资源简介

第16讲 二次函数的图象与性质(1)
◎2022年版课标要求
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）.
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，（新增）能解决相应的实际问题.
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增），会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
◎备考策略
1. 注重考查知识点的本质：老师在这部分的教学中，要让学生掌握求二次函数的对称轴的方法，以及当二次项系数大于0或小于0时，函数的增减性．
2. 核心知识点：透过复杂问题看本质，引导学生找到本节内容的解题关键；
3. 选题特点：针对设问、核心知识比较固定的题目，有针对性的训练，但注意不要机械刷题．
◎链接教材
人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　二次函数的概念、图象与性质
概念 一般地，形如　①　y＝ax2＋bx＋c　(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数
图象 a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 (1)直线x＝　②　－　；(2)若A(x1，y)，B(x2，y)在抛物线上，则对称轴为直线x＝
顶点坐标 (1)直接运用顶点坐标公式　③　　；(2)运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为　④　(h，k)　
增减性 当x　⑤　＞－　时，y随x的增大而增大；当x　⑥　＜－　时，y随x的增大而减小 当x　⑦　＜－　时，y随x的增大而增大；当x　⑧　＞－　时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y最小值＝　⑨　　 当x＝－时，y最大值＝　⑩　　
例1 已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，尝试探究该函数图象的性质，并回答下列问题.
(1)列表：请将下表中x与y的对应值填在相应的横线上.
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
根据表中数据解答下列问题：
①对称轴是直线x＝　1　，顶点坐标是　(1，4)　；
②该二次函数的图象与x轴的交点坐标为　(－1，0)，(3，0)　，与y轴的交点坐标为　(0，3)　.
(2)画图：在平面直角坐标系中，画出该函数的图象.
根据图象填空：
①该二次函数的图象开口向　下　；
②当x　＜1　时，y随x的增大而增大，当x　＞1　时，y随x的增大而减小；
③当x＝　1　时，函数y有最大值，其最大值为　4　；
④点(4，2)关于对称轴对称的点的坐标为　(－2，2)　；
⑤若点A(－2，y1)，B(3，y2)，C(7，y3)在该二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＞y1＞y3　(用“＞”连接)；
⑥观察图象，当－1≤x≤2时，y的取值范围是　0≤y≤4　.
变式1－1 关于函数y＝－3(x＋1)2－2，下列描述错误的是(　A　)
A.与y轴交于点(0，－2)
B.对称轴是直线x＝－1
C.函数最大值是－2
D.当x＞－1时，y随x的增大而减小
变式1－2 已知二次函数y＝a(x－1)2＋2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：　2(答案不唯一，a＞0即可)　.
变式1－3 已知二次函数y＝x2－6x＋5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)若点M(x1，y1)，N(5，y2)均在该二次函数的图象上，且y1＞y2，求点M横坐标x1的取值范围.
解：(1)∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，
∴二次函数图象的顶点坐标为(3，－4).
(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(3，－4)，函数图象开口向上，∴当x＝3时，y最小值＝－4.
∴当1≤x≤3时，y随x的增大而减小；
当3＜x≤4时，y随x的增大而增大.
∵当x＝1时，y＝0，当x＝4时，y＝－3，
∴当x＝1时，y最大值＝0.∴当1≤x≤4时，函数的最大值为0，最小值为－4.
(3)∵对称轴为直线x＝3，点N(5，y2)关于直线x＝3对称的点的横坐标是1，且y1＞y2，函数图象开口向上，
∴根据图象，得x1＜1或x1＞5.
　考点2　二次函数与一元二次方程的关系
a，b2－4ac的符号 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点情况 方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况
a＞0，b2－4ac＞0 有两个交点(x1，0)，(x2，0) 有两个不相等的实数根x1，x2
a＞0，b2－4ac＝0 有一个交点 有两个相等的实数根x1＝x2＝－
a＞0，b2－4ac＜0 没有交点 无实数根
提醒：a＜0类似.
例2 若抛物线y＝2x2－x＋k与x轴只有一个交点，则k＝　　.
变式2－1 抛物线y＝kx2－6x＋3与x轴有交点，则k的取值范围是(　A　)
A.k≤3且k≠0 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k＜3
变式2－2 (2025乐山)已知二次函数y＝x2＋4x＋m的图象经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2；
②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；
③若y1＜y2，则＞；
④当x≥－2时，若二次函数的图象与y＝2x－1的图象有两个交点，则－1≤m＜0.
其中，正确的结论有(　C　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例3 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点(3，0)，当y＞0时，x的取值范围是　－1＜x＜3　.
(例3)
变式3 二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝kx＋t的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是　x＜－1或x＞2　.
(变式3)
1.二次函数y＝2x2－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　(　A　)
A.2，0，－1　　B.2，2，－1　　 C.2，2，1　　 D.2，0，1
2.关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是(　C　)
A.函数图象的开口向下
B.二次函数的最小值为1
C.该函数图象的顶点坐标为(1，5)
D.当x≥1时，y随x的增大而减小
3.关于二次函数y＝x2－3x－5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是 (　A　)
A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.无法判断
4.如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点，点B(－1，0)，则当y＞0时，x的取值范围为(　B　)
A.x＜－1 B.－1＜x＜3 C.x＞3 D.x＜－1或x＞3
5.二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象如图所示，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 (　B　)
A.－2＜x＜1 B.x＜－2或x＞1 C.x＞－2 D.x＜1
6.(2025威海)已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　C　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
7.请将二次函数y＝－2x2－4x＋5改写y＝a(x－h)2＋k的形式：　y＝－2(x＋1)2＋7　.
8.已知函数y＝x2＋bx＋2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则b的值可以是　－2(答案不唯一，b≥－2即可)　(写出一个符合要求的值即可).
9.二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y的部分取值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … m －3 －4 －3 0 …
(1)观察表中信息，发现：c＝　－3　，抛物线的对称轴是　直线x＝1　；
(2)该函数图象与x轴的交点的坐标是　(3，0)和(－1，0)　；
(3)在下列平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
(4)当0＜x＜3时，y的取值范围是　－4≤y＜0　.
10.已知二次函数y＝x2－2x－2的图象与x轴交于两点A(a，0)和B(b，0)，则2a3－4a2＋4b＋2ab－3的值等于(　B　)
A.－1 B.1 C.9 D.－15
11.(2025陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　D　)
A.图象的开口向下
B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当x＝2时，y＜0
12.已知二次函数y＝－ax2－bx＋3a(a，b为常数，a≠0).
(1)求证：该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
(2)若b＝4a，a＞0，该函数图象经过A(2m－9，y1)，B(m＋2，y2)两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，求m的取值范围.
解：(1)证明：∵a≠0，Δ＝(－b)2－4×(－a)×3a＝b2＋12a2＞0，
∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点.
(2)∵b＝4a，a＞0，∴－a＜0.
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－＝－＝－2.
∵A(2m－9，y1)，B(m＋2，y2)分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，
∴分两种情况讨论.
①当点A在点B的左侧时，
2m－9＜－2＜m＋2.解得－4＜m＜3.5.
∵y1＜y2，
∴－2－(2m－9)＞m＋2－(－2)＞0，
即－2m＋7＞m＋4＞0.
解得－4＜m＜1.
②当点A在点B的右侧时，
m＋2＜－2＜2m－9.
解得m＜－4且m＞3.5，无解.
∴点A在点B的右侧不成立.
综上，m的取值范围为－4＜m＜1.
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG∥x轴交直线BC于点G，求线段EF的最大值.
解：(1)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3).
(2)设直线BC的解析式为y＝kx－3.
∵B(3，0)，∴3k－3＝0.
解得k＝1.
∴直线BC的解析式为y＝x－3.
如图，过点E作EH∥y轴交直线BC于点H，连接BE，CE.
设E(t，t2－2t－3)，则H(t，t－3).
∴HE＝t－3－t2＋2t＋3＝－t2＋3t.
由勾股定理，得BC＝＝3.
∵S△BCE＝×3×(－t2＋3t)
＝×3×EF，
∴EF＝(－t2＋3t)
＝－＋.
∴当t＝时，EF有最大值，最大值为.第16讲 二次函数的图象与性质(1)
◎2022年版课标要求
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）.
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，（新增）能解决相应的实际问题.
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增），会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
◎备考策略
1. 注重考查知识点的本质：老师在这部分的教学中，要让学生掌握求二次函数的对称轴的方法，以及当二次项系数大于0或小于0时，函数的增减性．
2. 核心知识点：透过复杂问题看本质，引导学生找到本节内容的解题关键；
3. 选题特点：针对设问、核心知识比较固定的题目，有针对性的训练，但注意不要机械刷题．
◎链接教材
人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　二次函数的概念、图象与性质
概念 一般地，形如　① 　(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数
图象 a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 (1)直线x＝　② 　；(2)若A(x1，y)，B(x2，y)在抛物线上，则对称轴为直线x＝
顶点坐标 (1)直接运用顶点坐标公式　③ 　；(2)运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为　④ 　
增减性 当x　⑤ 　时，y随x的增大而增大；当x　⑥ 　时，y随x的增大而减小 当x　⑦ 　时，y随x的增大而增大；当x　⑧ 　时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y最小值＝　⑨ 　 当x＝－时，y最大值＝　⑩ 　
例1 已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，尝试探究该函数图象的性质，并回答下列问题.
(1)列表：请将下表中x与y的对应值填在相应的横线上.
x … －1 0 1 2 3 …
y … …
根据表中数据解答下列问题：
①对称轴是直线x＝ ，顶点坐标是 ；
②该二次函数的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 .
(2)画图：在平面直角坐标系中，画出该函数的图象.
根据图象填空：
①该二次函数的图象开口向 ；
②当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小；
③当x＝ 时，函数y有最大值，其最大值为 ；
④点(4，2)关于对称轴对称的点的坐标为 ；
⑤若点A(－2，y1)，B(3，y2)，C(7，y3)在该二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 (用“＞”连接)；
⑥观察图象，当－1≤x≤2时，y的取值范围是 .
变式1－1 关于函数y＝－3(x＋1)2－2，下列描述错误的是( )
A.与y轴交于点(0，－2)
B.对称轴是直线x＝－1
C.函数最大值是－2
D.当x＞－1时，y随x的增大而减小
变式1－2 已知二次函数y＝a(x－1)2＋2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值： .
变式1－3 已知二次函数y＝x2－6x＋5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)若点M(x1，y1)，N(5，y2)均在该二次函数的图象上，且y1＞y2，求点M横坐标x1的取值范围.
　考点2　二次函数与一元二次方程的关系
a，b2－4ac的符号 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点情况 方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况
a＞0，b2－4ac＞0 有两个交点(x1，0)，(x2，0) 有两个不相等的实数根x1，x2
a＞0，b2－4ac＝0 有一个交点 有两个相等的实数根x1＝x2＝－
a＞0，b2－4ac＜0 没有交点 无实数根
提醒：a＜0类似.
例2 若抛物线y＝2x2－x＋k与x轴只有一个交点，则k＝ .
变式2－1 抛物线y＝kx2－6x＋3与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k≤3且k≠0 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k＜3
变式2－2 (2025乐山)已知二次函数y＝x2＋4x＋m的图象经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2；
②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；
③若y1＜y2，则＞；
④当x≥－2时，若二次函数的图象与y＝2x－1的图象有两个交点，则－1≤m＜0.
其中，正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例3 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点(3，0)，当y＞0时，x的取值范围是 .
(例3)
变式3 二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝kx＋t的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是 .
(变式3)
1.二次函数y＝2x2－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　( )
A.2，0，－1　　B.2，2，－1　　 C.2，2，1　　 D.2，0，1
2.关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是( )
A.函数图象的开口向下
B.二次函数的最小值为1
C.该函数图象的顶点坐标为(1，5)
D.当x≥1时，y随x的增大而减小
3.关于二次函数y＝x2－3x－5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是 ( )
A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.无法判断
4.如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点，点B(－1，0)，则当y＞0时，x的取值范围为( )
A.x＜－1 B.－1＜x＜3 C.x＞3 D.x＜－1或x＞3
5.二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象如图所示，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ( )
A.－2＜x＜1 B.x＜－2或x＞1 C.x＞－2 D.x＜1
6.(2025威海)已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
7.请将二次函数y＝－2x2－4x＋5改写y＝a(x－h)2＋k的形式： .
8.已知函数y＝x2＋bx＋2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则b的值可以是 (写出一个符合要求的值即可).
9.二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y的部分取值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … m －3 －4 －3 0 …
(1)观察表中信息，发现：c＝ ，抛物线的对称轴是 ；
(2)该函数图象与x轴的交点的坐标是 ；
(3)在下列平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
(4)当0＜x＜3时，y的取值范围是 .
10.已知二次函数y＝x2－2x－2的图象与x轴交于两点A(a，0)和B(b，0)，则2a3－4a2＋4b＋2ab－3的值等于( )
A.－1 B.1 C.9 D.－15
11.(2025陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向下
B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当x＝2时，y＜0
12.已知二次函数y＝－ax2－bx＋3a(a，b为常数，a≠0).
(1)求证：该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
(2)若b＝4a，a＞0，该函数图象经过A(2m－9，y1)，B(m＋2，y2)两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，求m的取值范围.
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG∥x轴交直线BC于点G，求线段EF的最大值.

展开更多......

收起↑