资源简介

第18讲 二次函数的实际应用
◎2022年版课标要求
会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，（新增）能解决相应的实际问题.
◎备考策略
在教学过程中，老师可从生活情境、科学情境和学生已知数学经验等入手，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材，创设数学问题，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
◎链接教材
人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　面积最值问题
例1 在边长为44 cm的正方形硬纸板(如图1)的四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子(如图2).若剪掉的小正方形的边长为x cm，长方体形的无盖盒子的侧面积为S cm2.
(1)①求S与x的函数关系式；
②直接写出x的取值范围.
(2)求当x取何值时，S达到最大，并求出其最大值.
解：(1)①由题意，得长方体形的无盖盒子的底面边长为(44－2x)cm.
∴盒子的侧面积S＝4x(44－2x)，
即S＝－8x2＋176x.
②x的取值范围为0＜x＜22.
(2)∵S＝－8x2＋176x，
∴S＝－8(x－11)2＋968.
∴当x＝11时，S达到最大，S最大＝968.
变式1 如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙(墙长为15 m)，另外三边用长为16 m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为　32　m2.
　考点2　利润最值问题
例2 (2025达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　(60＋10x)　件.
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：(2)设该款巴小虎吉祥物降价x元.
根据题意，得(40－30－x)(60＋10x)＝630.
整理，得x2－4x＋3＝0.
解得x1＝1，x2＝3.
∵要让利于游客，∴x＝1舍去.
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是630元.
(3)设该款巴小虎吉祥物降价m元.
则W＝(40－30－m)(60＋10m)
＝(10－m)(60＋10m)
＝－10m2＋40m＋600
＝－10(m－2)2＋640.
∵－10＜0，
∴当m＝2时，W取最大值，最大值为640元，此时售价为38元.
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.
变式2 某超市以每件10元的价格购进一种文具.经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)(15≤x≤26)之间满足y＝－2x＋60，则销售这种文具每天可得(　D　)
A.最大利润150元
B.最大利润128元
C.最小利润150元
D.最小利润128元
　考点3　抛物线形问题
例3 (2025武威)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是(　B　)
A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m
变式3－1 (2025连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为　8　m.
变式3－2 如图，用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似地看成一个抛物线形状.已知其宽度OA＝60 cm，最高点M(抛物线的顶点)到OA的距离为30 cm.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能否放下2个直径为27 cm、高度为6 cm的盘子.
解：(1)由题意，得点M的坐标为(30，30)，点A的坐标为(60，0).
设抛物线的表达式为y＝a(x－30)2＋30.
将A(60，0)代入，得0＝a(60－30)2＋30.
解得a＝－.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－30)2＋30＝－x2＋2x.
(2)将y＝6代入y＝－(x－30)2＋30，得
6＝－(x－30)2＋30.
解得x1＝30－12，x2＝30＋12.
∵(30＋12)－(30－12)＝24＜54，
∴罩子下面不能放下2个直径为27 cm、高度为6 cm的盘子.
1.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1 500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月平均增长率为x，那么y与x的关系式为(　A　)
A.y＝1 500(1＋x)2　　
B.y＝1 500(1－x)2
C.y＝(1＋x)2＋1 500　
D.y＝x2＋1 500
2.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)的关系式为y＝－x2＋10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为(　C　)
A.40 s B.45 s C.50 s D.55 s
3.有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系.正常水位时，桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m，桥下水深6 m.为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m，则水深不得超过 (　B　)
A.6.24 m B.6.76 m C.7 m D.7.24 m
4.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝－t2＋60t，则飞机着陆后滑行　600　m才能停下来.
5.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于45元.经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
每个商品的售价x/元 … 25 30 35 …
每天的销售量y/个 … 110 100 90 …
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)设商场每天获得的总利润为w(元)，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意可设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
∵当x＝25时，y＝110，当x＝30时，y＝100，
∴解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160.
(2)由题意，得w＝(x－20)(－2x＋160)＝－2x2＋200x－3 200
＝－2(x－50)2＋1 800，20≤x≤45.
∵－2＜0，
∴当x＝45时，w取得最大值，最大值为1 750.
答：当商品的售价为45元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1 750元.
6.(2025绵阳模拟)如图，某农场拟建造由甲、乙两个矩形组成的羊圈，羊圈的一面靠15 m长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分.已知提前准备的建筑材料可以建造24 m长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　48　m2.
7.(2025南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆.优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3 200－50m)元/辆；租用B型客车，租车费用打八折
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
解：(1)设A型客车每辆载客量是x人.
根据题意，得＝.解得x＝60.
经检验，x＝60是方程的根，且符合题意.
60－15＝45(人).
答：A型客车每辆载客量是60人，B型客车每辆载客量是45人.
(2)设租A型客车m辆，B型客车(10－m)辆，租车总费用w，则60m＋45(10－m)≥530.解得m≥.
w＝(3 200－50m)m＋3 000×0.8×(10－m)
＝－50m2＋800m＋24 000.
∵－50＜0，且对称轴为m＝－＝8，
∴m≤8时，w随着m的增大而增大.
∵m取正整数，且m≥，
∴当m＝6时，w有最小值，最小值为27 000元.
∴本次研学活动学校最少租车费用为27 000元.
8.在某科幻电影中有这样一个场景：甲机器人为完成某项任务从一座高塔的顶端起跳，飞向对面的防御墙.同学们将甲机器人的飞行路线看作抛物线的一部分，取地面上水平线OB为x轴，铅垂线OG为y轴，并建立如图所示的平面直角坐标系.从甲机器人起跳到落地的过程中，甲机器人离地面的铅垂高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足y＝a(x－h)2＋n(a＜0，a，h，n都为常数).若GO＝25 m，甲机器人起跳后的最高点距地面26 m，与点G的水平距离是2 m，防御墙AC与起跳点G的水平距离为5 m，防御墙宽AB＝6 m，防御墙高AC＝20 m.
(1)求y与x之间的函数关系式(结果写成顶点式)；
(2)通过计算说明甲机器人能否成功跳到防御墙上；
(3)为阻止甲机器人攻入防御墙，乙机器人需在CD的中点E处朝甲机器人射击，射击路线可看作直线y＝kx＋b(k，b为常数)，若乙机器人射中了空中飞行的甲机器人，求k的取值范围.
解：(1)由题意，得h＝2，n＝26.
∴y＝a(x－2)2＋26.
∵GO＝25，∴G(0，25).
∴25＝a(0－2)2＋26.
解得a＝－.
∴y与x之间的函数关系式为y＝－(x－2)2＋26.
(2)由题意，得C(5，20)，D(11，20).
令y＝20，得20＝－(x－2)2＋26.
解得x＝2－2(舍)或x＝2＋2.
∵6＜2＋2＜7，
∴甲机器人能成功跳到防御墙上.
(3)∵C(5，20)，D(11，20)，E为CD的中点，
∴E(8，20).∴b＝20－8k.
∴直线的关系式为y＝kx＋20－8k.
当直线与抛物线相切时，方程kx＋20－8k＝－(x－2)2＋26有两个相等的实数根.
整理方程，得x2＋4(k－1)x－4(5＋8k)＝0.
∴Δ＝16(k－1)2＋16(5＋8k)＝0.
解得k＝－3－(此时直线与点E下方的抛物线相切，故舍去)或k＝－3＋.
又抛物线与CD的交点在点E的左侧，
∴－3＋≤k≤0.第18讲 二次函数的实际应用
◎2022年版课标要求
会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，（新增）能解决相应的实际问题.
◎备考策略
在教学过程中，老师可从生活情境、科学情境和学生已知数学经验等入手，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材，创设数学问题，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
◎链接教材
人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　面积最值问题
例1 在边长为44 cm的正方形硬纸板(如图1)的四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子(如图2).若剪掉的小正方形的边长为x cm，长方体形的无盖盒子的侧面积为S cm2.
(1)①求S与x的函数关系式；
②直接写出x的取值范围.
(2)求当x取何值时，S达到最大，并求出其最大值.
变式1 如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙(墙长为15 m)，另外三边用长为16 m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 m2.
　考点2　利润最值问题
例2 (2025达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件.
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
变式2 某超市以每件10元的价格购进一种文具.经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)(15≤x≤26)之间满足y＝－2x＋60，则销售这种文具每天可得( )
A.最大利润150元
B.最大利润128元
C.最小利润150元
D.最小利润128元
　考点3　抛物线形问题
例3 (2025武威)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是( )
A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m
变式3－1 (2025连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为 m.
变式3－2 如图，用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似地看成一个抛物线形状.已知其宽度OA＝60 cm，最高点M(抛物线的顶点)到OA的距离为30 cm.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能否放下2个直径为27 cm、高度为6 cm的盘子.
1.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1 500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月平均增长率为x，那么y与x的关系式为( )
A.y＝1 500(1＋x)2　　
B.y＝1 500(1－x)2
C.y＝(1＋x)2＋1 500　
D.y＝x2＋1 500
2.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)的关系式为y＝－x2＋10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为( )
A.40 s B.45 s C.50 s D.55 s
3.有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系.正常水位时，桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m，桥下水深6 m.为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m，则水深不得超过 ( )
A.6.24 m B.6.76 m C.7 m D.7.24 m
4.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝－t2＋60t，则飞机着陆后滑行 m才能停下来.
5.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于45元.经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
每个商品的售价x/元 … 25 30 35 …
每天的销售量y/个 … 110 100 90 …
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)设商场每天获得的总利润为w(元)，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大？最大利润是多少？
6.(2025绵阳模拟)如图，某农场拟建造由甲、乙两个矩形组成的羊圈，羊圈的一面靠15 m长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分.已知提前准备的建筑材料可以建造24 m长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 m2.
7.(2025南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆.优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3 200－50m)元/辆；租用B型客车，租车费用打八折
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
8.在某科幻电影中有这样一个场景：甲机器人为完成某项任务从一座高塔的顶端起跳，飞向对面的防御墙.同学们将甲机器人的飞行路线看作抛物线的一部分，取地面上水平线OB为x轴，铅垂线OG为y轴，并建立如图所示的平面直角坐标系.从甲机器人起跳到落地的过程中，甲机器人离地面的铅垂高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足y＝a(x－h)2＋n(a＜0，a，h，n都为常数).若GO＝25 m，甲机器人起跳后的最高点距地面26 m，与点G的水平距离是2 m，防御墙AC与起跳点G的水平距离为5 m，防御墙宽AB＝6 m，防御墙高AC＝20 m.
(1)求y与x之间的函数关系式(结果写成顶点式)；
(2)通过计算说明甲机器人能否成功跳到防御墙上；
(3)为阻止甲机器人攻入防御墙，乙机器人需在CD的中点E处朝甲机器人射击，射击路线可看作直线y＝kx＋b(k，b为常数)，若乙机器人射中了空中飞行的甲机器人，求k的取值范围.

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