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第20讲 三角形(多边形)的基础知识
◎2022年版课标要求
①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性.
②探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
③证明三角形的任意两边之和大于第三边.
④了解三角形重心的概念.
⑤了解三角形的内心和外心.
⑥了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
◎备考策略
老师在日常检测中，对于基础知识，尽量单一知识点多形式设置题目检测，发现并聚焦学生问题，解决问题．
◎链接教材
人教：八上P1～P29；华师：七下P71～P96，九上P77～P80；
北师：七下P81～P91，八上P178～P187，八下P150～P158.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　三角形的分类及三边关系
分类 (1)按三个内角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；(2)按边的相等关系分类如下：三
三边关系 三角形任意两边的和　①　大于　第三边，三角形任意两边的差　②　小于　第三边
例1 下列各组数中，能作为三角形三边边长的是(　C　)
A.1，1，2 B.1，2，4
C.2，3，4 D.2，3，5
变式1 已知等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长为　22　.
　考点2　三角形的内角和与外角性质
角的关系 (1)三角形三个内角的和等于　③　180°　；(2)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的　④　和　
例2 如图，若AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝20°，则∠AED的度数是(　C　)
A.70° B.100° C.110° D.80°
变式2－1 一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是(　D　)
(变式2－1)
A.55° B.60° C.65° D.75°
变式2－2 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE与BA的延长线交于点E.若∠B＝40°，∠ACB＝30°，则∠E的度数为　35°　.
(变式2－2)
　考点3　三角形中的重要线段　 重点
线段图示 性质
高 ∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD∶S△ACD＝BD∶DC
中线 BD＝　⑤　CD　＝　⑥　　BC，S△ABD＝S△ADC，｜C△ABD－C△ACD｜＝｜AB－AC｜.提醒：三条中线的交点叫重心
角平分线 ∠1＝　⑦　∠2　＝∠BAC.提醒：三条角平分线的交点叫内心
中位线 AD＝BD，AE＝CE，　⑧　DE　∥BC且DE＝　⑨　　BC
例3 如图，在△ABC中，AD是高，AE是边BC上的中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为(　C　)
(例3)
A.1 B. C.2 D.4
变式3 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为边BC上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　24　.
(变式3)
例4 一架人字梯及其侧面的示意图如图所示，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝40 cm，则B，C两点间的距离是　80　cm.
(例4)
变式4 (2024广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　D　)
(变式4)
A.45° B.50° C.60° D.65°
例5 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠BAC＝50°，则∠ADE的度数为　65°　.
(例5)
变式5 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝60°，则∠2的大小为　30°　.
(变式5)
角平分线基本图形：
双内角平分线 一内一外角平分线 双外角平分线
∠P＝90°＋∠A ∠P＝∠A ∠P＝90°－∠A
通过掌握这三种模型，可以快速解决涉及三角形角平分线的角度计算问题.　
考点4　多边形的内角和与外角和　重点
多边形 (1)n边形的内角和为　⑩　180°·(n－2)　；(2)n边形的外角和为　 　360°　
正多边形 (1)正多边形的每条边都相等，每个内角都相等；(2)正n边形的内角相等且每一个内角为(从内角和角度考虑)或180°－(从外角和角度考虑)；(3)每一个外角为
例6 (2025遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(　A　)
A.10 B.11 C.12 D.13
变式6－1 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝　8　.
变式6－2 (2025自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝(　B　)
A.140° B.150° C.160° D.170°
例7 如图，正六边形ABCDEF的对角线AD的长为8，则正六边形ABCDEF的边长为(　D　)
A.2 B.2 C.2 D.4
变式7 如图，将正方形剪去四个角后得到边长为2 cm的正八边形，则正方形的边长为　(2＋2)　cm.
1.一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是 (　C　)
A.1　　 B.2　　　 C.8　　　D.13
2.(2024攀枝花)五边形的外角和为(　C　)
A.108° B.180° C.360° D.540°
3.(2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　B　)
(第3题)
A.5° B.15° C.25° D.35°
4.(2025资阳)三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(　B　)
A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm
5.(2025眉山)如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为(　C　)
(第5题)
A.216° B.180° C.144° D.120°
6.若n边形的每个外角都等于40°，则n＝　9　.
7.(2025成都)正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　2　.
8.(2024巴中)经过五边形的一个顶点最多可以画出　2　条对角线.
9.(2024凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　100°　.
(第9题)
10.如图，在△ABC中，D是BC中点，CE是△ACD的中线，若S△CDE＝2，则S△ABC是　8　.
(第10题)
11.(2025甘肃)如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为(　A　)
A.12 B.11 C.10 D.9
12.(2025南充模拟)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD.∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为(　D　)
(第12题)
A.28° B.29° C.31° D.32°
13.(2025湖南省卷)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝　45　°.
(第13题)
14.定义：在△ABC中，AE是它的中线，点F在BC上，若∠BAE＝∠CAF，则称AF是△ABC的“陪位中线”.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AF⊥BC，垂足为F，求证：AF是△ABC的“陪位中线”.
证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE为边BC上的中线，
∴AE＝BE＝CE.
∴∠B＝∠BAE.
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＋∠C＝90°.
∵∠B＋∠C＝90°，
∴∠B＝∠CAF.
∴∠BAE＝∠CAF.
∴AF是△ABC的“陪位中线”.
15.(2025江西)如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2……依此类推，则△AnBnCn的面积为(　C　)
A. B. C. D.
16.(2024达州)如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB、外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD……以此规律作下去.若∠C＝m°，则∠En＝　m　°.第20讲 三角形(多边形)的基础知识
◎2022年版课标要求
①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性.
②探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
③证明三角形的任意两边之和大于第三边.
④了解三角形重心的概念.
⑤了解三角形的内心和外心.
⑥了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
◎备考策略
老师在日常检测中，对于基础知识，尽量单一知识点多形式设置题目检测，发现并聚焦学生问题，解决问题．
◎链接教材
人教：八上P1～P29；华师：七下P71～P96，九上P77～P80；
北师：七下P81～P91，八上P178～P187，八下P150～P158.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　三角形的分类及三边关系
分类 (1)按三个内角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；(2)按边的相等关系分类如下：三
三边关系 三角形任意两边的和　① 　第三边，三角形任意两边的差　② 　第三边
例1 下列各组数中，能作为三角形三边边长的是( )
A.1，1，2 B.1，2，4
C.2，3，4 D.2，3，5
变式1 已知等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长为 .
　考点2　三角形的内角和与外角性质
角的关系 (1)三角形三个内角的和等于　③ 　；(2)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的　④ 　
例2 如图，若AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝20°，则∠AED的度数是( )
A.70° B.100° C.110° D.80°
变式2－1 一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
(变式2－1)
A.55° B.60° C.65° D.75°
变式2－2 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE与BA的延长线交于点E.若∠B＝40°，∠ACB＝30°，则∠E的度数为 .
(变式2－2)
　考点3　三角形中的重要线段　 重点
线段图示 性质
高 ∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD∶S△ACD＝BD∶DC
中线 BD＝　⑤ 　＝　⑥ 　BC，S△ABD＝S△ADC，｜C△ABD－C△ACD｜＝｜AB－AC｜.提醒：三条中线的交点叫重心
角平分线 ∠1＝　⑦ 　＝∠BAC.提醒：三条角平分线的交点叫内心
中位线 AD＝BD，AE＝CE，　⑧ 　∥BC且DE＝　⑨ 　BC
例3 如图，在△ABC中，AD是高，AE是边BC上的中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为( )
(例3)
A.1 B. C.2 D.4
变式3 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为边BC上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是 .
(变式3)
例4 一架人字梯及其侧面的示意图如图所示，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝40 cm，则B，C两点间的距离是 cm.
(例4)
变式4 (2024广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( )
(变式4)
A.45° B.50° C.60° D.65°
例5 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠BAC＝50°，则∠ADE的度数为 .
(例5)
变式5 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝60°，则∠2的大小为 .
(变式5)
角平分线基本图形：
双内角平分线 一内一外角平分线 双外角平分线
∠P＝90°＋∠A ∠P＝∠A ∠P＝90°－∠A
通过掌握这三种模型，可以快速解决涉及三角形角平分线的角度计算问题.　
考点4　多边形的内角和与外角和　重点
多边形 (1)n边形的内角和为　⑩ 　；(2)n边形的外角和为　 　
正多边形 (1)正多边形的每条边都相等，每个内角都相等；(2)正n边形的内角相等且每一个内角为(从内角和角度考虑)或180°－(从外角和角度考虑)；(3)每一个外角为
例6 (2025遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
变式6－1 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝ .
变式6－2 (2025自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝( )
A.140° B.150° C.160° D.170°
例7 如图，正六边形ABCDEF的对角线AD的长为8，则正六边形ABCDEF的边长为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
变式7 如图，将正方形剪去四个角后得到边长为2 cm的正八边形，则正方形的边长为 cm.
1.一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是 ( )
A.1　　 B.2　　　 C.8　　　D.13
2.(2024攀枝花)五边形的外角和为( )
A.108° B.180° C.360° D.540°
3.(2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为( )
(第3题)
A.5° B.15° C.25° D.35°
4.(2025资阳)三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是( )
A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm
5.(2025眉山)如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为( )
(第5题)
A.216° B.180° C.144° D.120°
6.若n边形的每个外角都等于40°，则n＝ .
7.(2025成都)正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 .
8.(2024巴中)经过五边形的一个顶点最多可以画出 条对角线.
9.(2024凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 .
(第9题)
10.如图，在△ABC中，D是BC中点，CE是△ACD的中线，若S△CDE＝2，则S△ABC是 .
(第10题)
11.(2025甘肃)如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为( )
A.12 B.11 C.10 D.9
12.(2025南充模拟)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD.∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为( )
(第12题)
A.28° B.29° C.31° D.32°
13.(2025湖南省卷)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ °.
(第13题)
14.定义：在△ABC中，AE是它的中线，点F在BC上，若∠BAE＝∠CAF，则称AF是△ABC的“陪位中线”.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AF⊥BC，垂足为F，求证：AF是△ABC的“陪位中线”.
15.(2025江西)如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2……依此类推，则△AnBnCn的面积为( )
A. B. C. D.
16.(2024达州)如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB、外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD……以此规律作下去.若∠C＝m°，则∠En＝ °.

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