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第21讲 全等三角形
◎2022年版课标要求
①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
②掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
③掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
④掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.
⑤证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
⑥探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
⑦理解角平分线的概念（新增），探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
◎备考策略
1. 掌握基本知识：在教学过程中，要让学生熟练掌握全等三角形的判定方法与性质；
2. 判断全等：引导学生通过已知条件、设问形式，知道用相关知识解题。
◎链接教材
人教：八上P30～P56；华师：七下P133～P135，八上P59～P77，P96～P99；
北师：七下P92～P113，八下P28～P32.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　全等三角形的概念与性质
概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
性质 全等三角形的对应边　① 　，全等三角形的对应角　② 　
例1 如图，已知△ABC≌△ENM，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠C＝54°，∠A＝66°，下列结论正确的是( )
A.EM＝a B.EN＝c C.∠E＝60° D.∠N＝66°
变式1－1 如图，△ABC≌△DCB，若∠DBC＝40°，则∠AOB的度数是( )
(变式1－1)
A.80° B.60° C.50° D.40°
变式1－2 如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB＝3，CE＝8，则AD＝ .
(变式1－2)
先明确全等三角形的顶点对应顺序，再标出对应的边和角，通过全等关系转移角或边，结合三角形内角和、外角等几何知识求解.
　考点2　三角形全等的判定　重点
一般三角形 三边分别　③ 　的两个三角形全等(SSS)
两边和它们的　④ 　分别相等的两个三角形全等(SAS)
两角和它们的　⑤ 　分别相等的两个三角形全等(ASA)
两角及其中一个角的　⑥ 　分别相等的两个三角形全等(AAS)
直角三角形 斜边和　⑦ 　分别相等的两个直角三角形全等(HL)
例2 (2025乐山)如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.
变式2－1 (2025广州)如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD.求证：△ABC≌△EBD.
变式2－2 (2025内江)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BF＝4，FC＝3，求BE的长.
变式2－3 如图，已知△ABC和△CDE，点E在AC上，DE∥BC，DE＝AC，∠A＝∠D.求证：AB＝CD.
变式2－4 如图，在正方形ABCD中，E是AD边上一点，AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G.求证：AF＝BG.
　考点3　角的平分线的性质与判定
图示
性质 角的平分线上的点到角的两边的距离　⑧ 　.∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM　⑨ 　PN
判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OC平分∠AOB
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 .
变式3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB上，连接DE，则下列结论错误的是( )
A.AM＝AN
B.AD＝2CD
C.∠CAD＝∠BAD
D.DE的最小值是DC的长
例4 如图，在△ABC中，点D到AB和AC的距离相等，∠B＝40°，∠C＝60°，则∠BAD的度数为 .
变式4 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，且DF＝BE.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AB＝8 cm，DF＝2 cm，求AD的长.
1.如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为　 ( )
(第1题)
A.40° B.60°　　　 C.80° D.100°
2.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是 ( )
(第2题)
A.SSS　 B.SAS　 C.ASA　 D.HL
3.如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1＋∠2的度数是 ( )
(第3题)
A.100° B.90° C.80° D.60°
4.如图，BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，若DC＝3，则D到AB的距离是 .
(第4题)
5.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 .
6.如图，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使△ABC≌△ADC，则可添加 .
(第6题)
7.如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接FC.若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长为 .
(第7题)
8.(2025南充)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC.
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)求证：∠BCD＝∠EDC.
9.如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，且EF＝EG.
(1)求证：CE是∠ACD的平分线；
(2)求证：AC＝AF＋CG.
10.(1)如图1，在△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B，C，E三点在同一直线上，AB＝2，ED＝3，则BE＝ ；
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积；
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD的面积为14，且CD的长为7，直接写出△BCD的面积.第21讲 全等三角形
◎2022年版课标要求
①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
②掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
③掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
④掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.
⑤证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
⑥探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
⑦理解角平分线的概念（新增），探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
◎备考策略
1. 掌握基本知识：在教学过程中，要让学生熟练掌握全等三角形的判定方法与性质；
2. 判断全等：引导学生通过已知条件、设问形式，知道用相关知识解题。
◎链接教材
人教：八上P30～P56；华师：七下P133～P135，八上P59～P77，P96～P99；
北师：七下P92～P113，八下P28～P32.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　全等三角形的概念与性质
概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
性质 全等三角形的对应边　①　相等　，全等三角形的对应角　②　相等　
例1 如图，已知△ABC≌△ENM，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠C＝54°，∠A＝66°，下列结论正确的是(　B　)
A.EM＝a B.EN＝c C.∠E＝60° D.∠N＝66°
变式1－1 如图，△ABC≌△DCB，若∠DBC＝40°，则∠AOB的度数是(　A　)
(变式1－1)
A.80° B.60° C.50° D.40°
变式1－2 如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB＝3，CE＝8，则AD＝　5　.
(变式1－2)
先明确全等三角形的顶点对应顺序，再标出对应的边和角，通过全等关系转移角或边，结合三角形内角和、外角等几何知识求解.
　考点2　三角形全等的判定　重点
一般三角形 三边分别　③　相等　的两个三角形全等(SSS)
两边和它们的　④　夹角　分别相等的两个三角形全等(SAS)
两角和它们的　⑤　夹边　分别相等的两个三角形全等(ASA)
两角及其中一个角的　⑥　对边　分别相等的两个三角形全等(AAS)
直角三角形 斜边和　⑦　一条直角边　分别相等的两个直角三角形全等(HL)
例2 (2025乐山)如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.
证明：∵线段AC，BD相交于点E，
∴∠AEB＝∠DEC.
∵AE＝DE，BE＝CE，∴△AEB≌△DEC(SAS).∴AB＝DC.
变式2－1 (2025广州)如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD.求证：△ABC≌△EBD.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EBC＝∠2＋∠EBC，即∠ABC＝∠EBD.
在△ABC和△EBD中，
∴△ABC≌△EBD(SAS).
变式2－2 (2025内江)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BF＝4，FC＝3，求BE的长.
解：(1)证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E.
∵AC＝DF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF.
∴BF＋FC＝CE＋FC.
∴BF＝CE.
∵BF＝4，∴CE＝4.
∴BE＝BF＋FC＋CE＝4＋3＋4＝11.
变式2－3 如图，已知△ABC和△CDE，点E在AC上，DE∥BC，DE＝AC，∠A＝∠D.求证：AB＝CD.
证明：∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠DEC.
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE(ASA).
∴AB＝CD.
变式2－4 如图，在正方形ABCD中，E是AD边上一点，AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G.求证：AF＝BG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，
∠ABC＝90°.
∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFB＝∠CGB＝90°.
∴∠ABF＋∠CBG＝∠ABF＋∠BAF＝90°.
∴∠BAF＝∠CBG.
∴△ABF≌△BCG(AAS).
∴AF＝BG.
　考点3　角的平分线的性质与判定
图示
性质 角的平分线上的点到角的两边的距离　⑧　相等　.∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM　⑨　＝　PN
判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OC平分∠AOB
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为　6　.
变式3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB上，连接DE，则下列结论错误的是(　B　)
A.AM＝AN
B.AD＝2CD
C.∠CAD＝∠BAD
D.DE的最小值是DC的长
例4 如图，在△ABC中，点D到AB和AC的距离相等，∠B＝40°，∠C＝60°，则∠BAD的度数为　40°　.
变式4 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，且DF＝BE.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AB＝8 cm，DF＝2 cm，求AD的长.
解：(1)证明：∵CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∴∠CEB＝90°，∠CFD＝90°，
即△BCE和△DCF均为直角三角形.
∵BC＝CD，BE＝DF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
∴CE＝CF.
又CE⊥AB，CF⊥AD，∴AC平分∠DAB.
(2)∵CE⊥AB，CF⊥AD，
且AC＝AC，CE＝CF，
∴Rt△ACE≌
Rt△ACF(HL).
∴AE＝AF.
又AB＝8，DF＝BE＝2，
∴AE＝AF＝AB－BE＝8－2＝6.
∴AD＝AF－DF＝6－2＝4(cm).
1.如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为　 (　C　)
(第1题)
A.40° B.60°　　　 C.80° D.100°
2.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是 (　B　)
(第2题)
A.SSS　 B.SAS　 C.ASA　 D.HL
3.如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1＋∠2的度数是 (　B　)
(第3题)
A.100° B.90° C.80° D.60°
4.如图，BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，若DC＝3，则D到AB的距离是　3　.
(第4题)
5.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF的长为　3　.
6.如图，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使△ABC≌△ADC，则可添加　AB＝AD(答案不唯一)　.
(第6题)
7.如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接FC.若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长为　2　.
(第7题)
8.(2025南充)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC.
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)求证：∠BCD＝∠EDC.
证明：(1)∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD－∠CAD＝
∠EAC－∠CAD.
∴∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
(2)∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.
∵△ABC≌△AED，∴∠ACB＝∠ADE.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠ADE＋∠ADC，
即∠BCD＝∠EDC.
9.如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，且EF＝EG.
(1)求证：CE是∠ACD的平分线；
(2)求证：AC＝AF＋CG.
证明：(1)如图，过点E作EH⊥AC于点H.
∵点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB，EH⊥AC，∴EF＝EH.
∵EF＝EG，∴EH＝EG.
又EG⊥CD，EH⊥AC，
∴CE是∠ACD的平分线.
(2)∵EF⊥AB，EH⊥AC，
∴∠AFE＝∠AHE＝90°.
在Rt△AEF和Rt△AEH中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEH(HL).
∴AF＝AH.同理，得CH＝CG.
∴AC＝AH＋CH＝AF＋CG.
10.(1)如图1，在△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B，C，E三点在同一直线上，AB＝2，ED＝3，则BE＝　5　；
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积；
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD的面积为14，且CD的长为7，直接写出△BCD的面积.
解：(2)如图2，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°.
∴∠ACB＝90°－∠DCE＝∠CDE.
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED(AAS).∴ED＝BC＝2.
∴S△BCD＝BC·DE＝2.
解：(3)　
解析：如图3，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD交DC延长线于点F.
∵△ACD的面积为14，CD的长为7，
即×7×AE＝14，∴AE＝4.
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形.
∴DE＝AE＝4.∴CE＝CD－DE＝3.
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∠ACE＝90°－∠BCF＝∠CBF.
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF(AAS).
∴BF＝CE＝3.
∴S△BCD＝CD·BF＝.

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