资源简介

第28讲 矩形与菱形
◎2022年版课标要求
①探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.
②探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
◎备考策略
注重基本图形的应用，对于矩形的边、角、对角线的性质及矩形判定要记牢，通过习题加深巩固。
◎链接教材
人教：八下P52～P58；华师：八下P98～P119；北师：九上P2～P19.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　矩形的概念、性质与判定 重点
概念 有一个角是　①　直角　的平行四边形是矩形
性质 (1)边：对边　②　平行且相等　；(2)角：四个角都是　③　直角　；(3)对角线：对角线　④　相等且互相平分　；(4)对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形
判定 (1)有一个角是　⑤　直角　的平行四边形是矩形；(2)对角线　⑥　相等　的平行四边形是矩形；(3)有三个角是　⑦　直角　的四边形是矩形
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为(　A　)
A.6 cm B.3 cm C.6 cm D.3 cm
变式1 如图，点P为矩形ABCD内一点，PB＝PC，求证：PA＝PD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.
∵∠ABP＝90°－∠PBC，∠DCP＝90°－∠PCB，
∴∠ABP＝∠DCP.
∵AB＝DC，PB＝PC，
∴△ABP≌△DCP(SAS).
∴PA＝PD.
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的为(　D　)
A.AB⊥BC 　　　B.AC＝BD
C.∠BAD＋∠BCD＝180° 　　　D.CD＝AD
变式2 如图，在 AEFD中，C是EF边上一点，点B在FE的延长线上，且CF＝BE，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝EF.
∵CF＝BE，
∴BE＋EC＝EC＋CF，即
BC＝EF＝AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
考点2　菱形的概念、性质与判定 重点
概念 有一组邻边　⑧　相等　的平行四边形是菱形
性质 (1)边：对边平行，四条边都　⑨　相等　；(2)角：对角　⑩　相等　；(3)对角线：两条对角线互相　 　垂直平分　，且每条对角线　 　平分　一组对角(仅人教有)；(4)对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形
判定 (1)有一组邻边　 　相等　的平行四边形是菱形；(2)对角线　 　互相垂直　的平行四边形是菱形；(3)四条边都　 　相等　的四边形是菱形
面积 S＝底×高＝×两条对角线的乘积
例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是(　C　)
A.AB＝5 B.OE＝
C.菱形的面积为48 D.点A到BC的距离为
变式3－1 菱形ABCD的边长为4，有一个内角为60°，则较长的对角线的长为(　A　)
A.4 B.4 C.2 D.2
变式3－2 (2025泸州)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵AE＝CF，
∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF.
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE(SAS).∴AF＝CE.
例4 (2024攀枝花)如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD.若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为(　B　)
A.① B.② C.③ D.④
变式4 (2025遂宁)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
解：(1)证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE.
∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)四边形AECF是菱形.理由如下：
如图.
∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，AF＝CE，∠AFB＝∠CED.
∴AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形.
在Rt△ABF中，∵∠ABD＝30°，∴AF＝BF.
在Rt△DCE中，
∵EF＝DF，∴CF＝DE.
∵BF＝DE，∴AF＝CF.
∴四边形AECF是菱形.
1.(2025泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(　A　)
A.对角线相等　 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
2.如图，在菱形ABCD中，∠D＝132°，则∠1的度数为(　D　)
(第2题)
A.132° B.66° C.48° D.24°
3.(2025德阳)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　D　)
(第3题)
A.AB∥CD B.AB＝BC C.∠B＝∠D D.AC＝BD
4.(2025湖南省卷)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　C　)
(第4题)
A.6 B.9 C.12 D.18
5.(2025南充)如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是(　B　)
(第5题)
A.12 B.8 C.16 D.12
6.(2025青海省卷)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为　12　.
7.(2025北京改编)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
(1)求证：四边形DFCG是矩形；
(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC的长.
解：(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，即DG∥CF.
∵DG＝FC，
∴四边形DFCG是平行四边形.
又DF⊥BC，∴四边形DFCG是矩形.
(2)∵DG＝5，∴CF＝DG＝5.
∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°.
在Rt△BDF中，∠B＝45°，DF＝3，
∴BF＝DF＝3.
∴BC＝BF＋CF＝8.
8.(2025辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE.若AB＝3，AE＝4，则CE的长为(　D　)
(第8题)
A.1 B.5 C.2 D.
9.(2025凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为　5　.
(第9题)
10.如图，将△ABC沿AC翻折得到△ADC，AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接BD.若DE＝4，AB＝5，求BD的长.
解：(1)证明：由翻折，得AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC.
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠BAC＝∠ACB.∴AB＝BC.
∴AB＝BC＝AD＝CD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴DC＝BC＝AB＝5.
∵DE⊥BC，DE＝4，
在Rt△CDE中，CE＝＝3.
∴BE＝BC＋CE＝8.
∴在Rt△BDE中，BD＝＝4.
11.(2025扬州)如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠AEO＝∠CFO.
∵对角线AC的垂直平分线是EF，
∴AO＝OC，EA＝EC.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EA＝EC，
∴四边形AFCE是菱形.
(2)如图.
∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2.
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠1＝∠3.
∴∠2＝∠3.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，CD＝AB＝3.
∴△CBA∽△CDE.
∴＝.
∴＝.
∴DE＝.第28讲 矩形与菱形
◎2022年版课标要求
①探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.
②探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
◎备考策略
注重基本图形的应用，对于矩形的边、角、对角线的性质及矩形判定要记牢，通过习题加深巩固。
◎链接教材
人教：八下P52～P58；华师：八下P98～P119；北师：九上P2～P19.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　矩形的概念、性质与判定 重点
概念 有一个角是　① 　的平行四边形是矩形
性质 (1)边：对边　② 　；(2)角：四个角都是　③ 　；(3)对角线：对角线　④ 　；(4)对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形
判定 (1)有一个角是　⑤ 　的平行四边形是矩形；(2)对角线　⑥ 　的平行四边形是矩形；(3)有三个角是　⑦ 　的四边形是矩形
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为( )
A.6 cm B.3 cm C.6 cm D.3 cm
变式1 如图，点P为矩形ABCD内一点，PB＝PC，求证：PA＝PD.
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的为( )
A.AB⊥BC 　　　B.AC＝BD
C.∠BAD＋∠BCD＝180° 　　　D.CD＝AD
变式2 如图，在 AEFD中，C是EF边上一点，点B在FE的延长线上，且CF＝BE，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形.
考点2　菱形的概念、性质与判定 重点
概念 有一组邻边　⑧ 　的平行四边形是菱形
性质 (1)边：对边平行，四条边都　⑨ 　；(2)角：对角　⑩ 　；(3)对角线：两条对角线互相　 　，且每条对角线　 　一组对角(仅人教有)；(4)对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形
判定 (1)有一组邻边　 　的平行四边形是菱形；(2)对角线　 　的平行四边形是菱形；(3)四条边都　 　的四边形是菱形
面积 S＝底×高＝×两条对角线的乘积
例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是( )
A.AB＝5 B.OE＝
C.菱形的面积为48 D.点A到BC的距离为
变式3－1 菱形ABCD的边长为4，有一个内角为60°，则较长的对角线的长为( )
A.4 B.4 C.2 D.2
变式3－2 (2025泸州)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF.求证：AF＝CE.
例4 (2024攀枝花)如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD.若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为( )
A.① B.② C.③ D.④
变式4 (2025遂宁)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
1.(2025泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.对角线相等　 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
2.如图，在菱形ABCD中，∠D＝132°，则∠1的度数为( )
(第2题)
A.132° B.66° C.48° D.24°
3.(2025德阳)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是( )
(第3题)
A.AB∥CD B.AB＝BC C.∠B＝∠D D.AC＝BD
4.(2025湖南省卷)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为( )
(第4题)
A.6 B.9 C.12 D.18
5.(2025南充)如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是( )
(第5题)
A.12 B.8 C.16 D.12
6.(2025青海省卷)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 .
7.(2025北京改编)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
(1)求证：四边形DFCG是矩形；
(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC的长.
8.(2025辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE.若AB＝3，AE＝4，则CE的长为( )
(第8题)
A.1 B.5 C.2 D.
9.(2025凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 .
(第9题)
10.如图，将△ABC沿AC翻折得到△ADC，AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接BD.若DE＝4，AB＝5，求BD的长.
11.(2025扬州)如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长.

展开更多......

收起↑