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第29讲 正方形
◎2022年版课标要求
正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
◎备考策略
对于正方形形的边、角、对角线的性质及正方形判定要记牢，通过习题加深巩固。
◎链接教材
人教：八下P58～P69；华师：八下P119～P128；北师：九上P20～P29.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　正方形的概念、性质与判定
概念 有一组邻边　① 　，并且有一个角是　② 　的平行四边形
性质 (1)边：四条边　③ 　；(2)角：四个角都是　④ 　；(3)对角线：对角线互相　⑤ 　且相等，每条对角线　⑥ 　一组对角；(4)对称性：既是　⑦ 　图形，又是　⑧ 　图形，有4条对称轴
判定
例1 (2025浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
变式1－1 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边BC上，EC＝3.若F，G分别是AE，AD的中点，则FG的长为 .
变式1－2 (2025德阳节选)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E，F处是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条直路AF，BE，AF与BE相交于点O(两个门E，F的大小忽略不计).请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系？说明理由.
例2 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AC＝BD D.BC＝CD
变式2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 .(只填一个条件即可)
考点2　中点四边形
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形.(图示如下)
例3 如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 .
变式3－1 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，顺次连接菱形ABCD各边中点所围成的四边形的面积是( )
A.10 B.12 C.20 D.24
变式3－2 如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)如图1，四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论；
(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足 条件时，四边形EFGH是正方形，证明你的结论.
1.(2025成都)下列命题中，假命题是( )
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
2.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数为( )
(第2题)
A.22.5° B.25° C.20° D.30°
3.如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，则BF的长为( )
(第3题)
A.12 B.13 C.14 D.15
4.若正方形ABCD的面积为4，则它的对角线AC的长为 .
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝5，则AC的长是 .
6.(2025乐山)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是 (只需填一种组合即可).
7.(2025徐州)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点.若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为 .
8.(2025广安)如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形AECF的周长为4，求EF的长.
9.(2025德阳)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝6，那么GH＝( )
(第9题)
A.4 B.5 C.8 D.10
10.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则OE的长为 .
(第10题)
11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长，交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长.
12.已知四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是直线AD上的一点，连接CE，以CE为一边作正方形CEFG，连接BE，GD，直线BE与直线GD交于点H.
(1)如图1，当点E在线段AD上时，探究线段GD与线段BE的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且AE＝9时，连接CH，求CH的长.第29讲 正方形
◎2022年版课标要求
正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
◎备考策略
对于正方形形的边、角、对角线的性质及正方形判定要记牢，通过习题加深巩固。
◎链接教材
人教：八下P58～P69；华师：八下P119～P128；北师：九上P20～P29.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　正方形的概念、性质与判定
概念 有一组邻边　①　相等　，并且有一个角是　②　直角　的平行四边形
性质 (1)边：四条边　③　相等　；(2)角：四个角都是　④　直角　；(3)对角线：对角线互相　⑤　垂直平分　且相等，每条对角线　⑥　平分　一组对角；(4)对称性：既是　⑦　中心对称　图形，又是　⑧　轴对称　图形，有4条对称轴
判定
例1 (2025浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.
又BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，∴∠DEA＝∠DAE.
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°.
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
变式1－1 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边BC上，EC＝3.若F，G分别是AE，AD的中点，则FG的长为　　.
变式1－2 (2025德阳节选)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E，F处是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条直路AF，BE，AF与BE相交于点O(两个门E，F的大小忽略不计).请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系？说明理由.
解：这两条路AF与BE等长，且它们互相垂直.理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝DC，∠BAE＝∠ADF＝90°.
∵DE＝CF，∴AE＝DF.
∴△BAE≌△ADF(SAS).
∴BE＝AF，∠DAF＝∠ABE.
又∠ABE＋∠AEB＝90°，
∴∠DAF＋∠AEB＝90°.
∴∠AOE＝90°.∴AF⊥BE.
∴这两条路AF与BE等长，且它们互相垂直.
例2 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　D　)
A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AC＝BD D.BC＝CD
变式2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是　AC＝BD(答案不唯一)　.(只填一个条件即可)
考点2　中点四边形
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形.(图示如下)
例3 如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为　2　.
变式3－1 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，顺次连接菱形ABCD各边中点所围成的四边形的面积是(　B　)
A.10 B.12 C.20 D.24
变式3－2 如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)如图1，四边形EFGH的形状是　平行四边形　，证明你的结论；
(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足　互相垂直且相等(或AC⊥BD且AC＝BD)　条件时，四边形EFGH是正方形，证明你的结论.
解：(1)证明：如图1，连接BD.
∵点E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
同理，FG∥BD，FG＝BD.
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)证明：如图2，连接AC，BD.
由(1)，可知四边形EFGH是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴EH⊥HG.
∴ EFGH是矩形.
∵AC＝BD，∴EH＝HG.
∴矩形EFGH是正方形.
1.(2025成都)下列命题中，假命题是(　D　)
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
2.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数为(　A　)
(第2题)
A.22.5° B.25° C.20° D.30°
3.如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，则BF的长为(　D　)
(第3题)
A.12 B.13 C.14 D.15
4.若正方形ABCD的面积为4，则它的对角线AC的长为　2　.
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝5，则AC的长是　10　.
6.(2025乐山)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是　①②或①③　(只需填一种组合即可).
7.(2025徐州)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点.若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为　10　.
8.(2025广安)如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形AECF的周长为4，求EF的长.
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)如图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD为正方形，BD＝10，
∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝BD＝5.
∴AF＝CF，AE＝CE.
由(1)，知△ADE≌△CBF.
∴AE＝CF.∴AF＝CF＝AE＝CE.
∵四边形AECF的周长为4，
∴AF＝×4＝.
在Rt△AOF中，OF＝＝3，
∴BF＝DE＝OB－OF＝5－3＝2.
∴EF＝BD－BF－DE＝6.
9.(2025德阳)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝6，那么GH＝(　B　)
(第9题)
A.4 B.5 C.8 D.10
10.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则OE的长为　　.
(第10题)
11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长，交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.
∵AE＝ED，DF＝DC，
∴＝＝.∴△ABE∽△DEF.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC.∴△DEF∽△CGF.
∴＝.
∵正方形的边长为4，DF＝DC，AE＝ED，
∴DF＝1，CF＝4－1＝3，AE＝ED＝2.
∴＝.∴CG＝6.
∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10.
12.已知四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是直线AD上的一点，连接CE，以CE为一边作正方形CEFG，连接BE，GD，直线BE与直线GD交于点H.
(1)如图1，当点E在线段AD上时，探究线段GD与线段BE的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且AE＝9时，连接CH，求CH的长.
解：(1)GD＝BE，GD⊥BE.理由如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG是正方形，
∴CB＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝∠ADC＝90°.
∴∠BCD－∠DCE＝∠ECG－∠DCE.
∴∠BCE＝∠DCG.
∴△BCE≌△DCG(SAS).
∴GD＝BE，∠EBC＝∠GDC.
∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠HED.
又∠GDC＋∠HDE＝180°－∠ADC＝90°，
∴∠HDE＋∠HED＝90°.
∴∠H＝90°，即GD⊥BE.
(2)由(1)可知，△BCE≌△DCG，DG＝BE，DG⊥BE，则S△BCE＝S△DCG.
如图2，过点C作CP⊥BE于点P，CQ⊥DG于点Q.
∵S△BCE＝BE·CP，
S△DCG＝DG·CQ，∴CP＝CQ.
∴CH平分∠BHG.∴∠CHP＝∠CHQ＝45°.
∴△CPH为等腰直角三角形.∴CP＝PH.
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝6，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°.
∵AE＝9，∴DE＝3.
∴BE＝＝3.
∵S△BCE＝BE·CP＝BC·CD，
∴CP＝＝＝.
∴CH＝＝CP＝.

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