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第25讲 锐角三角函数
◎2022年版课标要求
①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值.
②会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
◎备考策略
让学生掌握三角函数定义，通过基础性题目的练习进行巩固。
◎链接教材
人教：九下P60～P74；华师：九上P99～P111；北师：九下P1～P19.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
正弦 sin A＝＝　① 　，sin B＝＝　② 　
余弦 cos A＝＝　③ 　，cos B＝＝　④ 　
正切 tan A＝＝　⑤ 　，tan B＝＝　⑥ 　
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则cos A的值为( )
A. B. C. D.
变式1－1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，AC＝12，则AB的长是 .
变式1－2 如图，点A为∠B边上任意一点，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tan B的值中，错误的是 ( )
A. B. C. D.
变式1－3 如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为( )
A. B. C. D.2
　
考点2　特殊角的三角函数值
示意图
α 30° 45° 60°
sin α ⑦
cos α ⑧ ⑨
tan α ⑩ 1
例2 计算：
(1)2＋tan 45°；
(2)sin245°－cos 30°·tan 60°.
变式2 已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且＋｜tan B－1｜＝0，则∠C＝ .
　考点3　解直角三角形
解直角三角形的常用关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.则：(1)三条边之间的关系：　 　；(2)两锐角之间的关系：　 　；(3)边角之间的关系：sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝
同角三角函数之间的关系：
(1)平方关系：sin2A＋cos2A＝1；
(2)商数关系：＝tan A.
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形.
变式3－1 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，
tan C＝，AB＝6，则BC的长为 .
变式3－2 如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为边AB上的点，将△CAD绕点C逆时针旋转得到△CBE.当AD＝2DB时，求tan∠CEB的值.
1.(2025云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13，BC＝5，则sin A＝( )
A. B. C. D.
2.(2025天津)tan 45°－cos 45°的值等于( )
A.0 B.1 C.1－ D.1－
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cos A的值是( )
A. B.2 C. D.
4.若∠A是锐角三角形ABC的内角，sin A＝，则tan A的值是( )
A. B. C. D.
5.计算：sin 45°－cos 45°＝ .
6.若tan A＝，则锐角∠A＝ °.
7.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.已知A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ .
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，若AC＝3，CD＝2.5，则cos A的值是 .
9.(2025乐山)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2.
(1)求AB的长；
(2)求点C到线段AB的距离.
10.如图，矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D分别在直线l3，l4，l2，l1上.若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝2，则tan α的值为 .
11.若△ABC是直角三角形，AB＝2，tan∠ABC＝，则AC的长为 .
12.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，tan C＝，BD＝3，求线段CD的长.
13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝8，AC＝2，sin∠DAC＝.
(1)求BD的长；
(2)求∠ABD的正切值.第25讲 锐角三角函数
◎2022年版课标要求
①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值.
②会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
◎备考策略
让学生掌握三角函数定义，通过基础性题目的练习进行巩固。
◎链接教材
人教：九下P60～P74；华师：九上P99～P111；北师：九下P1～P19.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
正弦 sin A＝＝　①　　，sin B＝＝　②　　
余弦 cos A＝＝　③　　，cos B＝＝　④　　
正切 tan A＝＝　⑤　　，tan B＝＝　⑥　　
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则cos A的值为(　A　)
A. B. C. D.
变式1－1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，AC＝12，则AB的长是　15　.
变式1－2 如图，点A为∠B边上任意一点，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tan B的值中，错误的是 (　D　)
A. B. C. D.
变式1－3 如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为(　B　)
A. B. C. D.2
　
考点2　特殊角的三角函数值
示意图
α 30° 45° 60°
sin α ⑦　
cos α ⑧　 ⑨　
tan α ⑩　 1 　
例2 计算：
(1)2＋tan 45°；
解：原式＝2×＋1
＝－1＋1
＝.
(2)sin245°－cos 30°·tan 60°.
解：原式＝－×
＝－
＝－1.
变式2 已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且＋｜tan B－1｜＝0，则∠C＝　75°　.
　考点3　解直角三角形
解直角三角形的常用关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.则：(1)三条边之间的关系：　 　a2＋b2＝c2　；(2)两锐角之间的关系：　 　∠A＋∠B＝90°　；(3)边角之间的关系：sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝
同角三角函数之间的关系：
(1)平方关系：sin2A＋cos2A＝1；
(2)商数关系：＝tan A.
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形.
解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，
∴AB＝＝4.
∵tan B＝＝＝，∴∠B＝30°.
∴∠A＝90°－30°＝60°.
变式3－1 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，
tan C＝，AB＝6，则BC的长为　9＋3　.
变式3－2 如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为边AB上的点，将△CAD绕点C逆时针旋转得到△CBE.当AD＝2DB时，求tan∠CEB的值.
解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠ACF＝∠BCF＝45°.
设BD＝a，则AD＝2a.
∴AF＝BF＝CF＝a.
∴DF＝BF－BD＝a.
又△CBE≌△CAD，∴∠CEB＝∠CDA.
∴tan∠CEB＝tan∠CDA＝＝＝3.
1.(2025云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13，BC＝5，则sin A＝(　D　)
A. B. C. D.
2.(2025天津)tan 45°－cos 45°的值等于(　A　)
A.0 B.1 C.1－ D.1－
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cos A的值是(　D　)
A. B.2 C. D.
4.若∠A是锐角三角形ABC的内角，sin A＝，则tan A的值是(　C　)
A. B. C. D.
5.计算：sin 45°－cos 45°＝　0　.
6.若tan A＝，则锐角∠A＝　30　°.
7.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.已知A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝　　.
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，若AC＝3，CD＝2.5，则cos A的值是　　.
9.(2025乐山)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2.
(1)求AB的长；
(2)求点C到线段AB的距离.
解：(1)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，AC＝2，
∴CD＝AC·cos∠ACD＝1，
AD＝AC·sin∠ACD＝.
∵在Rt△ADB中，∠B＝45°，
∴∠DAB＝90°－∠B＝45°＝∠B.
∴BD＝AD＝.
∴AB＝＝.
(2)如图，过点C作CE⊥AB于点E.
∵CD＝1，BD＝，
∴BC＝BD＋CD＝＋1.
∵∠B＝45°，
∴在Rt△BCE中，
CE＝BC·sin B＝.
∴点C到线段AB的距离为.
10.如图，矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D分别在直线l3，l4，l2，l1上.若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝2，则tan α的值为　　.
11.若△ABC是直角三角形，AB＝2，tan∠ABC＝，则AC的长为　2或　.
12.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，tan C＝，BD＝3，求线段CD的长.
解：∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°.
∵tan C＝，
∴＝.
∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA.
∴＝＝＝.
∴BC＝2AB，AB＝2BD.
∴BC＝4BD＝12.
∴CD＝BC－BD＝9.
13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝8，AC＝2，sin∠DAC＝.
(1)求BD的长；
(2)求∠ABD的正切值.
解：(1)∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝90°.
∵在Rt△ADC中，AC＝2，
sin∠DAC＝，
∴CD＝AC·sin∠DAC＝2×＝6.
在Rt△BCD中，BC＝8，CD＝6，
由勾股定理，得BD＝＝＝10.
(2)由(1)，得CD＝6，BD＝10.
∴AD＝＝＝2，
cos∠DBC＝＝＝.
如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E.
∴∠AEB＝∠AED＝90°.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC.
∴cos∠ADE＝cos∠DBC＝.
∵在Rt△AED中，AD＝2，
cos∠ADE＝，
∴DE＝AD·cos∠ADE＝2×＝.
∴AE＝＝＝.
在Rt△AEB中，AE＝，
BE＝BD－DE＝10－＝，
∴tan∠ABD＝＝＝.

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