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第24讲 相似三角形(含位似)
◎2022年版课标要求
①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
②通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比.
③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. *了解相似三角形判定定理的证明.
⑤了解相似三角形的性质定理（这些定理不要求学生证明）：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
◎备考策略
1.掌握基本知识：在教学过程中，要让学生熟练掌握相似三角形的判定方法与性质；
2.引导学生通过已知条件、设问形式，知道用哪种方法判断三角形相似．
◎链接教材
人教：九下P23～P59；华师：九上P48～P76，P80～P81；北师：九上P75～P123.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　相似多边形的概念与性质
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的对应角　① 　，对应边　② 　，那么这两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作　③ 　
性质 相似多边形的对应角　④ 　，对应边　⑤ 　
例1 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则B'C'的长度x和∠β的大小分别是( )
A.x＝2，β＝78°
B.x＝2，β＝88°
C.x＝4.5，β＝78°
D.x＝4.5，β＝88°
变式1 如图，现将一张A3纸沿它的长边对折(EF为折痕)可以得到两张A4纸，如果A3纸和A4纸的长宽比例是相等的，那么A4纸的长边与短边的比是( )
A. B. C. D.
　考点2　比例线段与平行线分线段成比例
1.比例的基本性质
基本性质 如果＝，那么ad＝bc
合(分)比性质 如果＝，那么＝
等比性质 如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝
2.平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段　⑥ 　
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段　⑦ 　
3.黄金分割点
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，AC＞BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，黄金比＝≈0.618.
注意：一条线段有两个黄金分割点.
例2 (2025成都)若＝3，则的值为 .
例3 (2025乐山)如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为( )
(例3)
A.4 B.6 C.8 D.10
变式3 如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝8，DE＝6，EF＝3，则BC＝ .
(变式3)
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点.若AB＝4，则AE的长为( )
A.2 B.2－2 C. D.－2
　考点3　相似三角形的性质与判定　 重点
性质 (1)相似三角形的对应角　⑧ 　，对应边　⑨ 　；(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 ；(3)相似三角形的周长比等于　 　，面积比等于　 　
判定方法 (1)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似(仅人教、华师有)；(2)三边　 　的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角　 　的两个三角形相似；(4)两角分别　 　的两个三角形相似
例5 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，若＝＝，则△ADE的面积与△ABC的面积的比是 .
变式5 如图，在 ABCD中，延长BA到点E，连接EC交AD于点F，若＝，EA＝1.5，则AB的长是( )
A.4.5 B.3 C.2 D.1
例6 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4.求证：∠AED＝∠B.
变式6 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥BD交BC于点E.求证：△CDE∽△CBD.
　考点4　图形的位似
概念 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作　 　.利用位似可以将图形放大或缩小
性质 (1)位似图形的对应角　 　；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点；(3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上且成比例；(4)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于　 　；(5)位似图形的周长比等于相似比，面积比等于　 　
例7 如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是　　( )
A.点M B.点N C.点E D.点F
例8 (2025眉山)如图，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是( )
(例8)
A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4
变式8 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若＝，则点A(－3，1)的对应点A'的坐标为( )
(变式8)
A.(－6，2) B.(6，－2) C.(－2，6) D.(2，－6)
　考点5　相似三角形的实际应用
例9 (2025内江改编)如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，若动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是( )
A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm
变式9 步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离OE为80 cm，眼睛到目标的距离OF为200 m，若射击时，由于抖动导致偏离目标25 cm，射击到点D处，已知AB∥FD，则视线偏离准星(即BE的长) mm.
1.(2025)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝2，则AC的长为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图，在△ABC中，DE∥AB，若＝，CD＝6，则AC的长为( )
A.4 B.6　　 C.8 D.10
3.(2025浙江)如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE的长为3，则D'E'的长为( )
A. B.4 C. D.5
4.(2025河北)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为( )
A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
5.(2025绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是( )
A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm
6.若＝2，则＝ .
7.如图，AB∥CD，AC，BD交于点E，若＝，则的值为 .
8.如图，∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝16，AD＝32，求证：∠C＝∠D.
9.(2025河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是 ( )
(第9题)
A.∠B＋∠4＝180° B.CD∥AB C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3
10.(2025宜宾)如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为( )
(第10题)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为 .
12.小强在学习相似时对“直角三角形斜边上作高”这一图形(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决.
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD.
(1)如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB；
(2)在(1)的条件下，若点D为AB的中点，BC＝4，求CD的长；
(3)如图3，点E为CD的中点，连接BE.若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长.第24讲 相似三角形(含位似)
◎2022年版课标要求
①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
②通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比.
③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. *了解相似三角形判定定理的证明.
⑤了解相似三角形的性质定理（这些定理不要求学生证明）：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
◎备考策略
1.掌握基本知识：在教学过程中，要让学生熟练掌握相似三角形的判定方法与性质；
2.引导学生通过已知条件、设问形式，知道用哪种方法判断三角形相似．
◎链接教材
人教：九下P23～P59；华师：九上P48～P76，P80～P81；北师：九上P75～P123.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　相似多边形的概念与性质
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的对应角　①　相等　，对应边　②　成比例　，那么这两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作　③　相似比　
性质 相似多边形的对应角　④　相等　，对应边　⑤　成比例　
例1 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则B'C'的长度x和∠β的大小分别是(　D　)
A.x＝2，β＝78°
B.x＝2，β＝88°
C.x＝4.5，β＝78°
D.x＝4.5，β＝88°
变式1 如图，现将一张A3纸沿它的长边对折(EF为折痕)可以得到两张A4纸，如果A3纸和A4纸的长宽比例是相等的，那么A4纸的长边与短边的比是(　B　)
A. B. C. D.
　考点2　比例线段与平行线分线段成比例
1.比例的基本性质
基本性质 如果＝，那么ad＝bc
合(分)比性质 如果＝，那么＝
等比性质 如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝
2.平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段　⑥　成比例　
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段　⑦　成比例　
3.黄金分割点
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，AC＞BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，黄金比＝≈0.618.
注意：一条线段有两个黄金分割点.
例2 (2025成都)若＝3，则的值为　4　.
例3 (2025乐山)如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为(　B　)
(例3)
A.4 B.6 C.8 D.10
变式3 如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝8，DE＝6，EF＝3，则BC＝　　.
(变式3)
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点.若AB＝4，则AE的长为(　B　)
A.2 B.2－2 C. D.－2
　考点3　相似三角形的性质与判定　 重点
性质 (1)相似三角形的对应角　⑧　相等　，对应边　⑨　成比例　；(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于　⑩相似比　；(3)相似三角形的周长比等于　 　相似比　，面积比等于　 　相似比的平方　
判定方法 (1)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似(仅人教、华师有)；(2)三边　 　成比例　的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角　 　相等　的两个三角形相似；(4)两角分别　 　相等　的两个三角形相似
例5 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，若＝＝，则△ADE的面积与△ABC的面积的比是　　.
变式5 如图，在 ABCD中，延长BA到点E，连接EC交AD于点F，若＝，EA＝1.5，则AB的长是(　B　)
A.4.5 B.3 C.2 D.1
例6 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4.求证：∠AED＝∠B.
证明：∵AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4，
∴＝＝，＝＝.
∴＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
∴∠AED＝∠B.
变式6 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥BD交BC于点E.求证：△CDE∽△CBD.
证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠A＝90°，DE⊥BD，
∴∠CDE＋∠ADB＝90°，∠ABD＋∠ADB＝90°.
∴∠CDE＝∠ABD＝∠CBD.
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBD.
　考点4　图形的位似
概念 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作　 　位似中心　.利用位似可以将图形放大或缩小
性质 (1)位似图形的对应角　 　相等　；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点；(3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上且成比例；(4)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于　 　相似比　；(5)位似图形的周长比等于相似比，面积比等于　 　相似比的平方　
例7 如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是　　(　C　)
A.点M B.点N C.点E D.点F
例8 (2025眉山)如图，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是(　B　)
(例8)
A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4
变式8 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若＝，则点A(－3，1)的对应点A'的坐标为(　A　)
(变式8)
A.(－6，2) B.(6，－2) C.(－2，6) D.(2，－6)
　考点5　相似三角形的实际应用
例9 (2025内江改编)如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，若动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是(　B　)
A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm
变式9 步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离OE为80 cm，眼睛到目标的距离OF为200 m，若射击时，由于抖动导致偏离目标25 cm，射击到点D处，已知AB∥FD，则视线偏离准星(即BE的长)　1　mm.
1.(2025)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝2，则AC的长为 (　C　)
A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图，在△ABC中，DE∥AB，若＝，CD＝6，则AC的长为(　D　)
A.4 B.6　　 C.8 D.10
3.(2025浙江)如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE的长为3，则D'E'的长为(　C　)
A. B.4 C. D.5
4.(2025河北)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为(　C　)
A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
5.(2025绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是(　B　)
A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm
6.若＝2，则＝　　.
7.如图，AB∥CD，AC，BD交于点E，若＝，则的值为　　.
8.如图，∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝16，AD＝32，求证：∠C＝∠D.
证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝16，AD＝32，
∴＝＝，＝＝.
∴＝.
又∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED.
∴∠C＝∠D.
9.(2025河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是 (　D　)
(第9题)
A.∠B＋∠4＝180° B.CD∥AB C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3
10.(2025宜宾)如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为(　C　)
(第10题)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为　　.
12.小强在学习相似时对“直角三角形斜边上作高”这一图形(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决.
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD.
(1)如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB；
(2)在(1)的条件下，若点D为AB的中点，BC＝4，求CD的长；
(3)如图3，点E为CD的中点，连接BE.若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长.
解：(1)证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
∴＝.∴AC2＝AD·AB.
(2)∵点D为AB的中点，
∴设AD＝BD＝m.
由(1)，知AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2.
∴AC＝m.
∴△ACD与△ABC的相似比为＝.
∴＝.
∵BC＝4，∴CD＝2.
(3)如图3，过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，过点C作CY⊥AB于点Y，过点B作BF⊥EC于点F.
∵点E为CD的中点，∴设CE＝DE＝a.
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°.
在Rt△BCY中，CY＝CB＝a.
由勾股定理和等腰三角形的性质，得
BD＝2a.
∵∠DCB＝120°，∴∠FCB＝60°.
∴∠CBF＝30°.
∴CF＝BC.∴CF＝a，BF＝a.
∴EF＝2a.由勾股定理，得BE＝a.
∵CH∥BE，点E为CD的中点，
∴CH＝2BE＝2a，DH＝2BD＝4a，
∠EBD＝∠H.
又∠ACD＝∠EBD，
∴∠ACD＝∠H，△ACD∽△AHC.
∴＝＝＝＝.
又AC＝2，∴AD＝2，AH＝14.
∴DH＝12，即4a＝12.
∴a＝.∴BE＝a＝.

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