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第27讲 平行四边形
◎2022年版课标要求
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
②探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
◎备考策略
对于平行四边形的性质和判定，要通过练习进行巩固，建议老师通过练习边、角、对角线、面积等的相应习题，加强学生的应变能力。
◎链接教材
人教：八下P40～P51；华师：八下P71～P96；北师：八下P134～P149.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　平行四边形的概念与性质
概念 两组对边分别① 　的四边形叫作平行四边形
性质 (1)边：两组对边分别平行且　② 　；(2)角：两组对角分别　③ 　，邻角互补；(3)对角线：两条对角线　④ 　；(4)对称性：平行四边形是　⑤ 　对称图形，但不是　⑥ 　对称图形
例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F.
(1)若∠ABC∶∠BAD＝1∶2，则∠BCD的度数为 ；
(2)若AC＋BD＝16，△BCO的周长为14，则AD的长为 ；
(3)若 ABCD的周长是20，△ABO的周长比△BCO的周长大2，则AB的长为 ；
(4)若AD＝6，点E是AB的中点，则OE＝ ；
(5)若以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的坐标为(5，0)，点D的坐标为(8，4)，则点A的坐标为 ；
(6)求证：OE＝OF.
变式1－1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E.若AE＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为( )
A.4 B.4 C.8 D.4
变式1－2 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.若图中阴影部分的面积为3 cm2，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为 cm.
变式1－3 (2025宜宾)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
利用平行四边形的性质判定三角形全等，从而得到两条线段相等.
例2 如图，在 ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为 .
(例2)
(变式2)
变式2 如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线相交于边BC上一点E.若AB＝5，DE＝8，则AE的长为 .
平行四边形＋角平分线→等腰三角形
考点2　平行四边形的判定
边 (1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别　⑦ 　的四边形是平行四边形；(3)一组对边　⑧ 　的四边形是平行四边形
角 两组对角分别　⑨ 　的四边形是平行四边形
对角线 两条对角线　⑩ 　的四边形是平行四边形
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD＝BC B.AB∥DC C.∠A＝∠C D.AB＝DC
变式3－1 如图，在四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点.
(1)若AD＝BC，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD为平行四边形；
(2)在(1)的条件下，若AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形.
变式3－2 (2025自贡模拟)如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BE＝DF，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定思路：
(1)已知一组对边相等这组对边平行或另一组对边相等；
(2)已知一组对边平行这组对边相等或另一组对边平行；
(3)已知一组对角相等另一组对角相等；
(4)已知一条对角线的中点对角线互相平分.
1.(2025)如图，小红想将一张矩形纸片沿AD，BC剪下后得到一个 ABCD，若∠1＝70°，则∠2的度数是( )
(第1题)
A.20° B.70° C.80° D.110°
2.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
(第2题)
A.AB＝BC B.AD＝BC C.OA＝OB D.AC⊥BD
3.(2025广元)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是( )
(第3题)
A.1 B. C.2 D.4
4.(2025广东省卷)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( )
(第4题)
A.20° B.40° C.70° D.110°
5.如图，在 ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶FE＝( )
A.4∶3 B.3∶1 C.2∶1 D.3∶2
6.(2025湖北省卷)如图， ABCD的对角线交点在原点.若A(－1，2)，则点C的坐标是( )
A.(2，－1) B.(－2，1) C.(1，－2) D.(－1，－2)
7.在 ABCD中，如果∠A＝2∠B，那么∠D的度数是 .
8.如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝10，则△BOC的周长为 .
(第8题)
9.如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3.若BA平分∠EBC，则DE＝ .
(第9题)
10.如图，在 ABCD中，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且AE＝DF.求证：BE＝CF.
11.(2025苏州节选)如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE，连接DE.若AB＝16，求DE的长.
12.(2025安徽)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是( )
(第12题)
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
13.如图，在 ABCD中，点E在边BC上，且ED平分∠AEC.若∠DAE＝30°，AE＝8，则 ABCD的面积为( )
(第13题)
A.8 B.16 C.16 D.32
14.(2025山东省卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是 .
15.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接DE，交CF于点G，若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积.第27讲 平行四边形
◎2022年版课标要求
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
②探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
◎备考策略
对于平行四边形的性质和判定，要通过练习进行巩固，建议老师通过练习边、角、对角线、面积等的相应习题，加强学生的应变能力。
◎链接教材
人教：八下P40～P51；华师：八下P71～P96；北师：八下P134～P149.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　平行四边形的概念与性质
概念 两组对边分别①　平行　的四边形叫作平行四边形
性质 (1)边：两组对边分别平行且　②　相等　；(2)角：两组对角分别　③　相等　，邻角互补；(3)对角线：两条对角线　④　互相平分　；(4)对称性：平行四边形是　⑤　中心　对称图形，但不是　⑥　轴　对称图形
例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F.
(1)若∠ABC∶∠BAD＝1∶2，则∠BCD的度数为　120°　；
(2)若AC＋BD＝16，△BCO的周长为14，则AD的长为　6　；
(3)若 ABCD的周长是20，△ABO的周长比△BCO的周长大2，则AB的长为　6　；
(4)若AD＝6，点E是AB的中点，则OE＝　3　；
(5)若以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的坐标为(5，0)，点D的坐标为(8，4)，则点A的坐标为　(3，4)　；
(6)求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE＝OF.
变式1－1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E.若AE＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为(　D　)
A.4 B.4 C.8 D.4
变式1－2 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.若图中阴影部分的面积为3 cm2，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为　3　cm.
变式1－3 (2025宜宾)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，BC∥AD.
∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.
∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点，
∴CE＝DE.∴△FCE≌△ADE(AAS).
∴CF＝AD＝5.∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.
利用平行四边形的性质判定三角形全等，从而得到两条线段相等.
例2 如图，在 ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为　3　.
(例2)
(变式2)
变式2 如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线相交于边BC上一点E.若AB＝5，DE＝8，则AE的长为　6　.
平行四边形＋角平分线→等腰三角形
考点2　平行四边形的判定
边 (1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别　⑦　相等　的四边形是平行四边形；(3)一组对边　⑧　平行且相等　的四边形是平行四边形
角 两组对角分别　⑨　相等　的四边形是平行四边形
对角线 两条对角线　⑩　互相平分　的四边形是平行四边形
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　D　)
A.AD＝BC B.AB∥DC C.∠A＝∠C D.AB＝DC
变式3－1 如图，在四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点.
(1)若AD＝BC，请添加一个条件：　AD∥BC　，使得四边形ABCD为平行四边形；
(2)在(1)的条件下，若AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
∴四边形EBFD是平行四边形.
变式3－2 (2025自贡模拟)如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BE＝DF，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(SAS).
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定思路：
(1)已知一组对边相等这组对边平行或另一组对边相等；
(2)已知一组对边平行这组对边相等或另一组对边平行；
(3)已知一组对角相等另一组对角相等；
(4)已知一条对角线的中点对角线互相平分.
1.(2025)如图，小红想将一张矩形纸片沿AD，BC剪下后得到一个 ABCD，若∠1＝70°，则∠2的度数是(　B　)
(第1题)
A.20° B.70° C.80° D.110°
2.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　B　)
(第2题)
A.AB＝BC B.AD＝BC C.OA＝OB D.AC⊥BD
3.(2025广元)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是(　C　)
(第3题)
A.1 B. C.2 D.4
4.(2025广东省卷)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　C　)
(第4题)
A.20° B.40° C.70° D.110°
5.如图，在 ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶FE＝(　D　)
A.4∶3 B.3∶1 C.2∶1 D.3∶2
6.(2025湖北省卷)如图， ABCD的对角线交点在原点.若A(－1，2)，则点C的坐标是(　C　)
A.(2，－1) B.(－2，1) C.(1，－2) D.(－1，－2)
7.在 ABCD中，如果∠A＝2∠B，那么∠D的度数是　60°　.
8.如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝10，则△BOC的周长为　8　.
(第8题)
9.如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3.若BA平分∠EBC，则DE＝　5　.
(第9题)
10.如图，在 ABCD中，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且AE＝DF.求证：BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝DF，
∴AE＋DE＝DF＋DE，即AD＝EF.
∴BC＝EF.
又BC∥EF，
∴四边形BCFE是平行四边形.
∴BE＝CF.
11.(2025苏州节选)如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE，连接DE.若AB＝16，求DE的长.
解：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝CB＝AB＝8.
∵CD∥BE，
∴∠DCA＝∠B.
在△DAC和△ECB中，
∴△DAC≌△ECB(ASA).∴CD＝BE.
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形.
∴DE＝CB＝8.
12.(2025安徽)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　C　)
(第12题)
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
13.如图，在 ABCD中，点E在边BC上，且ED平分∠AEC.若∠DAE＝30°，AE＝8，则 ABCD的面积为(　D　)
(第13题)
A.8 B.16 C.16 D.32
14.(2025山东省卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是　　.
15.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接DE，交CF于点G，若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，
AD∥BC.
∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，
∠BCF＝∠DCF＝∠BCD.
∴∠DAE＝∠BCF.
∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠BCF.
∴∠DAE＝∠DFC.∴AE∥FC.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)，得∠DFC＝∠BCF，∠BCF＝∠DCF＝∠BCD.∴∠DFC＝∠DCF.
∴DC＝DF.
∵∠ADC＝60°，∴△DFC是等边三角形.
∴∠DFC＝60°.
∵DF＝2AF＝2，
∴DF＝DC＝CF＝2，CE＝AF＝1.
∵AD∥BC，∴△DFG∽△ECG.
∴＝＝＝2.∴FG＝CF＝.
如图，过点G作GH⊥DF于点H.
在Rt△FGH中，∠GFH＝60°，FG＝，
∴GH＝FG·sin 60°＝.
∴S△GDF＝DF·GH＝×2×＝.

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