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第17讲 二次函数的图象与性质(2)
◎2022年版课标要求
会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；
◎备考策略
1. 基本要求：能根据点坐标，图象等，找到图象上点坐标求解，若函数解析式中几个系数未知，则代入几个点求解；
2. 选题要求：在平时练习时，先从单一函数求解析式练习，然后逐步综合，比如：两函数图象结合求解析式，结合几何图形求函数解析式等；
3. 加强知识关联：对于综合性题目，能引导学生找到问题本质，找到解决问题的突破口，会运用相关几何知识求点坐标。
◎链接教材
人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　二次函数的字母参数
字母或代数式 符号 图象的特征
a a＞0 开口向　① 　
a＜0 开口向　② 　
a，b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴　③ 　侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴　④ 　侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴　⑤ 　半轴相交
c＜0 与y轴　⑥ 　半轴相交
b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点
b2－4ac＜0 与x轴　⑦ 　交点
例1 (2025达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，下列结论：①abc＜0；②4a＋b＝0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与x轴的一个交点的横坐标是－1，对称轴是x＝1，其部分图象如图所示，下列结论错误的是( )
A.c＞0
B.ab＜0
C.4a＋2b＋c＞0
D.当y＞0时，－1＜x＜2
　考点2　二次函数图象的变换
1.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的平移变换
移动方向与距离m(m＞0) 平移后表达式
向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k
向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m
向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m
口诀：左加右减，上加下减
2.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的对称、旋转变换
类型 变换情况 变换后表达式
轴对称 关于x轴对称 y＝－a(x－h)2－k
关于y轴对称 y＝a(x＋h)2＋k
旋转 绕顶点旋转180° y＝－a(x－h)2＋k
绕原点旋转180° y＝－a(x＋h)2－k
例2 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为( )
A.y＝－(x＋1)2－2
B.y＝－(x－1)2－2
C.y＝－(x－1)2＋2
D.y＝－(x＋1)2＋2
变式2 二次函数y＝－2x2＋8x＋1的图象通过平移可得到y＝－2x2的图象，则平移方式为( )
A.向左平移2个单位，向上平移9个单位
B.向右平移2个单位，向上平移9个单位
C.向左平移2个单位，向下平移9个单位
D.向右平移2个单位，向下平移9个单位
例3 将抛物线y＝－(x－1)2＋2沿x轴翻折，则变换后抛物线的表达式是( )
A.y＝－(x＋1)2＋2
B.y＝－(x－1)2－2
C.y＝(x＋1)2＋2
D.y＝(x－1)2－2
变式3 将二次函数y＝－2(x－1)2＋4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 .
　考点3　用待定系数法求二次函数的关系式
已知条件 所设关系式
顶点坐标(h，k) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
对称轴x＝h
最值y＝k
与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
任意三点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
例4 (1)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(3，－6)，且经过点(2，2)，求抛物线的表达式；
(2)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，4)，B(－3，10)，对称轴直线x＝－1与抛物线交于点C，求抛物线的表达式.
(3)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，4)，抛物线与x轴交于A，B两点.若AB＝4，求抛物线表达式.
(4)如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3，求抛物线的表达式.
变式4 如图，已知抛物线y＝x2＋4x与直线y＝2x＋2交于A，B两点，将抛物线沿着射线AB平移2个单位长度，求平移后的抛物线的表达式.
1.若二次函数y＝ax2的图象经过点A(1，2)，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知抛物线与二次函数y＝－3x2的图象形状相同、开口方向相同，且顶点坐标为(－1，3)，它对应的函数关系式为( )
A.y＝－3(x－1)2＋3　
B.y＝3(x－1)2＋3
C.y＝3(x＋1)2＋3　　
D.y＝－3(x＋1)2＋3
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1，则下列结论中错误的是( )
A.abc＜0 B.a－b＋c＜0
C.2a＋b＝0 D.3a＋c＞0
4.直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋b在同一平面直角坐标系里的大致图象正确的是( )
5.将二次函数y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关系式为( )
A.y＝(x－6)2－2 B.y＝(x－2)2＋1 C.y＝(x＋2)2－1 D.y＝(x－4)2
6.(2025广东省卷)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的关系式可以是 .(写出一个即可)
7.如图，在平面直角坐标系中，y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，则OC的长为 .
8.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点A(－2，2).
(1)求该二次函数图象的顶点坐标；
(2)已知平面内一点P(0，k)，将点P向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求k的值.
9.(2025凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点(6，0)，则下列结论错误的是( )
A.bc＞0
B.4a＋b＝0
C.若a＋bx1＝a＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4
D.若(－1，y1)，(3，y2)两点都在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上，则y2＜y1
10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＋x2＝1，x1x2＝－2，若二次函数经过点C(－2，4)，则该二次函数的表达式为 .
11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4).
(1)求抛物线的表达式.
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，－1)，连接BC，DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标.
12.(2025成都模拟)如图，将抛物线l1：y＝x2平移，得到的新抛物线l2经过点A(0，－3)和B(6，0).在第四象限内新抛物线l2上取点M，设点M在原抛物线l1上的对应点为M'.
(1)求新抛物线l2的表达式.
(2)若BM∥AM'，求点M的坐标.
(3)若点M在第四象限内新抛物线l2上移动，试探究四边形AMBM'的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值.第17讲 二次函数的图象与性质(2)
◎2022年版课标要求
会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；
◎备考策略
1. 基本要求：能根据点坐标，图象等，找到图象上点坐标求解，若函数解析式中几个系数未知，则代入几个点求解；
2. 选题要求：在平时练习时，先从单一函数求解析式练习，然后逐步综合，比如：两函数图象结合求解析式，结合几何图形求函数解析式等；
3. 加强知识关联：对于综合性题目，能引导学生找到问题本质，找到解决问题的突破口，会运用相关几何知识求点坐标。
◎链接教材
人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　二次函数的字母参数
字母或代数式 符号 图象的特征
a a＞0 开口向　①　上　
a＜0 开口向　②　下　
a，b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴　③　左　侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴　④　右　侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴　⑤　正　半轴相交
c＜0 与y轴　⑥　负　半轴相交
b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点
b2－4ac＜0 与x轴　⑦　没有　交点
例1 (2025达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，下列结论：①abc＜0；②4a＋b＝0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.正确的个数为(　D　)
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与x轴的一个交点的横坐标是－1，对称轴是x＝1，其部分图象如图所示，下列结论错误的是(　D　)
A.c＞0
B.ab＜0
C.4a＋2b＋c＞0
D.当y＞0时，－1＜x＜2
　考点2　二次函数图象的变换
1.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的平移变换
移动方向与距离m(m＞0) 平移后表达式
向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k
向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m
向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m
口诀：左加右减，上加下减
2.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的对称、旋转变换
类型 变换情况 变换后表达式
轴对称 关于x轴对称 y＝－a(x－h)2－k
关于y轴对称 y＝a(x＋h)2＋k
旋转 绕顶点旋转180° y＝－a(x－h)2＋k
绕原点旋转180° y＝－a(x＋h)2－k
例2 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为(　A　)
A.y＝－(x＋1)2－2
B.y＝－(x－1)2－2
C.y＝－(x－1)2＋2
D.y＝－(x＋1)2＋2
变式2 二次函数y＝－2x2＋8x＋1的图象通过平移可得到y＝－2x2的图象，则平移方式为(　C　)
A.向左平移2个单位，向上平移9个单位
B.向右平移2个单位，向上平移9个单位
C.向左平移2个单位，向下平移9个单位
D.向右平移2个单位，向下平移9个单位
例3 将抛物线y＝－(x－1)2＋2沿x轴翻折，则变换后抛物线的表达式是(　D　)
A.y＝－(x＋1)2＋2
B.y＝－(x－1)2－2
C.y＝(x＋1)2＋2
D.y＝(x－1)2－2
变式3 将二次函数y＝－2(x－1)2＋4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是　y＝2(x＋1)2－4(或y＝2x2＋4x－2)　.
　考点3　用待定系数法求二次函数的关系式
已知条件 所设关系式
顶点坐标(h，k) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
对称轴x＝h
最值y＝k
与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
任意三点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
例4 (1)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(3，－6)，且经过点(2，2)，求抛物线的表达式；
解：设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2－6(a≠0).
把点(2，2)代入，得2＝a－6.解得a＝8.
∴该抛物线的表达式为y＝8(x－3)2－6，
即y＝8x2－48x＋66.
(2)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，4)，B(－3，10)，对称轴直线x＝－1与抛物线交于点C，求抛物线的表达式.
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，4)，B(－3，10)，对称轴直线x＝－1，
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝2x2＋4x＋4.
(3)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，4)，抛物线与x轴交于A，B两点.若AB＝4，求抛物线表达式.
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，4)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1.
∵AB＝4，
∴A(－3，0)，B(1，0).
∴抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1).
将点D的坐标代入上式，得
4＝a(－1＋3)(－1－1).解得a＝－1，
则抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
(4)如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3，求抛物线的表达式.
解：∵直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴x＝0时，y＝3；y＝0时，x＝3.
∴B(3，0)，C(0，3).
将B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax2－2ax＋c，
得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
变式4 如图，已知抛物线y＝x2＋4x与直线y＝2x＋2交于A，B两点，将抛物线沿着射线AB平移2个单位长度，求平移后的抛物线的表达式.
解：∵抛物线y＝x2＋4x沿着射线AB平移2个单位长度，
∴抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度.
∵平移前抛物线的表达式为y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，
∴平移后抛物线的表达式为y＝(x＋2－4)2－4＋2＝(x－2)2－2＝x2－4x＋2.
1.若二次函数y＝ax2的图象经过点A(1，2)，则a的值为(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知抛物线与二次函数y＝－3x2的图象形状相同、开口方向相同，且顶点坐标为(－1，3)，它对应的函数关系式为(　D　)
A.y＝－3(x－1)2＋3　
B.y＝3(x－1)2＋3
C.y＝3(x＋1)2＋3　　
D.y＝－3(x＋1)2＋3
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1，则下列结论中错误的是(　D　)
A.abc＜0 B.a－b＋c＜0
C.2a＋b＝0 D.3a＋c＞0
4.直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋b在同一平面直角坐标系里的大致图象正确的是(　D　)
5.将二次函数y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关系式为(　D　)
A.y＝(x－6)2－2 B.y＝(x－2)2＋1 C.y＝(x＋2)2－1 D.y＝(x－4)2
6.(2025广东省卷)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的关系式可以是　y＝－x2＋x＋2(答案不唯一，c－b＝1且c≠0即可)　.(写出一个即可)
7.如图，在平面直角坐标系中，y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，则OC的长为　3　.
8.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点A(－2，2).
(1)求该二次函数图象的顶点坐标；
(2)已知平面内一点P(0，k)，将点P向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求k的值.
解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点A(－2，2)，
∴(－2)2＋b×(－2)＋2＝2.
∴b＝2.
∴二次函数的关系式为y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1.
∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，1).
(2)将P(0，k)向左平移2个单位长度后的坐标为(－2，k).
把(－2，k)代入y＝x2＋2x＋2，得
k＝(－2)2＋2×(－2)＋2＝2.
9.(2025凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点(6，0)，则下列结论错误的是(　D　)
A.bc＞0
B.4a＋b＝0
C.若a＋bx1＝a＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4
D.若(－1，y1)，(3，y2)两点都在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上，则y2＜y1
10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＋x2＝1，x1x2＝－2，若二次函数经过点C(－2，4)，则该二次函数的表达式为　y＝x2－x－2　.
11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4).
(1)求抛物线的表达式.
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，－1)，连接BC，DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标.
解：(1)∵抛物线与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4.
把C(0，－3)代入，得a(0－1)2－4＝－3.解得a＝1.
∴y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)当y＝x2－2x－3＝0时，
解得x1＝3，x2＝－1.∴B(3，0).
∵C(0，－3)，∴设直线BC的表达式为y＝kx－3.
把B(3，0)代入，得k＝1.∴y＝x－3.
如图，过点P作PF⊥x轴，垂足为F.
设P(m，m2－2m－3)，则OF＝m，PF＝－m2＋2m＋3.∴BF＝3－m.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴S△CDE＋S四边形ODEB＝S△PBE＋S四边形ODEB，即S△BOC＝S四边形ODPB＝S△PFB＋S梯形ODPF.
∵D(0，－1)，∴OD＝1.
∴×3×3＝×(－m2＋2m＋3)·(3－m)＋×(－m2＋2m＋3＋1)m.
解得m＝或m＝0(舍去).∴P.
12.(2025成都模拟)如图，将抛物线l1：y＝x2平移，得到的新抛物线l2经过点A(0，－3)和B(6，0).在第四象限内新抛物线l2上取点M，设点M在原抛物线l1上的对应点为M'.
(1)求新抛物线l2的表达式.
(2)若BM∥AM'，求点M的坐标.
(3)若点M在第四象限内新抛物线l2上移动，试探究四边形AMBM'的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值.
解：(1)∵将抛物线l1：y＝x2
平移得到新抛物线l2，
∴设新抛物线l2的表达式为y＝x2＋bx＋c.
把A(0，－3)和B(6，0)代入，得解得
∴新抛物线l2的表达式为y＝x2－x－3.
(2)∵新抛物线l2的表达式为y＝x2－x－3＝(x－2)2－4，∴抛物线l1的顶点O(0，0)平移到抛物线l2的顶点D(2，－4).
∴抛物线l1平移得抛物线l2的平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度.
∴设M'，则M.
设AM'的表达式为y＝k1x＋b1，它过A(0，－3)和M'，则
解得k1＝m＋.
设BM的表达式为y＝k2x＋b2，它过点B(6，0)和M，则
解得k2＝m＋1.
∵AM'∥BM，∴m＋＝m＋1.∴m＝3.
经检验，m＝3是原方程的根.
当m＝3时，m＋2＝5，m2－4＝－.
∴M.
(3)如图，设新抛物线l2的顶点为D，连接OD，AB，MM'，设AB和MM'交于点H，和OD交于点E.
设OD的表达式为y＝k3x，
∵D(2，－4)，∴2k3＝－4，
解得k3＝－2.
∴OD的表达式为y＝－2x.
设AB的表达式为y＝k4x＋b4，它过A(0，－3)和B(6，0)，则解得
∴设AB的表达式为y＝x－3.
联立方程组解得
∴E.
∴OE＝＝，
BE＝＝，OB＝6.
∵OE2＋BE2＝＋＝36＝62＝OB2，
∴△OEB是直角三角形.∴OD⊥AB.
∵平移过程中，点D的对应点为O，点M的对应点为M'，
∴OD∥M'M，OD＝M'M.∴M'M⊥AB.
∴S四边形AMBM'＝M'M·AB＝OD·AB
＝××＝15.
∴四边形AMBM'的面积是定值，这个定值为15.

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