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第23讲 直角三角形(含勾股定理)
◎2022年版课标要求
①理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
②探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
◎备考策略
掌握直角三角形的判定与性质，加强单一知识点的练习。
◎链接教材
人教：八上P13～P14，八下P21～P39；华师：八上P107～P128；北师：八上P1～P19，八下P14～P21.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　直角三角形的概念与性质　重点
概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形
角的关系 直角三角形两个锐角　① 　
边的关系 (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的　② 　；(2)勾股定理：若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则　③ 　
边角关系 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的　④ 　
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D.若AD＝5，则BC的长为 .
变式1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝2，则AB的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，则CD的长度为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
变式2 (2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 .
例3 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
(例3)
变式3 如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为10，且(a＋b)2＝16，则小正方形的面积为( )
(变式3)
A.3 B.4 C.5 D.6
例4 如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地的垂直高度CF＝2.5 m，若它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A.3.4 m B.3.25 m C.4 m D.5.5 m
变式4 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深为 尺.
　考点2　直角三角形的判定
角 (1)有一个角为　⑤ 　的三角形是直角三角形；(2)有两个角　⑥ 　的三角形是直角三角形
边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足　⑦ 　，那么这个三角形是直角三角形
例5 如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题：
(1)线段AB的长为 ，AC的长为 ；
(2)请连接BC，判断△ABC的形状，并说明理由.
例6 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上.若AB＝，则CD＝ .
变式6 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，∠ADB＝60°，AD＝16，BD＝11，则BC的长为 .
在三角形中存在特殊角30°，45°，60°时，可作垂线，构造直角三角形.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝90°.若AC＝2，则BC的长为 ( )
A.1 B. C. D.4
2.如图，一棵高为16 m的大树被台风刮断，若树在离地面6 m处折断，则树顶端落在地面的位置距离树底部 ( )
A.5 m B.7 m C.8 m D.10 m
3.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )
A.a∶b∶c＝1∶1∶
B.∠C＝∠A－∠B
C.b2＝a2－c2
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
4.如图，已知△ABC≌△DBE.若AC⊥BE，且∠ABE＝20°，则∠D的度数为 .
5.(2025南通)南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图，这是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC＝4.8 m，∠C＝30°，则EF的长为 m.
(第5题)
6.(2025连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为 m.
(第6题)
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.求证：AE＝2CE.
8.如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△CDE是直角三角形.
9.(2025广安)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 .
(第9题)
10.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝ .
(第10题)
11.(2025扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 .
12.如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，在AC右侧作等边三角形ACD.
(1)求∠CBD的度数；
(2)若BC＝4，求BD的长.
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC为底作等腰直角三角形BCD，E是CD的中点，连接AE，BE.求证：AE⊥EB.第23讲 直角三角形(含勾股定理)
◎2022年版课标要求
①理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
②探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
◎备考策略
掌握直角三角形的判定与性质，加强单一知识点的练习。
◎链接教材
人教：八上P13～P14，八下P21～P39；华师：八上P107～P128；北师：八上P1～P19，八下P14～P21.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　直角三角形的概念与性质　重点
概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形
角的关系 直角三角形两个锐角　①　互余　
边的关系 (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的　②　一半　；(2)勾股定理：若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则　③　a2＋b2＝c2　
边角关系 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的　④　一半　
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D.若AD＝5，则BC的长为　15　.
变式1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝2，则AB的长为(　C　)
A.4 B.6 C.8 D.10
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，则CD的长度为(　A　)
A.5 B.6 C.8 D.10
变式2 (2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　6　.
例3 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为　64　.
(例3)
变式3 如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为10，且(a＋b)2＝16，则小正方形的面积为(　B　)
(变式3)
A.3 B.4 C.5 D.6
例4 如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地的垂直高度CF＝2.5 m，若它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是(　B　)
A.3.4 m B.3.25 m C.4 m D.5.5 m
变式4 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深为　12　尺.
　考点2　直角三角形的判定
角 (1)有一个角为　⑤　直角　的三角形是直角三角形；(2)有两个角　⑥　互余　的三角形是直角三角形
边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足　⑦　a2＋b2＝c2　，那么这个三角形是直角三角形
例5 如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题：
(1)线段AB的长为　　，AC的长为　　；
(2)请连接BC，判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.
理由如下：如图，连接BC.
由勾股定理，得BC＝＝＝2.
∵AB＝，AC＝，
∴AC2＋BC2＝2＋8＝10＝AB2.
∴△ABC为直角三角形.
例6 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上.若AB＝，则CD＝　－1　.
变式6 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，∠ADB＝60°，AD＝16，BD＝11，则BC的长为　6　.
在三角形中存在特殊角30°，45°，60°时，可作垂线，构造直角三角形.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝90°.若AC＝2，则BC的长为 (　B　)
A.1 B. C. D.4
2.如图，一棵高为16 m的大树被台风刮断，若树在离地面6 m处折断，则树顶端落在地面的位置距离树底部 (　C　)
A.5 m B.7 m C.8 m D.10 m
3.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　D　)
A.a∶b∶c＝1∶1∶
B.∠C＝∠A－∠B
C.b2＝a2－c2
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
4.如图，已知△ABC≌△DBE.若AC⊥BE，且∠ABE＝20°，则∠D的度数为　70°　.
5.(2025南通)南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图，这是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC＝4.8 m，∠C＝30°，则EF的长为　1.2　m.
(第5题)
6.(2025连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为　2.4　m.
(第6题)
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.求证：AE＝2CE.
证明：如图，连接BE.
∵AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，
∴AE＝BE.
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∠ABC＝60°.
∴∠EBC＝30°.
∴BE＝2CE.
∴AE＝2CE.
8.如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△CDE是直角三角形.
证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).∴∠ADE＝∠BEC.
∵∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°.∴∠DEC＝90°.
∴△CDE是直角三角形.
9.(2025广安)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为　2　.
(第9题)
10.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝　－1　.
(第10题)
11.(2025扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61　.
12.如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，在AC右侧作等边三角形ACD.
(1)求∠CBD的度数；
(2)若BC＝4，求BD的长.
解：(1)∵∠BAC＝90°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵△ACD为等边三角形，
∴AB＝AC＝AD，∠CAD＝∠ACD＝60°.
∴∠BAD＝150°.
∴∠ADB＝∠ABD＝15°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝30°.
(2)如图，作CE⊥BD于点E.
∵∠ACB＝45°，∠ACD＝60°，∠CBD＝30°，
∴∠BDC＝45°.
∵CE⊥BD，∴∠DCE＝45°.
∴CE＝DE.
∵BC＝4，CE⊥BD，∠CBD＝30°，
∴CE＝DE＝BC＝2.
∴BE＝＝2.
∴BD＝2＋2.
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC为底作等腰直角三角形BCD，E是CD的中点，连接AE，BE.求证：AE⊥EB.
证明：如图，取BD的中点F，连接EF.
∵E是CD的中点，
∴EF为△CBD的中位线.
∴EF＝BC，EF∥BC.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝45°，∠D＝90°，CD＝BD.
∴∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝135°，
∠DFE＝∠DBC＝45°，CE＝BF.
∴∠EFB＝135°，即∠EFB＝∠ACE.
∵AC＝BC，∴EF＝AC.
∴△EFB≌△ACE(SAS).
∴∠DBE＝∠CEA.
又∠DBE＋∠DEB＝90°，
∴∠CEA＋∠DEB＝90°.
∴∠AEB＝90°.
∴AE⊥EB.

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