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2025-2026学年高三下学期第三次质量监测数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知集合 M＝{1，0}，则与集合 M相等的集合为（ ）
A．{（x，y）|x＝1，y＝0} B．
C． D．{x|﹣1＜x＜2，x∈N}
2．抛物线 y＝x2+2x+2的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列{an}中，a2＝2， ，则 a12＝（ ）
A．211 B．212 C．213 D．214
4．甲乙两位高中同学从 6门课中各选 3门课，则这两位同学所选的课中恰有 2门课相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．180种
5．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，O为△ABC内的一点，且∠BCO＝30°，∠CBO＝15°．则∠BAO＝
（ ）
A．65° B．75° C．72.5° D．82.5°
6．已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩 X～N（μ ，σ 21 1 ），乙班成绩 Y～
N（μ2，σ 22 ），其密度曲线如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2且σ1＜σ2 B．μ1＞μ2且σ1＞σ2
1
C．P（X≤70）＝P（Y≥75） D．P（X≥75）＞P（Y≥75）
7．以 A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知 P（A）＝0.35，P（B）
＝0.30，P（A|B）＝0.15，则两个区同时发生停水事件的概率为（ ）
A．0.6 B．0.65 C．0.45 D．0.045
8．设椭圆 的左右焦点分别为 F1，F2，椭圆 E上点 P满足 PF1⊥PF2，直线 PF1
和直线 PF2分别和椭圆 E交于异于点 P的点 A和点 B，若 ，则椭圆 E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．若 ，则实数m的值可以为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
10．已知函数 f（x）＝sin（cosx）+cos（sinx），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在区间 上单调递减
C．π是 f（x）的周期
D．f（x）的最大值为 2
11．已知曲线 C：x2+y2cosα＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 C可能是圆，不可能是直线
B．曲线 C可能是焦点在 y轴上的椭圆
C．当曲线 C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆
D．当曲线 C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12．已知 是夹角为 的单位向量，非零向量 （x，y∈R），则 的最大值为 ．
13．已知曲线 y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线 y＝ax2+（a+4）x+1只有一个公共点，则 a＝ ．
14．如图，圆台形容器内放进半径分别为 2和 4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小
2
球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为 ．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）在锐角△ABC中．内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知 a﹣2ccosB＝c．
（1）求证：B＝2C；
（2）求 的取值范围．
16．（15分）已知点 C到点 A（2，0）的距离与到点 B（﹣2，0）的距离的比为 ．
（1）求点 C的轨迹方程；
（2）当 A、B、C构成三角形时，求△ABC面积的最大值．
17．（15分）在正四棱锥 S﹣ABCD中，O为顶点在底面内的射影，P为侧棱 SD的中点，且 SO＝OD．
（1）画出图形（要求使用作图工具，先用铅笔画图，确认无误后用中性笔描摹，不按要求的不给分），
并证明：平面 PAC⊥平面 SBD；
（2）求直线 BC与平面 PAC所成的角；
（3）若 SO＝2，求三棱锥 A﹣PSC的外接球的体积．
18．（17分）芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业
纷纷加大对芯片的投入力度．国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量
x（单位：亿元，下同）对年销售额 y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近 10年的年研发
资金投入量 xi和年销售额 yi（i＝1，2， ，10）的数据：已知第 1年的研发资金投入量 x1为 2亿元，
每年的年研发资金投入量比上一年增长 4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增
长．公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中 ui ，i＝1，2，…10）；
3
， ， ．
公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量 x为解释变量，年销售额 y为响应变量建立经验回归方程．
已知甲研究团队用函数模型① （a，b为常数，e为随机误差）得到的经验回归
方程为 2.2x﹣12．乙研究团队用函数模型② （α，β为常数，e为随机误差）．
（1）求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程；
（2）现已知第 11年公司投入研发资金 40亿元，公司的年销售收入为 91亿元．根据以上信息，请你对
这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由；
（3）研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量 t，得到响应变量为 u，且年研发资金投入为
t亿元时，年销售额 y服从正态分布 N（u，7.7952），公司为了保证有 97.725%的把握获得年销售额 100
亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到 0.01）
参考公式与数据：
①成对数据（ xi， yi）（ i＝ 1， 2， ， n）的经验回归直线方程为 ，其系数为
， ．②参考数据：假设 X～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，
P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．
③ ．
④ ， ， ， ．
19．（17分）已知函数 f（x）＝ax﹣lnx﹣1．
（1）若 f（x）≥0恒成立，求实数 a的取值范围；
（2）若 x1，x2是函数 f（x）的两个零点，证明：x1x2＞1；
（3）当 m≥2且 m∈N*时，证明：m! ．
4
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D B C D D
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AD AB BD
三．填空题
12．1．
13．0或 2．
14．168π．
四．解答题
15．解：（1）证明：因为 a﹣2ccosB＝c，
所以 sinA＝sinC+2sinCcosB＝sinBcosC+cosBsinC，
所以 sinC＝sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C），
因为 B，C为锐角三角形内角，所以 ， ，
所以 ，所以 C＝B﹣C，即 B＝2C；
（2） ，
由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ．
5
16．解：（1）设点 C（x，y），
因为点 C到点 A（2，0）的距离与到点 B（﹣2，0）的距离的比为 ，
则 ，即 ，
化简整理可得，（x+4）2+y2＝12，
故点 C的轨迹方程为（x+4）2+y2＝12；
（2）由（1）可知，点 C的轨迹是以（﹣4，0）为圆心，半径为 的圆，
又△ABC的边长 AB＝4，
故要使得△ABC的面积最大，即点 C到 AB的距离最大，即点 C的纵坐标的绝对值最大，
由圆的性质可知，圆上的点到 x轴的最大距离为 ，
故△ABC面积的最大值为 ．
17．解：（1）所画图形如图，
证明：在正四棱锥 S﹣ABCD中，由 O为顶点在底面内的射影，得 O是正方形 ABCD中心，
即 AC∩BD＝O，而 AC⊥BD，SO⊥AC，SO∩BD＝O，SO，BD 平面 SBD，
则 AC⊥平面 SBD，又 AC 平面 PAC，
所以平面 PAC⊥平面 SBD；
（2）由（1）知，直线 OB，OC，OS两两垂直，
令 SO＝OD＝2，
以点 O为原点，直线 OB，OC，OS分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，
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则 A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），P（﹣1，0，1），
， ， ，
设平面 PAC的法向量 （a，b，c），
于是 ，
令 a＝1，得 （1，0，1），
设直线 BC与平面 PAC所成的角为θ，
则 ，故 ，
所以直线 BC与平面 PAC所成的角为 ；
（3）由（2）设三棱锥 A﹣PSC的外接球球心 O′（x，y，z），
由|O′A|＝|O′C|＝|O′P|＝|O′S|，
得 ，
解得 x＝1，y＝0，z＝0，
即三棱锥 A﹣PSC的外接球球心 O′（1，0，0），
球半径 ，
所以三棱锥 A﹣PSC的外接球体积 ．
18．解：（1）已知 xi是首项为 2、公差为 4的等差数列， ，
先计算 由等差数列前 n项和公式， ，
故 ，对于模型 y＝αx2+β+e，
令 u＝x2，转化为线性回归 y＝αu+β+e．
根 据 线 性 回 归 系 数 公 式 ： ，
7
，
因此，乙团队回归方程为 ；
（2）甲团队（线性模型）：当 x＝40时，f甲＝2.2×40﹣12＝76，残差|91﹣76|＝15；
乙团队（非线性模型）：当 x＝40时， ，残差|91﹣92.96|＝1.96，
因为乙团队模型预测值与实际值的残差更小，
所以乙团队的模型更优，能更好地拟合数据，反映年研发资金投入量与年销售额的关系；
（3）已知 y～N（u，7.7952），要保证 97.725%把握（对应μ﹣2σ分位数），
需μ﹣2σ≥100．代入乙模型μ＝0.057x2+1.6，σ＝7.795，
得：0.057x2+1.6﹣2×7.795≥100解得 x2≥1996.32，即 （亿元）．
19．解：（1）由 f（x）≥0恒成立，有 恒成立，令 ，有 ，
解不等式 g（x）＞0可得 0＜x＜1，可得函数 g（x）的增区间为（0，1），减区间为 （1，+∞），
可得 g（x）的最大值为 g（1）＝1，若函数 f（x）≥0恒成立，可得实数 a的取值范围为[1，+∞）；
（2）证明：不妨设 x2＞x1＞0设 x2＝tx1（t＞1）由 f（x1）＝f（x2）＝0，
有 ax1＝lnx1+1，ax2＝lnx2+1两式相除，
有 ，有 ，
有 t（lnx1+1）＝lnt+lnx1+1，可得 ，
可得 ln（x1x2）＝lnx1+lnx2＝lnx1+lntx1
．
要证 x1x2＞1，只需证 ，只需证 ，
令 h（x） ，
有 ，可得函数 h（x）单调递增，
有 ，故有 x1x2＞1；
（3）证明：由（1），取 a＝1，有 x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当 x＝1时取等号），
取 x （其中 t∈N），有 ，
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有 ，又由 4t2+4t+1＞4t2+4t，有（2t+1）2＞4t（t+1），
有 ，有 ，
有 ，有 ，
可得 ，
有 ，
有 ，
有 当 m≥2且 m∈N*时，可得 ．
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