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第31讲 与圆有关的位置关系
◎2022年版课标要求
①了解三角形的内心与外心.
②了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念.
③*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等.
◎备考策略
解题方法：在圆的计算中，涉及求角度时，通常结合直角三角形的性质与圆的基本性质通过倒角计算；求线段长时，常用的方法有勾股定理，锐角三角函数，相似等。
◎链接教材
人教：九上P92～P104；华师：九下P46～P58；北师：九下P85～P96.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d.
点的位置 d与r的关系 图示
点在圆外，如点A d　① 　r
点在圆上，如点B d　② 　r
点在圆内，如点C d　③ 　r
例1 已知☉O的半径为6，在☉O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
变式1 如图，如果☉O的半径为5，那么图中到圆心O的距离为7的点可能是( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
考点2　直线与圆的位置关系
设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交
示意图
交点个数 0 1 2
d与r的关系 d　④ 　r d　⑤ 　r d　⑥ 　r
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的☉C与AB的位置关系：
(1)r＝2 cm；(2)r＝2.4 cm；(3)r＝3 cm.
考点3　圆的切线　 重点
定义 直线与圆有唯一一个公共点，称直线与圆相切，公共点叫作切点，直线叫作圆的切线
性质 圆的切线　⑦ 　过切点的半径
判定 经过半径的外端并且　⑧ 　这条半径的直线是圆的切线
*切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长　⑨ 　，这一点和圆心的连线　⑩ 　两条切线的夹角
例3 (2025安徽)如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为 °.
变式3 (2025成都节选)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使＝，连接BE，交AC于点F.求证：BE∥CD.
例4 如图，在☉O中，△ABC内接☉O，连接OB，作∠BAD＝∠C交OB延长线于点D.
求证：AD为☉O的切线.
变式4 (2025资阳)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是☉O的切线；
(2)若∠BAC＝60°，CE＝，求☉O的半径.
证切线有关的辅助线添加方法：有切点连圆心，证垂直；无切点引垂线，证相等.
考点4　三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.(2)经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边的　 　的交点，这个交点叫作三角形的　 　
三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条　 　的交点，这个交点叫作三角形的　 　
例5 如图，若△ABC的内切圆☉O与BC，AB，AC分别相切于点D，E，F，且AB＝AC，BC＝6，则CF的长是 .
变式5－1 如图，若点O是等边三角形ABC的外心，连接AO，BO，则∠AOB的度数为 .
变式5－2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)请用尺规作出Rt△ABC的内切圆；
(2)当AC＝6，BC＝8时，求此内切圆的半径.
1.已知☉O的半径为4，在☉O内取一点P，连接OP，则OP的长可以是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.若半径为5 cm的圆，其圆心到某直线的距离是4 cm，则该直线和圆的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
3.如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上且关于直径AB对称，MN是☉O的切线，切点为B，若∠CBO＝50°，则∠DBN的大小为( )
(第3题)
A.50° 　B.40° 　C.35° 　D.25°
4.如图，AB为☉O的切线，切点为B，AC⊥AB交☉O于点C，连接OC，OB，BC.若BC＝OC＝6，则AC的长为( )
(第4题)
A.2 B.3 C.2 D.3
5.(2025德阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的内切圆的半径r是( )
(第5题)
A.2 B. C.1 D.无法判断
6.(2025龙东地区)如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝ .
(第6题)
7.(2025湖北省卷)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F.过点F作☉O的切线，交CA的延长线于点G.
(1)求证：FD＝FG；
(2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径.
8.(2025自贡)PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，点C在☉O上，不与点A，B重合.若∠P＝80°，则∠ACB的度数为( )
A.50°　 B.100°　 C.130°　 D.50°或130°
9.如图，∠AOB＝90°，P为OA上一点，且OP＝2，以点P为圆心作半径为1的☉P，将☉P绕点O顺时针旋转60°，则旋转后的☉P与射线OB的位置关系是 .(填“相交”“相切”或“相离”)
(第9题)
10.(2025北京)如图，☉O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为 °.
(第10题)
11.(2025成都模拟)如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且C是的中点，连接BD.过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，连接AC，BC，CD.
(1)求证：CE是☉O的切线；
(2)若AC＝3，AB＝5，求CE，DE的长.第31讲 与圆有关的位置关系
◎2022年版课标要求
①了解三角形的内心与外心.
②了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念.
③*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等.
◎备考策略
解题方法：在圆的计算中，涉及求角度时，通常结合直角三角形的性质与圆的基本性质通过倒角计算；求线段长时，常用的方法有勾股定理，锐角三角函数，相似等。
◎链接教材
人教：九上P92～P104；华师：九下P46～P58；北师：九下P85～P96.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d.
点的位置 d与r的关系 图示
点在圆外，如点A d　①　＞　r
点在圆上，如点B d　②　＝　r
点在圆内，如点C d　③　＜　r
例1 已知☉O的半径为6，在☉O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是(　D　)
A.2 B.4 C.6 D.8
变式1 如图，如果☉O的半径为5，那么图中到圆心O的距离为7的点可能是(　D　)
A.点P B.点Q C.点M D.点N
考点2　直线与圆的位置关系
设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交
示意图
交点个数 0 1 2
d与r的关系 d　④　＞　r d　⑤　＝　r d　⑥　＜　r
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的☉C与AB的位置关系：
(1)r＝2 cm；(2)r＝2.4 cm；(3)r＝3 cm.
解：如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
∴AB＝＝＝5.
∵BC·AC＝CD·AB，
∴CD＝2.4 cm.
(1)∵CD＞r，∴☉C与AB相离.
(2)∵CD＝r，∴☉C与AB相切.
(3)∵CD＜r，∴☉C与AB相交.
考点3　圆的切线　 重点
定义 直线与圆有唯一一个公共点，称直线与圆相切，公共点叫作切点，直线叫作圆的切线
性质 圆的切线　⑦　垂直于　过切点的半径
判定 经过半径的外端并且　⑧　垂直于　这条半径的直线是圆的切线
*切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长　⑨　相等　，这一点和圆心的连线　⑩　平分　两条切线的夹角
例3 (2025安徽)如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　20　°.
变式3 (2025成都节选)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使＝，连接BE，交AC于点F.求证：BE∥CD.
证明：如图，连接AE，OC.
∴OA＝OC.
∴∠OAC＝∠OCA.
∵CD为半圆O的切线，
∴OC⊥CD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°.
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠OCA＋∠OCB＝90°.
∴∠OCA＝∠BCD.∴∠CAB＝∠BCD.
∵＝，∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD.
∵∠CAB＝∠EBC，∴∠EBC＝∠BCD.
∴BE∥CD.
例4 如图，在☉O中，△ABC内接☉O，连接OB，作∠BAD＝∠C交OB延长线于点D.
求证：AD为☉O的切线.
证明：如图，连接OA，
则∠AOB＝2∠C.
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝(180°－
∠AOB)＝(180°－2∠C)＝90°－∠C.
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAD＝∠OAB＋∠BAD＝90°－∠C＋∠C＝90°.∴OA⊥AD.
又∵OA为半径，∴AD为☉O切线.
变式4 (2025资阳)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是☉O的切线；
(2)若∠BAC＝60°，CE＝，求☉O的半径.
解：(1)证明：如图，连接OD.
由题，知∠ACB＝90°，OA＝OD.
∴∠OAD＝∠ODA.
∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝90°.
∵∠BAC的平分线交☉O于点D，
∴∠EAD＝∠BAD.
∴∠EAD＝∠ODA.
∴OD∥AE.
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°.
∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.
(2)如图，设OD交BC于点F.
∵∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°.
∵CE∥DF，DE∥CF，∠E＝90°，
∴四边形CEDF为矩形.
∴∠DFC＝90°，DF＝CE＝.∴∠OFB＝90°.
设☉O的半径为r，则OB＝OD＝r，
OF＝OD－DF＝r－.
∵∠OFB＝90°，∠ABC＝30°，∴OB＝2OF.
∴r＝2(r－).∴r＝2.
∴☉O的半径为2.
证切线有关的辅助线添加方法：有切点连圆心，证垂直；无切点引垂线，证相等.
考点4　三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.(2)经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边的　 　垂直平分线　的交点，这个交点叫作三角形的　 　外心　
三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条　 　角平分线　的交点，这个交点叫作三角形的　 　内心　
例5 如图，若△ABC的内切圆☉O与BC，AB，AC分别相切于点D，E，F，且AB＝AC，BC＝6，则CF的长是　3　.
变式5－1 如图，若点O是等边三角形ABC的外心，连接AO，BO，则∠AOB的度数为　120°　.
变式5－2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)请用尺规作出Rt△ABC的内切圆；
(2)当AC＝6，BC＝8时，求此内切圆的半径.
解：(1)如图，☉O即为所作.
(2)设☉O的半径为r.
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10.
如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.
∵☉O为△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝r.
∵S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝S△ABC，
∴r×6＋r×10＋r×8＝×6×8.
解得r＝2.∴☉O的半径为2.
1.已知☉O的半径为4，在☉O内取一点P，连接OP，则OP的长可以是(　A　)
A.2 B.4 C.6 D.8
2.若半径为5 cm的圆，其圆心到某直线的距离是4 cm，则该直线和圆的位置关系为(　B　)
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
3.如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上且关于直径AB对称，MN是☉O的切线，切点为B，若∠CBO＝50°，则∠DBN的大小为(　B　)
(第3题)
A.50° 　B.40° 　C.35° 　D.25°
4.如图，AB为☉O的切线，切点为B，AC⊥AB交☉O于点C，连接OC，OB，BC.若BC＝OC＝6，则AC的长为(　B　)
(第4题)
A.2 B.3 C.2 D.3
5.(2025德阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的内切圆的半径r是(　C　)
(第5题)
A.2 B. C.1 D.无法判断
6.(2025龙东地区)如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　70°　.
(第6题)
7.(2025湖北省卷)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F.过点F作☉O的切线，交CA的延长线于点G.
(1)求证：FD＝FG；
证明：∵DF⊥AB，GF是☉O的切线，即DF⊥GF，
∴AB∥GF.
∴∠BAC＝∠G＝45°.
∴∠FDG＝90°－45°＝45°，
即△DFG是等腰直角三角形.
∴FD＝FG.
(2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径.
解：∵DF⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝6.
∵∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝90°－45°＝45°，
即△ADE是等腰直角三角形.
∴AE＝DE＝6.
由(1)，得FD＝FG＝10，
∴EF＝FD－DE＝10－6＝4.
如图，连接OA.
设OE＝x，则OF＝OE＋EF＝x＋4＝OA，
∵在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，
∴(x＋4)2＝62＋x2.解得x＝.
∴OA＝x＋4＝＋4＝.
∴☉O的半径为.
8.(2025自贡)PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，点C在☉O上，不与点A，B重合.若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　D　)
A.50°　 B.100°　 C.130°　 D.50°或130°
9.如图，∠AOB＝90°，P为OA上一点，且OP＝2，以点P为圆心作半径为1的☉P，将☉P绕点O顺时针旋转60°，则旋转后的☉P与射线OB的位置关系是　相切　.(填“相交”“相切”或“相离”)
(第9题)
10.(2025北京)如图，☉O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为　43　°.
(第10题)
11.(2025成都模拟)如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且C是的中点，连接BD.过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，连接AC，BC，CD.
(1)求证：CE是☉O的切线；
(2)若AC＝3，AB＝5，求CE，DE的长.
解：(1)证明：如图，连接OC，OD.
∵C是的中点，
∴＝.
∴∠AOC＝∠COD.
∵OA＝OC＝OD，
∴∠A＝∠OCA＝∠OCD＝∠ODC.
∵∠CDE＝∠A＝180°－∠BDC，
∴∠CDE＝∠OCD.∴OC∥DE.
∵CE⊥BD，∴∠E＝90°.
∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.
∵OC是☉O的半径，
∴CE是☉O的切线.
(2)∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠E.
∵∠A＝∠CDE，∴△ABC∽△DCE.
∴＝＝.
∵＝，∴CD＝AC＝3.
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝4.
∴＝＝.
∴CE＝，DE＝.

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