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第19讲 线段与角、相交线与平行线
◎2022年版课标要求
1.通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.
2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.
3.掌握基本事实：两点确定一条直线.两点之间线段最短.
4.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.
5.理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
6.理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差.
7.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质.
8.掌握基本事实：在同一平面内（新增），过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
9.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
10.识别同位角、内错角、同旁内角.
11.理解平行线概念.
12.掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
13.掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
14.探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.
15.掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 了解定理的证明.探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.
16.了解平行于同一条直线的两条直线平行. 理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
17.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
18.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.通过实例体会反证法的含义.
◎备考策略
需要掌握各个知识点的基本概念和性质，对于基础知识，可以先练习单一知识点检测，然后与其他知识点或工具（比如三角尺）结合在一起练习。
◎链接教材
人教：七上P125～P150；华师：七上P138～P158；北师：七上P106～P121.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　直线和线段
两个基 本事实 (1)两点确定一条直线； (2)两点之间，　① 　最短
两点的 距离 连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离
线段的 中点 如图，若点M是线段AB的中点，则AM＝　② 　＝AB.还有线段的三等分点、四等分点等
例1 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是( )
例2 如图，点D是AC的中点，点B是AC的三等分点，若BC＝4，则BD的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
变式2 如图，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝24 cm，CD＝10 cm，则EF的长为( )
A.7 cm B.14 cm C.17 cm D.34 cm
　考点2　角的有关概念及运算
概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，两条射线是角的边，公共端点是角的顶点.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形
角的 度量 (1)1周角＝　③ 　平角＝　④ 　直角； (2)1°＝　⑤ 　'，1'＝　⑥ 　″
角平 分线 如图，若　⑦ 　，则射线OC是∠AOB的平分线； 若射线OC是∠AOB的平分线，则 　⑧ 　
例3 如图，∠BOD＝120°，∠COD是直角，OC平分∠AOB.求∠AOB的度数.
变式3 如图，已知轮船A在灯塔P的北偏西20°的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东80°的方向上.轮船C在∠APB的平分线上，则轮船C在灯塔P的 方向上.
　考点3　余角与补角的概念及性质
余角 (1)定义：如果两个角的和等于　⑨ 　°，那么这两个角互为余角； (2)性质：同角(等角)的余角　⑩ 　
补角 (1)定义：如果两个角的和等于　 　°，那么这两个角互为补角； (2)性质：同角(等角)的补角　 　
例4 已知∠α与∠β互为补角，若∠α＝130°，则∠β的余角的度数是 .
例5 一副三角尺按图中的四个位置摆放，其中∠α和∠β互为余角的是( )
变式5 如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为( )
A.α＋β＋γ＝90° B.α＋β－γ＝90° C.α－β＋γ＝90° D.α＋2β－γ＝90°
　考点4　相交线的有关概念与性质
相交线 如图，直线AB，CD相交于点O. (1)∠1和∠2有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角； (2)∠1和∠3有一个公共顶点，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为　 　. 对顶角　 　
垂线与垂线段 (1)如图，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是　 　时，称a与b互相垂直； (2)在同一平面内，过一点有且只有　 　直线与已知直线垂直； (3)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段　 　； (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
三线 八角 如图，两条直线被第三条直线所截. (1)同位角： ∠1与∠5，∠2与 　 　，∠4与　 　，∠3与　 　； (2)内错角： ∠2与　 　，∠3与　 　； (3)同旁内角： ∠2与　 　，∠3与　 　
例6 一把剪刀如图所示，在使用过程中，若∠COD增加20°，则∠AOB( )
A.减少20° B.增加20° C.不变 D.增加40°
变式6 如图，直线AB，CD交于点E，EF⊥AB，如果∠BED＝32°，那么∠CEF的度数为( )
A.29° B.32° C.45° D.58°
例7 如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，PA＝4 cm，PB＝6 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离是( )
(例7)
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
变式7 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是( )
(变式7)
A.3 B.2.5 C.2.4 D.2
　考点5　平行线的性质与判定　 重点
平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
平行公理 经过直线外一点有且只有　 　直线与这条直线平行
平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相　 　 (如果a∥b，b∥c，那么a∥c)
平行线的判定与性质 (1)同位角　 　两直线平行； (2)内错角　 　两直线平行； (3)同旁内角　 　两直线平行
平行线间的距离 两条平行线间的距离处处相等
例8 (2025自贡)如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板.若∠1＝115°，则∠2的度数为( )
(例8)
A.75° B.90° C.100° D.115°
变式8 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是( )
(变式8)
A.60° B.70° C.80° D.90°
例9 (2025威海)如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若∠1＝18°，则∠2等于( )
(例9)
A.42° B.38° C.36° D.30°
变式9 (2025凉山州)如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝( )
(变式9)
A.30° B.40° C.60° D.80°
作法一： 构造平行线 作法二： 构造三角形 角度关系
∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
∠ABE－∠DCE＝∠BEC
例10 如图，已知∠1＝∠2，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F.
(1)求证：AD∥BC；
(2)若∠1＝36°，求∠BEF的度数.
　考点6　命题与定理
命题 判断一件事情的语句叫作命题，命题由题设和结论两部分组成
真命题 如果条件成立，结论一定成立的命题
假命题 如果条件成立，不能保证结论一定成立的命题
互逆 命题 两个命题中，如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作它的逆命题
反例 要说明一个命题是假命题，可以举出一个例子，使它符合命题的题设但不满足结论
例11 下列语句属于真命题的是( )
A.a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
B.a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.两个锐角的和是钝角
变式11 判断命题“若a＞b，则a·c2＞b·c2”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的c可以是( )
A.2 B.0 C. D.－5
1.(2025广安)若∠A＝25°，则∠A的余角为( )
A.25° B.65° C.75° D.155°
2.(2025南充)如图，把含有60°的直角三角尺斜边放在直线l上，则∠α的度数是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
3.(2025广西)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是( )
A.垂线段最短 B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等
4.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为( )
A.76° B.74° C.64° D.52°
5.(2025乐山)如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截.若∠1＝70°，则∠2＝( )
A.130° B.110° C.90° D.70°
6.(2025达州)如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1＋∠2＝35°，则∠AFB的度数为( )
A.35° B.55° C.70° D.145°
7.(2025辽宁)如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE∥OA.若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为( )
A.50° B.120° C.130° D.140°
8.如图，点C在线段AB上，点D为线段BC的中点.若AB＝14 cm，BD＝3 cm，则线段AC的长为 cm.
9.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点A.若∠CAD＝22°，则∠BAE的度数为 .
10.(2025北京)能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝ ，b＝ .　 　
11.(2025江西)如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：AE∥DF.
12.(2025甘肃)如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转( )
A.30° B.40° C.60° D.80°
13.如图，将一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，若∠ABC＝130°，则∠1＝ °.
14.已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面AB与水平面b的夹角∠ABC＝50°，激光笔发出的光束PD射到平面镜上.若激光笔与水平天花板a的夹角∠EFD＝20°，反射光束为DE，则反射光束与平面镜的夹角∠ADE的度数为 .
15.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，小乐同学做仰卧起坐时的一个状态如图1所示，已知AB∥CG，AC∥DE.
(1)求证：∠CAB＝∠CDE.
(2)当小乐同学在做仰卧起坐的某个瞬间，她腿部的某个位置M与脚后跟D的连线恰好平分∠CDE，如图2所示.若∠FAB＝3∠MDE，求∠MDG的度数.
16.已知点A，B，P为数轴上三点，我们规定：若点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是A，B的“K倍点”，记作P[A，B]＝K.例如，若点P表示的数为0，点A表示的数为－2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作P[A，B]＝2.
(1)如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题：
①P[B，A]＝ ；
②若点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D表示的数.
(2)在数轴上，点E表示的数为－5，点F表示的数为25，点M，N为线段EF上的两点，且M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，求线段MN的长.第19讲 线段与角、相交线与平行线
◎2022年版课标要求
1.通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.
2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.
3.掌握基本事实：两点确定一条直线.两点之间线段最短.
4.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.
5.理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
6.理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差.
7.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质.
8.掌握基本事实：在同一平面内（新增），过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
9.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
10.识别同位角、内错角、同旁内角.
11.理解平行线概念.
12.掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
13.掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
14.探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.
15.掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 了解定理的证明.探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.
16.了解平行于同一条直线的两条直线平行. 理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
17.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
18.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.通过实例体会反证法的含义.
◎备考策略
需要掌握各个知识点的基本概念和性质，对于基础知识，可以先练习单一知识点检测，然后与其他知识点或工具（比如三角尺）结合在一起练习。
◎链接教材
人教：七上P125～P150；华师：七上P138～P158；北师：七上P106～P121.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　直线和线段
两个基 本事实 (1)两点确定一条直线； (2)两点之间，　①　线段　最短
两点的 距离 连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离
线段的 中点 如图，若点M是线段AB的中点，则AM＝　②　MB　＝AB.还有线段的三等分点、四等分点等
例1 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是(　C　)
例2 如图，点D是AC的中点，点B是AC的三等分点，若BC＝4，则BD的长为(　A　)
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
变式2 如图，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝24 cm，CD＝10 cm，则EF的长为(　C　)
A.7 cm B.14 cm C.17 cm D.34 cm
　考点2　角的有关概念及运算
概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，两条射线是角的边，公共端点是角的顶点.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形
角的 度量 (1)1周角＝　③　2　平角＝　④　4　直角； (2)1°＝　⑤　60　'，1'＝　⑥　60　″
角平 分线 如图，若　⑦　∠AOC＝∠BOC＝∠AOB　，则射线OC是∠AOB的平分线； 若射线OC是∠AOB的平分线，则 　⑧　∠AOC＝∠BOC＝∠AOB　
例3 如图，∠BOD＝120°，∠COD是直角，OC平分∠AOB.求∠AOB的度数.
解：∵∠BOD＝120°，
∠COD是直角，
∴∠BOC＝∠BOD－∠COD＝120°－90°＝30°.
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝60°.
变式3 如图，已知轮船A在灯塔P的北偏西20°的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东80°的方向上.轮船C在∠APB的平分线上，则轮船C在灯塔P的　北偏东40°　方向上.
　考点3　余角与补角的概念及性质
余角 (1)定义：如果两个角的和等于　⑨　90　°，那么这两个角互为余角； (2)性质：同角(等角)的余角　⑩　相等　
补角 (1)定义：如果两个角的和等于　 　180　°，那么这两个角互为补角； (2)性质：同角(等角)的补角　 　相等　
例4 已知∠α与∠β互为补角，若∠α＝130°，则∠β的余角的度数是　40°　.
例5 一副三角尺按图中的四个位置摆放，其中∠α和∠β互为余角的是(　B　)
变式5 如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为(　C　)
A.α＋β＋γ＝90° B.α＋β－γ＝90° C.α－β＋γ＝90° D.α＋2β－γ＝90°
　考点4　相交线的有关概念与性质
相交线 如图，直线AB，CD相交于点O. (1)∠1和∠2有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角； (2)∠1和∠3有一个公共顶点，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为　 　对顶角　. 对顶角　 　相等　
垂线与垂线段 (1)如图，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是　 　直角　时，称a与b互相垂直； (2)在同一平面内，过一点有且只有　 　一条　直线与已知直线垂直； (3)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段　 　最短　； (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
三线 八角 如图，两条直线被第三条直线所截. (1)同位角： ∠1与∠5，∠2与 　 　∠6　，∠4与　 　∠8　，∠3与　 　∠7　； (2)内错角： ∠2与　 　∠8　，∠3与　 　∠5　； (3)同旁内角： ∠2与　 　∠5　，∠3与　 　∠8　
例6 一把剪刀如图所示，在使用过程中，若∠COD增加20°，则∠AOB(　B　)
A.减少20° B.增加20° C.不变 D.增加40°
变式6 如图，直线AB，CD交于点E，EF⊥AB，如果∠BED＝32°，那么∠CEF的度数为(　D　)
A.29° B.32° C.45° D.58°
例7 如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，PA＝4 cm，PB＝6 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离是(　C　)
(例7)
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
变式7 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是(　C　)
(变式7)
A.3 B.2.5 C.2.4 D.2
　考点5　平行线的性质与判定　 重点
平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
平行公理 经过直线外一点有且只有　 　一条　直线与这条直线平行
平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相　 　平行　 (如果a∥b，b∥c，那么a∥c)
平行线的判定与性质 (1)同位角　 　相等　两直线平行； (2)内错角　 　相等　两直线平行； (3)同旁内角　 　互补　两直线平行
平行线间的距离 两条平行线间的距离处处相等
例8 (2025自贡)如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板.若∠1＝115°，则∠2的度数为(　D　)
(例8)
A.75° B.90° C.100° D.115°
变式8 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是(　C　)
(变式8)
A.60° B.70° C.80° D.90°
例9 (2025威海)如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若∠1＝18°，则∠2等于(　A　)
(例9)
A.42° B.38° C.36° D.30°
变式9 (2025凉山州)如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝(　B　)
(变式9)
A.30° B.40° C.60° D.80°
作法一： 构造平行线 作法二： 构造三角形 角度关系
∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
∠ABE－∠DCE＝∠BEC
例10 如图，已知∠1＝∠2，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F.
(1)求证：AD∥BC；
(2)若∠1＝36°，求∠BEF的度数.
解：(1)证明：∵BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°.∴BD∥EF.∴∠3＝∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.
∴AD∥BC.
(2)∵∠1＝36°，∠1＝∠2，∴∠2＝36°.
∴∠BEF＝180°－∠2
＝180°－36°
＝144°.
　考点6　命题与定理
命题 判断一件事情的语句叫作命题，命题由题设和结论两部分组成
真命题 如果条件成立，结论一定成立的命题
假命题 如果条件成立，不能保证结论一定成立的命题
互逆 命题 两个命题中，如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作它的逆命题
反例 要说明一个命题是假命题，可以举出一个例子，使它符合命题的题设但不满足结论
例11 下列语句属于真命题的是(　A　)
A.a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
B.a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.两个锐角的和是钝角
变式11 判断命题“若a＞b，则a·c2＞b·c2”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的c可以是(　B　)
A.2 B.0 C. D.－5
1.(2025广安)若∠A＝25°，则∠A的余角为(　B　)
A.25° B.65° C.75° D.155°
2.(2025南充)如图，把含有60°的直角三角尺斜边放在直线l上，则∠α的度数是(　D　)
A.120° B.130° C.140° D.150°
3.(2025广西)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是(　A　)
A.垂线段最短 B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等
4.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为(　A　)
A.76° B.74° C.64° D.52°
5.(2025乐山)如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截.若∠1＝70°，则∠2＝(　D　)
A.130° B.110° C.90° D.70°
6.(2025达州)如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1＋∠2＝35°，则∠AFB的度数为(　A　)
A.35° B.55° C.70° D.145°
7.(2025辽宁)如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE∥OA.若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为(　C　)
A.50° B.120° C.130° D.140°
8.如图，点C在线段AB上，点D为线段BC的中点.若AB＝14 cm，BD＝3 cm，则线段AC的长为　8　cm.
9.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点A.若∠CAD＝22°，则∠BAE的度数为　158°　.
10.(2025北京)能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝　－3　，b＝　1　.　(本题答案不唯一)　
11.(2025江西)如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：AE∥DF.
证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1.
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2.
∴AE∥DF.
12.(2025甘肃)如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转(　A　)
A.30° B.40° C.60° D.80°
13.如图，将一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，若∠ABC＝130°，则∠1＝　65　°.
14.已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面AB与水平面b的夹角∠ABC＝50°，激光笔发出的光束PD射到平面镜上.若激光笔与水平天花板a的夹角∠EFD＝20°，反射光束为DE，则反射光束与平面镜的夹角∠ADE的度数为　70°　.
15.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，小乐同学做仰卧起坐时的一个状态如图1所示，已知AB∥CG，AC∥DE.
(1)求证：∠CAB＝∠CDE.
(2)当小乐同学在做仰卧起坐的某个瞬间，她腿部的某个位置M与脚后跟D的连线恰好平分∠CDE，如图2所示.若∠FAB＝3∠MDE，求∠MDG的度数.
解：(1)证明：∵AB∥CG，
∴∠CAB＋∠ACD＝180°.
∵AC∥DE，∴∠CDE＋∠ACD＝180°.
∴∠CAB＝∠CDE.
(2)∵∠CAB＝∠CDE，∠CAB＋∠BAF＝∠CDE＋∠EDG＝180°，
∴∠BAF＝∠EDG.
∵MD平分∠CDE，
∴∠MDE＝∠CDM.
设∠MDE＝α，
则∠CDM＝α，∠BAF＝3∠MDE＝3α.
∴∠EDG＝3α.
∴α＋α＋3α＝180°.
解得α＝36°.∴∠CDM＝36°.
∴∠MDG＝180°－36°＝144°.
16.已知点A，B，P为数轴上三点，我们规定：若点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是A，B的“K倍点”，记作P[A，B]＝K.例如，若点P表示的数为0，点A表示的数为－2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作P[A，B]＝2.
(1)如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题：
①P[B，A]＝　4　；
②若点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D表示的数.
(2)在数轴上，点E表示的数为－5，点F表示的数为25，点M，N为线段EF上的两点，且M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，求线段MN的长.
解：②∵点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，
∴DA＝2DB.
∵点A表示的数为－1，点B表示的数为5，
∴AB＝5－(－1)＝6.
当点D在线段AB上时，DA＝AB，点D表示的数为－1＋×6＝3；
当点D在线段AB的延长线上时，DA＝2AB，点D表示的数为－1＋2×6＝11.
∴点D表示的数为3或11.
(2)∵点E表示的数为－5，点F表示的数为25，∴EF＝25－(－5)＝30.
∵M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，
∴ME＝3MN，NF＝2MN.
设MN＝x，则ME＝3x，NF＝2x.
点M，N在线段EF上的位置分两种情况：
当点M在N的左边时，如图.
∴3x＋x＋2x＝30.解得x＝5.∴MN＝5.
当点M在N的右边时，如图.
∴3x－x＋2x＝30.解得x＝7.5.∴MN＝7.5.
综上，MN的长为5或7.5.

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