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第30讲　圆的有关概念及性质
◎2022年版课标要求
①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系.
②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧(2022年版课标调整为考查内容).
③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等（新增）.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
◎备考策略
1. 去固化复习：教学时要注重学生对知识点的理解，不能聚焦到某一个题型上；
2. 注意圆中特殊图形：复习时，注意引导学生发现圆中一些特殊三角形及特殊四边形产生的特殊角；
3. 关注角度转化：圆周角定理及其推论经常应用于圆中等角代换，同弧所对圆周角相等，可以发现转化等角；圆心角与圆周角关系，可以发现2倍角；直径所对圆周角是直角，可以发现直角以及转化互余的角。
◎链接教材
人教：九上P79～P91；华师：九下P36～P46；北师：九下P65～P88.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　圆的有关概念
圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.固定的端点O叫作　①　圆心　，线段OA叫作　②　半径　；圆的位置由圆心O确定，大小由半径r确定.圆可以看作所有到　③　定点O　的距离等于　④　定长r　的点的集合
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径.　⑤　直径　是圆内最长的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作　⑥　半圆　.　⑦　大于　半圆的弧叫优弧，　⑧　小于　半圆的弧叫劣弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧
等圆 能够重合的两个圆是等圆
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.
证明：如图，取AB的中点O，连接OC.
∵∠C＝90°，
∴在Rt△ABC中，
OC＝OA＝OB＝AB.
∴A，B，C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上.
常根据圆的定义判定三点共圆.
变式1 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.
证明：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD.
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴OB＝AC，OD＝AC.
∴OB＝OA＝OC＝OD.
∴A，B，C，D四点在同一个圆上.
　考点2　垂径定理及其推论
对称性 (1)圆是　⑨　轴对称　图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；(2)圆又是　⑩　中心对称　图形，圆心是它的对称中心
垂径定理 (1)垂直于弦的直径　 　平分　弦，并且平分弦所对的两条　 　弧　；(2)平分弦(不是直径)的直径　 　垂直于　这条弦，并且平分弦所对的两条　 　弧　
例2 如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD于点E.
(1)若OE＝5，☉O的半径为13，则CD的长为　24　.
(2)若CD＝16，BE＝4，求☉O的半径.
解：∵AB⊥CD，∴CE＝CD＝8.
设CO＝x，
则OE＝OB－BE＝x－4.
在Rt△CEO中，
∵CO2＝CE2＋OE2，
∴x2＝82＋(x－4)2.解得x＝10.
∴☉O的半径为10.
遇到弦长计算或证明时，往往是构造以半径，弦心距和半弦为三边的直角三角形，再利用勾股定理解直角三角形.
变式2 如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　B　)
A.1.25 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.45 m
考点3　弧、弦、圆心角之间的关系
图示
圆心角 顶点在圆心上的角叫作圆心角.如图，∠AOB，∠COD
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧　 　相等　，所对的弦也　 　相等　
结论 如图，在☉O中有三个等量关系：∠AOB＝∠COD，＝，AB＝CD.只要其中一个结论成立，其他两个结论也成立
例3 (2025成都模拟)如图，AB是☉O的直径，C是的三等分点，D是的中点，且位于直径AB的两侧.连接OC，BC，AD，CD，则∠OCD的度数为　15°　.
变式3 如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于(　C　)
A.100° B.110° C.120° D.130°
考点4　圆周角定理及其推论 　重点
圆周角 顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　 　一半　
推论 同弧或等弧所对的圆周角　 　相等　；半圆(或直径)所对的圆周角是　 　直角　；90°的圆周角所对的弦是　 　直径　
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角　 　互补　
例4 (2025泸州)如图，四边形ABCD内接于☉O，BD为☉O的直径.若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝(　B　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
变式4－1 (2025宜宾)如图，已知∠BAC是☉O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝　50　°.
变式4－2 (2025陕西)如图，AB为☉O的直径，＝，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为　66°　.
变式4－3 如图，AB是☉O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交☉O于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数.
解：(1)证明：如图，连接BC.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD.
∵CD＝AC，∴BC垂直平分AD.
∴AB＝BD.∴∠A＝∠D.
∵∠A＝∠E，∴∠D＝∠E.
∴CD＝CE.
(2)如图，连接AE.
∵∠D＝26°，∴∠BAC＝∠D＝26°.
∵∠ABE是△ABD的一个外角，
∴∠ABE＝∠BAC＋∠D＝52°.
∵AB是☉O的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠BAE＝90°－52°＝38°.
作弦(或直径)构造出直径所对的圆周角是常见的辅助线.
例5 如图，在☉O中，∠BOD＝80°，则∠C的度数是　140°　.
变式5－1 (2025平凉)如图，四边形ABCD内接于☉O，＝，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为(　C　)
A.20° B.35° C.55° D.70°
变式5－2 如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，且AD＞BC，以AB为直径的☉O与边DE相切于点E，交AD于点F，连接AE，EF.求证：△DEF∽△DAE.
证明：如图，连接OE，BE.
∵DE与☉O相切于点E，
∴∠OED＝90°.
∴∠AED＋∠OEA＝90°.
∵AB为☉O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠EAB＋∠EBA＝90°.
又OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE.
∴∠AED＝∠EBA.
又A，B，E，F四点共圆，
∴∠AFE＋∠EBA＝180°.
∵∠DFE＋∠AFE＝180°，
∴∠DFE＝∠EBA＝∠AED.
又∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DAE.
1.如图，在☉O中，AB＝CD，则下列结论错误的是(　D　)
(第1题)
A.＝ B.＝ C.AC＝BD D.AD＝BD
2.(2025宜宾)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB＝8，OC＝5，则OD的长是(　A　)
(第2题)
A.3　 B.2　 C.6 D.
3.(2025重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(　B　)
(第3题)
A.40° B.50°　 C.80°　 D.100°
4.(2025青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(　B　)
A.80° B.50° C.40° D.25°
5.如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝　55　°.
6.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ABC＝　120　°.
7.(2025广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，＝.
(1)求证：△BOC≌△DOC；
(2)求∠ABD的度数.
解：(1)证明：∵＝，
∴∠BOC＝∠DOC.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△BOC≌△DOC(SAS).
(2)∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB＝65°.
∴∠BOC＝180°－∠ABC－∠OCB＝50°.
∴∠DOC＝∠BOC＝50°.
∴∠AOD＝180°－∠DOC－∠BOC＝80°.
∴∠ABD＝∠AOD＝40°.
8.(2025山西)如图，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若＝，则∠D的度数为(　B　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
9.(2025广安)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD＝120°，☉O的半径为6，则BD的长为　6　.
10.(2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
解：(1)证明：∵∠AOC＝2∠ABC，
∠DAB＋2∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°.∴OC∥AD.
(2)如图，连接BD，交OC于点E.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵OC∥AD，∴OC⊥BD.
∴点E为BD的中点.
又O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线.
∴OE＝AD＝1.
设半圆的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理，知
OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－1＝－(r－1)2.
解得r1＝3，r2＝－2(舍去).
∴AB＝2r＝6.
11.如图，已知△ABC内接于☉O，点D在☉O上，连接AD，AO，分别交BC于点E，F，连接CD，∠CAD＝∠BAO.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若AO∥CD，求证：CA＝CF.
证明：(1)如图，延长AO交☉O于点M，连接CM.
∵AM为☉O的直径，
∴∠ACM＝90°.
∴∠BCM＋∠ACE＝90°.
∵∠BCM＝∠BAO，
∴∠BAO＋∠ACE＝90°.
∵∠CAD＝∠BAO，
∴∠CAD＋∠ACE＝90°，
即∠AEC＝90°.
∴AD⊥BC.
(2)∵AO∥CD，∴∠FAE＝∠D.
∵∠D＝∠B，∴∠FAE＝∠B.
∵∠CAF＝∠CAE＋∠FAE，
∠AFC＝∠FAB＋∠B，
又∠CAD＝∠BAO，
即∠CAE＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFC.
∴CA＝CF.第30讲　圆的有关概念及性质
◎2022年版课标要求
①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系.
②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧(2022年版课标调整为考查内容).
③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等（新增）.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
◎备考策略
1. 去固化复习：教学时要注重学生对知识点的理解，不能聚焦到某一个题型上；
2. 注意圆中特殊图形：复习时，注意引导学生发现圆中一些特殊三角形及特殊四边形产生的特殊角；
3. 关注角度转化：圆周角定理及其推论经常应用于圆中等角代换，同弧所对圆周角相等，可以发现转化等角；圆心角与圆周角关系，可以发现2倍角；直径所对圆周角是直角，可以发现直角以及转化互余的角。
◎链接教材
人教：九上P79～P91；华师：九下P36～P46；北师：九下P65～P88.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　圆的有关概念
圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.固定的端点O叫作　① 　，线段OA叫作　② 　；圆的位置由圆心O确定，大小由半径r确定.圆可以看作所有到　③ 　的距离等于　④ 　的点的集合
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径.　⑤ 　是圆内最长的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作　⑥ 　.　⑦ 　半圆的弧叫优弧，　⑧ 　半圆的弧叫劣弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧
等圆 能够重合的两个圆是等圆
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.
常根据圆的定义判定三点共圆.
变式1 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.
　考点2　垂径定理及其推论
对称性 (1)圆是　⑨ 　图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；(2)圆又是　⑩ 　图形，圆心是它的对称中心
垂径定理 (1)垂直于弦的直径　 　弦，并且平分弦所对的两条　 　；(2)平分弦(不是直径)的直径　 　这条弦，并且平分弦所对的两条　 　
例2 如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD于点E.
(1)若OE＝5，☉O的半径为13，则CD的长为 .
(2)若CD＝16，BE＝4，求☉O的半径.
遇到弦长计算或证明时，往往是构造以半径，弦心距和半弦为三边的直角三角形，再利用勾股定理解直角三角形.
变式2 如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为( )
A.1.25 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.45 m
考点3　弧、弦、圆心角之间的关系
图示
圆心角 顶点在圆心上的角叫作圆心角.如图，∠AOB，∠COD
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧　 　，所对的弦也　 　
结论 如图，在☉O中有三个等量关系：∠AOB＝∠COD，＝，AB＝CD.只要其中一个结论成立，其他两个结论也成立
例3 (2025成都模拟)如图，AB是☉O的直径，C是的三等分点，D是的中点，且位于直径AB的两侧.连接OC，BC，AD，CD，则∠OCD的度数为 .
变式3 如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
考点4　圆周角定理及其推论 　重点
圆周角 顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　 　
推论 同弧或等弧所对的圆周角　 　；半圆(或直径)所对的圆周角是　 　；90°的圆周角所对的弦是　 　
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角　 　
例4 (2025泸州)如图，四边形ABCD内接于☉O，BD为☉O的直径.若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
变式4－1 (2025宜宾)如图，已知∠BAC是☉O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝ °.
变式4－2 (2025陕西)如图，AB为☉O的直径，＝，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 .
变式4－3 如图，AB是☉O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交☉O于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数.
作弦(或直径)构造出直径所对的圆周角是常见的辅助线.
例5 如图，在☉O中，∠BOD＝80°，则∠C的度数是 .
变式5－1 (2025平凉)如图，四边形ABCD内接于☉O，＝，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为( )
A.20° B.35° C.55° D.70°
变式5－2 如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，且AD＞BC，以AB为直径的☉O与边DE相切于点E，交AD于点F，连接AE，EF.求证：△DEF∽△DAE.
1.如图，在☉O中，AB＝CD，则下列结论错误的是( )
(第1题)
A.＝ B.＝ C.AC＝BD D.AD＝BD
2.(2025宜宾)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB＝8，OC＝5，则OD的长是( )
(第2题)
A.3　 B.2　 C.6 D.
3.(2025重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是( )
(第3题)
A.40° B.50°　 C.80°　 D.100°
4.(2025青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( )
A.80° B.50° C.40° D.25°
5.如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝ °.
6.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ABC＝ °.
7.(2025广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，＝.
(1)求证：△BOC≌△DOC；
(2)求∠ABD的度数.
8.(2025山西)如图，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若＝，则∠D的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
9.(2025广安)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD＝120°，☉O的半径为6，则BD的长为 .
10.(2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
11.如图，已知△ABC内接于☉O，点D在☉O上，连接AD，AO，分别交BC于点E，F，连接CD，∠CAD＝∠BAO.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若AO∥CD，求证：CA＝CF.

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