式3 临近端午节，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案：
A超市：所有商品按七五折出售；
B超市：购物金额每满100元返40元.
(1)当购物金额为90元时，选择　A　超市更省钱；当购物金额为120元时，选择　B　超市更省钱；(填“A”或“B”)
(2)当购物金额为x(0＜x＜200)元时，请分别写出它们的实付金额y(单位：元)与购物金额x(单位：元)之间的函数关系式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱.
解：由题意，得当0＜x＜200时，在A超市购物实付金额为yA＝0.75x.
当0＜x＜100时，在B超市购物实付金额为yB＝x；当100≤x＜200时，在B超市购物实付金额为yB＝x－40.
∴在B超市购物实付金额yB与x之间的关系式为yB＝
当0＜x＜100时，yA＜yB.
当100≤x＜200时，
若yA＜yB，则0.75x＜x－40，解得x＞160；
若yA＝yB，则0.75x＝x－40，解得x＝160；
若yA＞yB，则0.75x＞x－40，解得x＜160.
综上，当0＜x＜100或160＜x＜200时，在A超市购物更省钱；当x＝160时，在A超市购物和B超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当100≤x＜160时，在B超市购物更省钱.
例4 (2025福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为　0.8　kg.
变式4 (2025苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位：m/s)与温度t(单位：℃)部分对应数值如下表：
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为(　B　)
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
1.(2025山西)氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得(如图).实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为(　C　)
A.y＝　 B.y＝9x　 C.y＝x D.y＝
2.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法.某户居民应缴水费y(元)与用水量x(t)的函数关系如图所示.若该用户本月用水18 t，则应缴水费(　C　)
A.43.2元 B.45元 C.46.8元 D.48元
3.张老师复印资料时，剩余张数和时间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的时间为　20　min.
4.甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y(km)与x(h)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题：
(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(2)求线段CD对应的函数解析式.
(3)求货车从甲地出发多长时间后与轿车相遇.
解：(1)设货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数解析式为y＝kx.
根据题意，得300＝5k.
解得k＝60.∴y＝60x.
根据图象，得轿车到达乙地时，x＝4.5.
此时货车距甲地的距离y＝60×4.5＝270.
∴货车距乙地300－270＝30(km).
(2)设线段CD对应的函数解析式为y＝nx＋b.
根据题意，得
解得
∴线段CD对应的函数解析式为
y＝110x－195(2.5≤x≤4.5).
(3)当货车与轿车距甲地的距离相等时，两车相遇，
故60x＝110x－195.
解得x＝3.9.
∴货车从甲地出发3.9 h后与轿车相遇.
5.(2025长春改编)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(min)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为　20　min，m＝　3 800　；
(2)求AB所在直线对应的表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递5 450件，则乙机器人工作时间为　110　min.
解：(2)∵甲、乙机器人的效率为每分钟分拣快递55件，
∴AB所在直线对应的表达式为y＝2 700＋55(x－60)＝55x－600.
6.(2025烟台)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元.
根据题意，得
解得
答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元.
(2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40－m)盏.
根据题意，得m≤(40－m).
解得m≤10.
设购买费用为n元.
根据题意，得n＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200.
∵－20＜0，
∴当m取得最大值10时，n取得最小值.
此时40－m＝40－10＝30.
答：购买甲种路灯10盏、乙种路灯30盏，所需费用最少.

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