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第22讲 等腰三角形
◎2022年版课标要求
①理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
②理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；
底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
③探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
④探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.
⑤探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
◎备考策略
需要扎实掌握等腰和等边三角形的性质及判定，通过不同形式、题型打牢基础。
◎链接教材
人教：八上P75～P84；华师：八上P78～P85，P94～95；北师：七下P121～P124，八下P2～P13，P22～P27.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　线段垂直平分线的性质与判定
定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线
图示
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　① 　.如图，DE垂直平分BC，则BD＝　② 　
判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
例1 (2025达州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为( )
A.21 B.14 C.13 D.9
变式1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为( )
A.4 B.5 C.2 D.6
利用线段的垂直平分线的性质转化边的关系.
　考点2　等腰三角形的性质与判定　 重点
概念 有两边相等的三角形叫作等腰三角形
性质 (1)等腰三角形两个底角　③ 　(简称“等边对等角”)；(2)等腰三角形顶角的　④ 　、底边上的　⑤ 　、底边上的　⑥ 　相互重合(简称“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有　⑦ 　条对称轴，对称轴是　⑧ 　所在的直线
判定 如果一个三角形有　⑨ 　相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)
例2 如图，直线AB∥CD，EF＝EG，点F，G分别在直线CD，AB上，若∠E＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数为( )
A.85° B.70° C.65° D.55°
变式2 如图，在△ABC中，D为边BC上的点，满足AB＝AC＝BD，且∠DAC＝30°，则∠B的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
例3 (2025扬州)在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( )
A.∠ADB＝∠ADC B.∠B＝∠C C.BD＝CD D.AD平分∠BAC
变式3 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，若CE＝2，则BD的长为 .
例4 如图，在△ABC和△DCB中，AB，CD相交于点O，∠ACB＝∠DBC＝90°，∠ABC＝∠DCB.求证：OA＝OD.
　考点3　等边三角形的性质与判定　 重点
概念 三条边都相等的三角形叫作等边三角形
性质 (1)三个内角都　⑩ 　，并且每个角都等于　 　；(2)等边三角形是轴对称图形，有　 　条对称轴
判定 (1)三个角都　 　的三角形是等边三角形；(2)有一个角是　 　的等腰三角形是等边三角形
例5 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
变式5 如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别在BA，CB，AC的延长线上，且AD＝BE＝CF，连接DE，EF，求证：DE＝EF.
例6 如图，AB＝BC＝4，DA＝DC，若∠ACB＝60°，则OC的长度为( )
A.1 B. C.2 D.
变式6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E为对角线CA延长线上一点，且CE＝BC，连接DE.若∠ACB＝60°，求证：AB＝DE.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
(第1题)
A.100° B.115° C.130° D.145°
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝5，则BC＝( )
(第2题)
A.5 B.6 C.10 D.13
3.(2024凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )
(第3题)
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
4.如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE，则∠A＝ °.
(第4题)
5.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝8，则AC的长为 .
(第5题)
6.(2025资阳)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 .
(第6题)
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为 .
8.如图，△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，延长BC至点E，使DB＝DE，则∠BDE的度数为 .
9.(2024宜宾)如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE.
10.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝6，BC＝4，则BD的长为 .
12.(2025宜宾模拟)如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC，BE和DC相交于点M.
(1)求证：BE＝DC；
(2)求∠DME的度数.
13.已知在等边三角形ABC中，点D为射线BA上一点(点D与点B不重合)，连接CD，以DC为边在BC上方作等边三角形DCE，连接AE.
(1)如图1，当点D是AB边中点时，∠ADE的度数为 ；
(2)求证：AE＝BD；
(3)如图2，当动点D在BA的延长线上时，以DC为边在其下方作等边三角形DCF，连接BF，求线段AB，AE，BF之间的等量关系.第22讲 等腰三角形
◎2022年版课标要求
①理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
②理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；
底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
③探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
④探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.
⑤探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
◎备考策略
需要扎实掌握等腰和等边三角形的性质及判定，通过不同形式、题型打牢基础。
◎链接教材
人教：八上P75～P84；华师：八上P78～P85，P94～95；北师：七下P121～P124，八下P2～P13，P22～P27.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　线段垂直平分线的性质与判定
定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线
图示
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　①　相等　.如图，DE垂直平分BC，则BD＝　②　CD　
判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
例1 (2025达州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(　C　)
A.21 B.14 C.13 D.9
变式1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　A　)
A.4 B.5 C.2 D.6
利用线段的垂直平分线的性质转化边的关系.
　考点2　等腰三角形的性质与判定　 重点
概念 有两边相等的三角形叫作等腰三角形
性质 (1)等腰三角形两个底角　③　相等　(简称“等边对等角”)；(2)等腰三角形顶角的　④　平分线　、底边上的　⑤　中线　、底边上的　⑥　高　相互重合(简称“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有　⑦　1　条对称轴，对称轴是　⑧　顶角的平分线(或底边上的中线或底边上的高)　所在的直线
判定 如果一个三角形有　⑨　两个角　相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)
例2 如图，直线AB∥CD，EF＝EG，点F，G分别在直线CD，AB上，若∠E＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数为(　D　)
A.85° B.70° C.65° D.55°
变式2 如图，在△ABC中，D为边BC上的点，满足AB＝AC＝BD，且∠DAC＝30°，则∠B的度数为(　C　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
例3 (2025扬州)在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　B　)
A.∠ADB＝∠ADC B.∠B＝∠C C.BD＝CD D.AD平分∠BAC
变式3 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，若CE＝2，则BD的长为　4　.
例4 如图，在△ABC和△DCB中，AB，CD相交于点O，∠ACB＝∠DBC＝90°，∠ABC＝∠DCB.求证：OA＝OD.
证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(ASA).
∴AB＝DC.
∵∠ABC＝∠DCB，∴OC＝OB.
∴AB－OB＝DC－OC，即OA＝OD.
　考点3　等边三角形的性质与判定　 重点
概念 三条边都相等的三角形叫作等边三角形
性质 (1)三个内角都　⑩　相等　，并且每个角都等于　 　60°　；(2)等边三角形是轴对称图形，有　 　3　条对称轴
判定 (1)三个角都　 　相等　的三角形是等边三角形；(2)有一个角是　 　60°　的等腰三角形是等边三角形
例5 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　A　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
变式5 如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别在BA，CB，AC的延长线上，且AD＝BE＝CF，连接DE，EF，求证：DE＝EF.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°.
∴∠DBE＝∠ECF＝120°.
∵BE＝AD，
∴BE＋BC＝AD＋AB，即CE＝BD.
在△DBE和△ECF中，
∴△DBE≌△ECF(SAS).∴DE＝EF.
例6 如图，AB＝BC＝4，DA＝DC，若∠ACB＝60°，则OC的长度为(　C　)
A.1 B. C.2 D.
变式6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E为对角线CA延长线上一点，且CE＝BC，连接DE.若∠ACB＝60°，求证：AB＝DE.
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°.
又AD＝CD，∴△ACD是
等边三角形.
∴∠ACD＝60°＝∠ACB，AC＝DC.
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(SAS).∴AB＝DE.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　B　)
(第1题)
A.100° B.115° C.130° D.145°
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝5，则BC＝(　C　)
(第2题)
A.5 B.6 C.10 D.13
3.(2024凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　C　)
(第3题)
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
4.如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE，则∠A＝　66　°.
(第4题)
5.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝8，则AC的长为　15　.
(第5题)
6.(2025资阳)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是　∠B＝60°(答案不唯一)　.
(第6题)
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为　2　.
8.如图，△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，延长BC至点E，使DB＝DE，则∠BDE的度数为　120°　.
9.(2024宜宾)如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∠ABD＝∠BCE＝60°.
又BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS).
∴AD＝BE.
10.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　C　)
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝6，BC＝4，则BD的长为　1　.
12.(2025宜宾模拟)如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC，BE和DC相交于点M.
(1)求证：BE＝DC；
(2)求∠DME的度数.
解：(1)证明：∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，
∠CAE＝∠BAD＝60°.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠BAC＋∠BAD，
即∠BAE＝∠DAC.
在△ABE和△ADC中，
∴△ABE≌△ADC(SAS).
∴BE＝DC.
(2)∵△ABE≌△ADC，∠BDA＝∠DBA＝60°，∴∠ADC＝∠ABE.
∴∠ADC＋∠BDC＝∠ABE＋∠BDC＝∠BDA＝60°.
∴在△DMB中，∠BMD＝180°－∠BDM－∠DBA－∠ABE
＝180°－∠DBA－(∠ABE＋∠BDC)
＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DME＝180°－60°＝120°.
13.已知在等边三角形ABC中，点D为射线BA上一点(点D与点B不重合)，连接CD，以DC为边在BC上方作等边三角形DCE，连接AE.
(1)如图1，当点D是AB边中点时，∠ADE的度数为　30°　；
(2)求证：AE＝BD；
(3)如图2，当动点D在BA的延长线上时，以DC为边在其下方作等边三角形DCF，连接BF，求线段AB，AE，BF之间的等量关系.
解：(2)证明：分两种情况讨论：
①当点D在线段AB上时(点D与点B不重合).
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°.
∵△DCE是等边三角形，
∴EC＝DC，∠DCE＝60°.
∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS).∴AE＝BD.
②当点D在线段BA的延长线上时，如答图.
同理可证△ACE≌
△BCD.
∴AE＝BD.
综上，AE＝BD.
(3)∵△ABC是等边三角形，△DCF是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCF＝60°，AC＝BC，DC＝FC.
∴∠ACD＋∠ACF＝60°，∠BCF＋∠ACF＝60°.
∴∠ACD＝∠BCF.
在△ACD和△BCF中，
∴△ACD≌△BCF(SAS).∴AD＝BF.
由(2)知，AE＝BD.
∴AE－BF＝BD－AD＝AB.
∴AE＝AB＋BF.

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