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第15讲 反比例函数的图象与性质（含实际应用）
◎2022年版课标要求
①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
②能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y=（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.
③能用反比例函数解决简单实际问题.
◎备考策略
1.夯实核心概念与性质，掌握“形”与“式”的对应关系，做到看到解析式就能想到图像，看到图像就能写出解析式。
2.识别关键句，遇到“工作效率一定”、“单位面积承压一定”、“电压一定”等问题，要敏感地意识到可能存在反比例关系（两变量的乘积为定值）。
◎链接教材
人教：九下P1～P22；华师：八下P54～P59；北师：九上P148～P162.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　反比例函数的概念及其图象与性质
概念 形如　①　y＝　(k为常数且k≠0)的函数称为反比例函数，自变量x的取值范围是　②　x≠0　.关系式变式：xy＝k或y＝kx－1
k的符号 k＞0 k＜0
图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交(x≠0，y≠0)
增减性 在每一个象限内，y随x的增大而　③　减小　 在每一个象限内，y随x的增大而　④　增大　
对称性 (1)关于直线　⑤　y＝x　和　⑥　y＝－x　成轴对称；(2)关于点　⑦　(0，0)　成中心对称
例1 已知反比例函数y＝.
(1)m的取值范围为　m≠2　.
(2)若反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为　m＜2　.
(3)若m＞3，则在每一象限内，y随x的增大而　减小　；若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在该反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为
　y1＜y3＜y2　(用“＜”连接).
(4)如果该函数图象经过点(2，a)，(－2，b)，那么a＋b＝　0　.
变式1－1 已知反比例函数y＝－，则下列描述正确的是(　C　)
A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大
C.图象与坐标轴不相交 D.图象必经过点
变式1－2 已知点(－4，a)和(2，b)在反比例函数y＝(m≠3)的图象上，若a＞b，则m的取值范围是　m＞3　.
　考点2　用待定系数法确定反比例函数关系式
例2 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象的一支如图所示.
(1)求这个反比例函数的关系式，并补画该函数图象的另一支；
(2)请直接写出当y＜6，且y≠0时，自变量x的取值范围.
解：(1)由图象可知A点坐标为(－4，2).
把点A(－4，2)代入y＝，
得＝2.
解得k＝－8.
∴反比例函数的关系式为y＝－.
补画函数图象如图所示.
(2)当y＜6，且y≠0时，自变量x的取值范围为x＞0或x＜－.
变式2－1 已知点A(1，2)，点B(－2，a)在同一个反比例函数的图象上，则a的值为　－1　.
变式2－2 已知反比例函数y＝的图象上有两点A(1，n)，B(n＋1，2)，则m的值为　－2　.
　考点3　反比例函数与面积
几何意义 在反比例函数y＝(k≠0)的图象上任取一点，过这点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于　⑧　｜k｜　
例3 如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，过A，B两点分别作x轴的垂线，交x轴于点D，C，则四边形ABCD的面积为　8　.
(例3)
变式3－1 如图，反比例函数y＝(k≠0)和y＝的部分图象与直线y＝a(a＞0)分别交于A，B两点.若△ABO的面积是9.5，则k的值为(　B　)
(变式3－1)
A.11 B.－11 C.5.5 D.－5.5
变式3－2 如图，点A(1，m)和点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上的两点，一次函数y＝ax＋2(a≠0)的图象经过点A，且与y轴交于点C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接OA，OB.已知S△OAC∶S△OBD＝2∶3.
(1)求△OAC的面积和k的值；
(2)求直线AC的表达式.
解：(1)∵一次函数y＝ax＋2与y轴交于点C，
∴C(0，2).∴OC＝2.
∴S△OAC＝×2×1＝1.
∵S△OAC∶S△OBD＝2∶3，∴S△OBD＝.
∵点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，
∴｜k｜＝.∴｜k｜＝3.又k＞0，∴k＝3.
(2)∵点A(1，m)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴m＝3.∴A(1，3).
将A(1，3)代入一次函数y＝ax＋2，得a＋2＝3.解得a＝1.
∴直线AC的表达式为y＝x＋2.
　考点4　反比例函数与方程(组)、不等式综合
例4 (2025泸州)如图，一次函数y＝2x＋b的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(2，6).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数y＝2x＋b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y＝的图象相交于点B，C，求S△ABC的值.
解：(1)∵一次函数y＝2x＋b的图象经过点A(2，6)，
∴6＝2×2＋b.
∴b＝2.
∴一次函数的解析式为y＝2x＋2.
∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，6)，
∴6＝.∴m＝12.
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)由题意，得直线BC的解析式为y＝2x＋2－12＝2x－10.
联立解得或
∴B(－1，－12)，C(6，2).
如图，过点A作AT∥y轴交直线BC于点T.
∵A(2，6)，∴点T的横坐标为2.
在y＝2x－10中，
当x＝2时，y＝2×2－10＝－6.
∴T(2，－6).∴AT＝6－(－6)＝12.
∴S△ABC＝×12×[6－(－1)]＝42.
例5 (2025广安)如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标是(－8，1)，点B的坐标是(n，－4).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集.
解：(1)把点A(－8，1)代入y＝，得1＝.
解得m＝－8.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
把点B(n，－4)代入y＝－，得－4＝－.
解得n＝2.∴B(2，－4).
把A(－8，1)，B(2，－4)代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－3.
(2)关于x的不等式kx＋b＞的解集为x＜－8或0＜x＜2.
变式5 (2025成都模拟)如图，点A(－6，m)，B(－2，n)是一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，则当ax＋b≥时，自变量x的取值范围是　－6≤x≤－2或x＞0　.
　考点5　反比例函数的实际应用
例6 (2025湖北省卷)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是(　A　)
A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A
变式6 如图，某品牌的电水壶启动后需要6 min将 30 ℃的水加热到 100 ℃，然后水温逐渐降回30 ℃，降温过程中的水温 y(℃)与水壶启动后用时x(min)成反比例关系.据研究，当水温降至40 ℃时，比较适宜饮用.
(1)求降温过程中的水温y(℃)与水壶启动后用时x(min)的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？
解：(1)设y＝.
由题意，得当x＝6时，y＝100.∴100＝.
解得k＝600.∴y＝.
当y＝30时，30＝.解得x＝20.
∴6≤x≤20.
∴降温过程中的水温y(℃)与水壶启动后用时x(min)的函数关系式为y＝(6≤x≤20).
(2)当y＝40时，40＝.解得x＝15.
∴15－6＝9(min).
∴一壶水烧开后，经过9 min适宜饮用.
1.(2025重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　D　)
A.(2，6) B.(－4，－3) C.(－3，－4) D.(6，－2)
2.(2025河北)在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则(　B　)
A.＜x＜1 B.1＜x＜2 C.2＜x＜4 D.4＜x＜8
3.最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶.已知某款机器狗最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量m为80 kg时，其最快移动速度v等于
(　A　)
A.2.5 m/s B.5 m/s C.10 m/s D.40 m/s
4.(2025天津)若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　D　)
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1
5.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，OA＝OB＝2，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段AB的中点P，则k＝　1　.
6.(2025陕西)如图，过原点的直线与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为　9　.
(第6题)
7.在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝(x＞0)图象上的一点，如图，将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O'A'，点A'落在反比例函数y＝的图象上，已知线段OA扫过的面积为8，则k＝　－5　.
(第7题)
8.(2025达州)如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝(m≠0)交于点A(2，2)，点B(－4，a).
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标.
解：(1)∵双曲线y＝(m≠0)
经过点A(2，2)，B(－4，a)，
∴m＝2×2＝4＝－4a.
∴a＝－1.
∴B(－4，－1)，反比例函数的解析式为y＝.
∵直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A(2，2)，B(－4，－1)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.
(2)∵点P在x轴上，S△AOP＝3，
∴OP×yA＝3.∴OP×2＝3.
∴OP＝3.
∴点P的坐标为(3，0)或(－3，0).
9.(2025凉山州)如图，一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(6，1)，B(2，m).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图象，直接写出不等式ax＋b＞的解集为　2＜x＜6　；
(3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值.
解：(1)∵反比例函数y2＝(x＞0)的图象经过A(6，1)，
∴1＝.解得k＝6.
∴反比例函数的解析式为y2＝(x＞0).
在y2＝(x＞0)中，当x＝2时，y2＝＝3.
∴B(2，3).
∵一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(6，1)，B(2，3)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y1＝－x＋4.
(3)如图，作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，DC，AD，则D(2，－3).由轴对称的性质，得DC＝BC.
∵A(6，1)，B(2，3)，
∴AB＝＝2.
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AC＋BC＋2.∴当AC＋BC有最小值时，△ABC的周长有最小值.
∵AC＋BC＝AC＋DC，
∴当AC＋DC有最小值时，△ABC的周长有最小值.
∵AC＋DC≥AD，
∴当A，C，D三点共线时，AC＋DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD＋2.
∵A(6，1)，D(2，－3)，
∴AD＝＝4.
∴△ABC的周长的最小值为4＋2.
设直线AD的解析式为y＝k1x＋b1.
∵A(6，1)，D(2，－3)，
∴∴
∴直线AD的解析式为y＝x－5.
在y＝x－5中，令y＝0，则x＝5.∴C(5，0).
综上，当点C的坐标为(5，0)时，△ABC的周长有最小值，最小值为4＋2.
10.(2025成都模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A，B两点，与y轴和x轴分别交于点C和点D，其中点B的坐标为(－4，－b)，点M在反比例函数图象上.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式.
(2)若点M在点A的右侧，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，连接OA.若S△AOM＝S四边形ANOC，求AM的长.
(3)是否存在一点M，使得∠MBA＝2∠CDO？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)∵B(－4，－b)在直线y＝x＋b上，
∴－b＝×(－4)＋b.
解得b＝1.
∴点B的坐标为(－4，－1)，直线AB的表达式为y＝x＋1.
将B(－4，－1)代入反比例函数y＝，得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
联立解得或
∴点A的坐标为(2，2).
(2)如图，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，连接AM，OM.在一次函数y＝x＋1中，令x＝0，得y＝1.∴C(0，1).
∵A(2，2)，AN⊥x轴，
∴S△AOM＝S四边形ANOC＝×(1＋2)×2＝3.
∵点A，M在反比例函数y＝的图象上，AN⊥x轴，MH⊥x轴，∴S△OAN＝S△OMH.
∵S四边形OAMH＝S△OAN＋S梯形ANHM＝S△OMH＋S△AOM，∴S梯形ANHM＝S△AOM＝3.
设M，则(t－2)＝3.解得t＝4或t＝－1.
经检验，t＝4或t＝－1是所列方程的解.
∵点M在点A的右侧，∴t＝4.∴M(4，1).
∴AM＝＝.
(3)存在满足条件的点M，其坐标为(－2，－2)或.第15讲 反比例函数的图象与性质（含实际应用）
◎2022年版课标要求
①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
②能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y=（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.
③能用反比例函数解决简单实际问题.
◎备考策略
1.夯实核心概念与性质，掌握“形”与“式”的对应关系，做到看到解析式就能想到图像，看到图像就能写出解析式。
2.识别关键句，遇到“工作效率一定”、“单位面积承压一定”、“电压一定”等问题，要敏感地意识到可能存在反比例关系（两变量的乘积为定值）。
◎链接教材
人教：九下P1～P22；华师：八下P54～P59；北师：九上P148～P162.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　反比例函数的概念及其图象与性质
概念 形如　① 　(k为常数且k≠0)的函数称为反比例函数，自变量x的取值范围是　② 　.关系式变式：xy＝k或y＝kx－1
k的符号 k＞0 k＜0
图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交(x≠0，y≠0)
增减性 在每一个象限内，y随x的增大而　③ 　 在每一个象限内，y随x的增大而　④ 　
对称性 (1)关于直线　⑤ 　和　⑥ 　成轴对称；(2)关于点　⑦ 　成中心对称
例1 已知反比例函数y＝.
(1)m的取值范围为 .
(2)若反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为 .
(3)若m＞3，则在每一象限内，y随x的增大而 ；若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在该反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为
(用“＜”连接).
(4)如果该函数图象经过点(2，a)，(－2，b)，那么a＋b＝ .
变式1－1 已知反比例函数y＝－，则下列描述正确的是( )
A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大
C.图象与坐标轴不相交 D.图象必经过点
变式1－2 已知点(－4，a)和(2，b)在反比例函数y＝(m≠3)的图象上，若a＞b，则m的取值范围是 .
　考点2　用待定系数法确定反比例函数关系式
例2 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象的一支如图所示.
(1)求这个反比例函数的关系式，并补画该函数图象的另一支；
(2)请直接写出当y＜6，且y≠0时，自变量x的取值范围.
变式2－1 已知点A(1，2)，点B(－2，a)在同一个反比例函数的图象上，则a的值为 .
变式2－2 已知反比例函数y＝的图象上有两点A(1，n)，B(n＋1，2)，则m的值为 .
　考点3　反比例函数与面积
几何意义 在反比例函数y＝(k≠0)的图象上任取一点，过这点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于　⑧ 　
例3 如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，过A，B两点分别作x轴的垂线，交x轴于点D，C，则四边形ABCD的面积为 .
(例3)
变式3－1 如图，反比例函数y＝(k≠0)和y＝的部分图象与直线y＝a(a＞0)分别交于A，B两点.若△ABO的面积是9.5，则k的值为( )
(变式3－1)
A.11 B.－11 C.5.5 D.－5.5
变式3－2 如图，点A(1，m)和点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上的两点，一次函数y＝ax＋2(a≠0)的图象经过点A，且与y轴交于点C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接OA，OB.已知S△OAC∶S△OBD＝2∶3.
(1)求△OAC的面积和k的值；
(2)求直线AC的表达式.
　考点4　反比例函数与方程(组)、不等式综合
例4 (2025泸州)如图，一次函数y＝2x＋b的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(2，6).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数y＝2x＋b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y＝的图象相交于点B，C，求S△ABC的值.
例5 (2025广安)如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标是(－8，1)，点B的坐标是(n，－4).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集.
变式5 (2025成都模拟)如图，点A(－6，m)，B(－2，n)是一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，则当ax＋b≥时，自变量x的取值范围是 .
　考点5　反比例函数的实际应用
例6 (2025湖北省卷)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是( )
A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A
变式6 如图，某品牌的电水壶启动后需要6 min将 30 ℃的水加热到 100 ℃，然后水温逐渐降回30 ℃，降温过程中的水温 y(℃)与水壶启动后用时x(min)成反比例关系.据研究，当水温降至40 ℃时，比较适宜饮用.
(1)求降温过程中的水温y(℃)与水壶启动后用时x(min)的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？
1.(2025重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( )
A.(2，6) B.(－4，－3) C.(－3，－4) D.(6，－2)
2.(2025河北)在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则( )
A.＜x＜1 B.1＜x＜2 C.2＜x＜4 D.4＜x＜8
3.最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶.已知某款机器狗最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量m为80 kg时，其最快移动速度v等于
( )
A.2.5 m/s B.5 m/s C.10 m/s D.40 m/s
4.(2025天津)若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1
5.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，OA＝OB＝2，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段AB的中点P，则k＝ .
6.(2025陕西)如图，过原点的直线与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为 .
(第6题)
7.在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝(x＞0)图象上的一点，如图，将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O'A'，点A'落在反比例函数y＝的图象上，已知线段OA扫过的面积为8，则k＝ .
(第7题)
8.(2025达州)如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝(m≠0)交于点A(2，2)，点B(－4，a).
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标.
9.(2025凉山州)如图，一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(6，1)，B(2，m).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图象，直接写出不等式ax＋b＞的解集为 ；
(3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值.
10.(2025成都模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A，B两点，与y轴和x轴分别交于点C和点D，其中点B的坐标为(－4，－b)，点M在反比例函数图象上.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式.
(2)若点M在点A的右侧，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，连接OA.若S△AOM＝S四边形ANOC，求AM的长.
(3)是否存在一点M，使得∠MBA＝2∠CDO？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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