资源简介

第26讲 解直角三角形的应用
◎2022年版课标要求
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
◎备考策略
1. 命题素材：几何测量问题必须保证命题素材“情景的真实性”，实物模型尽量选择学生能接触到的；
2. 日常教学：老师在教学中既要注重福建已经考查过的类型，还要关注项目性学习的考查，带领学生自主探究测量方案，动手制作测角仪，走出课堂，让学生亲身体验实地测量活动，感受数学来源于生活；还要注重学科融合题目的练习，培养学生的综合运用能力。
◎链接教材
人教：九下P74～P85；华师：九上P111～P124；北师：九下P19～P27.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　仰角、俯角
如图，在视线与水平线所夹的锐角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角
例1 (2025成都)在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60 m到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00，≈1.73)
变式1 (2025遂宁)在综合实践活动中，为了测得摩天轮(如图)的高度CF，在A处用高为1.6 m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30 m至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°.求摩天轮CF的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)
　考点2　坡度、坡角
如图，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫作坡角，i＝tan α＝
例2 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为1∶3，堤高BC＝6 m，则坡面AB的长度是( )
(例2)
A.8 m B.18 m C.2 m D.6 m
变式2 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上方C处，当运动员到达地面点B时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1∶且长为300 m，无人机飞行距离CD为60 m，则无人机离地面高度BD的长约为 m.(参考数据：≈1.7)
(变式2)
　考点3　方位角
如图，指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方位角
例3 如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，已知码头A与小岛C的距离是20 n mile，则码头B与小岛C的距离是 n mile.(结果保留根号)
　考点4　其他问题
例4 一把圆规的平面示意图如图所示.已知OA＝OB＝m，夹角∠AOB＝2α，则圆规画出的圆的半径AB长是( )
(例4)
A.2msin α B.2mtan α C.msin 2α D.mtan 2α
变式4 小媛研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率n＝(i为入射角，r为折射角).如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，若i＝30°，AB＝20 cm，BC＝5 cm，则该玻璃透镜的折射率n为( )
(变式4)
A.2 B.1.6 C.1.5 D.1.4
1.(2025长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为( )
A.(m－n)sin α m B. m C.(m－n)cos α m D. m
2.(2025浙江)无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500 m，从点A观测点P的仰角为α，cos α＝0.98，则A处到B处的距离为 m.
3.(2025眉山)人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是 m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
(第3题)
4.(2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为 m.(结果保留根号)
(第4题)
5.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是 .
6.(2025广元)为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔.该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成(如图1).小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量(如图2)：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角∠ACD＝74°，最低点B的仰角∠BCD＝73°，点E到塔底中心O的距离OE为15 m.求五角星高度AB大约是多少米.(结果保留整数，参考数据：tan 74°≈3.49，tan 73°≈3.27)
7.(2025凉山州)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3 m，∠BOM＝18.17°.(参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1 m)
(1)求直吊臂OB的长；
(2)如图2，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？
8.(2025广安模拟)如图，小明为了测量小湖对岸大树BC的高度，先在点A处(点G，A，C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为45°，然后沿着坡度i＝1∶的斜坡AE走6 m到达斜坡上的点D处，此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A，B，C，D，E，G在同一平面内.
(1)求点D到AG的距离；
(2)求大树BC的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，≈1.73，≈1.41)第26讲 解直角三角形的应用
◎2022年版课标要求
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
◎备考策略
1. 命题素材：几何测量问题必须保证命题素材“情景的真实性”，实物模型尽量选择学生能接触到的；
2. 日常教学：老师在教学中既要注重福建已经考查过的类型，还要关注项目性学习的考查，带领学生自主探究测量方案，动手制作测角仪，走出课堂，让学生亲身体验实地测量活动，感受数学来源于生活；还要注重学科融合题目的练习，培养学生的综合运用能力。
◎链接教材
人教：九下P74～P85；华师：九上P111～P124；北师：九下P19～P27.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　仰角、俯角
如图，在视线与水平线所夹的锐角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角
例1 (2025成都)在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60 m到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00，≈1.73)
解：由题意，得∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60.
在Rt△ACD中，AC＝CD·tan 63.4°≈120；
在Rt△ABC中，AB＝≈120≈207.6.
答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6 m.
变式1 (2025遂宁)在综合实践活动中，为了测得摩天轮(如图)的高度CF，在A处用高为1.6 m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30 m至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°.求摩天轮CF的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)
解：如图，延长DE交CF于点H，则有EH⊥CF.
∵∠EHF＝∠EBA＝∠BFC＝90°，
∴四边形EBFH是矩形.
同理，四边形DEBA，DAFH都是矩形.
∴ED＝AB＝30 m，HF＝AD＝1.6.
设CH＝r.∴DH＝EH＋ED＝EH＋30.
在Rt△CDH中，
tan∠CDH＝，即tan 37°＝.
∴(30＋EH)×0.75＝r.
整理，得EH＝r－30.
在Rt△CEH中，tan∠CEH＝，即
tan 50°＝.∴1.19＝.
整理，得EH＝.∴＝r－30.
解得r≈60.85.
则CF＝CH＋HF＝60.85＋1.6≈62.5 (m).
　考点2　坡度、坡角
如图，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫作坡角，i＝tan α＝　　
例2 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为1∶3，堤高BC＝6 m，则坡面AB的长度是(　D　)
(例2)
A.8 m B.18 m C.2 m D.6 m
变式2 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上方C处，当运动员到达地面点B时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1∶且长为300 m，无人机飞行距离CD为60 m，则无人机离地面高度BD的长约为　345　m.(参考数据：≈1.7)
(变式2)
　考点3　方位角
如图，指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方位角
例3 如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，已知码头A与小岛C的距离是20 n mile，则码头B与小岛C的距离是　20　n mile.(结果保留根号)
　考点4　其他问题
例4 一把圆规的平面示意图如图所示.已知OA＝OB＝m，夹角∠AOB＝2α，则圆规画出的圆的半径AB长是(　A　)
(例4)
A.2msin α B.2mtan α C.msin 2α D.mtan 2α
变式4 小媛研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率n＝(i为入射角，r为折射角).如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，若i＝30°，AB＝20 cm，BC＝5 cm，则该玻璃透镜的折射率n为(　A　)
(变式4)
A.2 B.1.6 C.1.5 D.1.4
1.(2025长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为(　B　)
A.(m－n)sin α m B. m C.(m－n)cos α m D. m
2.(2025浙江)无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500 m，从点A观测点P的仰角为α，cos α＝0.98，则A处到B处的距离为　490　m.
3.(2025眉山)人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　1.8　m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
(第3题)
4.(2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为　120　m.(结果保留根号)
(第4题)
5.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是　15 m　.
6.(2025广元)为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔.该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成(如图1).小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量(如图2)：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角∠ACD＝74°，最低点B的仰角∠BCD＝73°，点E到塔底中心O的距离OE为15 m.求五角星高度AB大约是多少米.(结果保留整数，参考数据：tan 74°≈3.49，tan 73°≈3.27)
解：如图，设射线CD与OA相交于点F.
由题意可知，
CD⊥OA，CD⊥CE，OE⊥CE，OE＝15，
∴四边形OECF为矩形.
∴CF＝OE＝15.
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ACD＝74°.
∵tan∠ACF＝，
∴AF＝CF·tan 74°≈15×3.49＝52.35.
在Rt△BCF中，∠BCF＝∠BCD＝73°.
∵tan∠BCF＝，
∴BF＝CF·tan 73°≈15×3.27＝49.05.
∵点A，B在同一直线OA上，
∴AB＝AF－BF≈52.35－49.05＝3.3≈3.
答：五角星高度AB大约是3 m.
7.(2025凉山州)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3 m，∠BOM＝18.17°.(参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1 m)
(1)求直吊臂OB的长；
(2)如图2，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？
解：(1)由题意，得BM⊥OM.
∵∠BOM＝18.17°，BM＝3，
∴在Rt△BOM中，
OB＝≈≈10.
答：直吊臂OB的长约为10 m.
(2)如图2，延长BM交水平线于点F.
则∠BFO＝90°.
在Rt△BOF中，
BF＝OB·cos∠OBF≈10×0.81＝8.1，
∴MF＝BF－BM＝8.1－3＝5.1≈5.
答：货物M上升了约5 m.
8.(2025广安模拟)如图，小明为了测量小湖对岸大树BC的高度，先在点A处(点G，A，C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为45°，然后沿着坡度i＝1∶的斜坡AE走6 m到达斜坡上的点D处，此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A，B，C，D，E，G在同一平面内.
(1)求点D到AG的距离；
(2)求大树BC的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，≈1.73，≈1.41)
解：(1)如图，过点D作DF⊥AG于点F.
在Rt△AFD中，＝，AD＝6.
设DF＝x，则AF＝x.
由题意，得DF2＋AF2＝AD2，
即x2＋(x)2＝62，解得x＝3(负值舍去).
答：点D到AG的距离为3 m.
(2)如图，过点D作DH⊥BC于点H.
由题知，四边形DFCH是矩形，
∴CH＝DF＝3.
设BC＝y，则BH＝BC－CH＝y－3.
在Rt△ACB中，
∵∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝y.
在Rt△AFD中，AF＝DF＝3，
∴DH＝FC＝AC＋AF＝y＋3.
在Rt△BHD中，
tan∠BDH＝tan 31°＝，
∴≈0.60，
解得y≈≈15.3.
答：大树BC的高度约为15.3 m.

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