资源简介

第32讲 与圆有关的计算
◎2022年版课标要求
①会计算圆的弧长、扇形的面积.
②了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
◎备考策略
在复习过程中熟练掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式，正多边形也要重视，对于不规则阴影图形面积的计算需要从基础图形开始进行专题强化，要重点练习圆与其他结合图形结合的综合解答题。
◎链接教材
人教：九上P105～P125；华师：九下P58～P76；北师：九下P97～P102.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　正多边形与圆
图示
中心 正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心
半径 外接圆的半径叫作正多边形的半径
中心角 正n边形每一边所对的圆心角叫作正n边形的中心角，其中θ＝
边心距 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距，其中r＝
面积 S＝lr＝nar(l为正n边形的周长)
例1 如图，A，B，C，D是一个正多边形相邻的四个顶点，若∠CAD＝15°，则这个多边形的边数为(　D　)
A.8 B.9 C.10 D.12
变式1－1 如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，若☉O的周长是6π，则正六边形的边长是　3　.
变式1－2 如图，五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，直线HG与☉O相切于点B，则∠CBG＝　36　°.
例2 如图，正方形ABCD内接于☉O，P为上的一点，连接DP，CP.
(1)求∠CPD的度数；
(2)当P为的中点时，CP是☉O的内接正n边形的一边，求n的值.
解：(1)如图，连接OD，OC.
∵正方形ABCD内接于☉O，
∴∠DOC＝90°.
∴∠CPD＝∠DOC＝45°.
(2)如图，连接PO，OB.
∵正方形ABCD内接于☉O，∴∠COB＝90°.
∵P为的中点，∴＝.
∴∠COP＝∠COB＝45°.∴n＝360°÷45°＝8.
考点2　弧长、扇形面积计算　 重点
图示
弧长 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝　①　　
扇形面积 (1)若扇形的半径为r，圆心角为n°，则扇形的面积公式为S＝　②　　；(2)若扇形的弧长为l，半径为r，则扇形的面积公式为S＝　③　lr　
例3 (1)如图，在☉O中，∠C＝30°，OA＝2，则的长为　π　.
(2)如图，已知圆心角为90°的扇形AOB的面积为4π，C为上一点，D，E分别为OA，OB上的点，连接CD，CE，DE.若四边形ODCE为矩形，则DE的长是(　C　)
A.2 B.2 C.4 D.2
变式3－1 已知圆弧所对圆心角的度数为80°，弧长为8π，则圆弧的半径为　18　.
变式3－2 现在从一块直径为8 cm的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩(A，B，C在圆上，且∠ABC＝90°)，则这个扇形玉佩的面积是(　B　)
A.4π cm2 B.8π cm2 C.16π cm2 D.16π cm2
例4 (2025成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为　　.
变式4－1 (2025烟台)如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　－8　.
变式4－2 (2025徐州)如图，☉O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB.
(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.
解：(1)直线CD与☉O相切.理由如下：如图，连接OC.
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠ABC
＝60°.
∵O为正三角形ABC的外接圆的圆心，
∴O也是正三角形ABC的内接圆的圆心.
∴OC平分∠ACB.
∴∠OCB＝∠ACB＝30°.
∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝60°.
∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝30°＋60°＝90°.
∵OC是半径，∴直线CD与☉O相切.
(2)如图，连接OB，作OH⊥BC于点H.
∵∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°.
∴S扇形BOC＝＝＝π.
∵OH⊥BC，∠OCB＝30°，
∴OH＝OC＝1，BC＝2CH.
∴CH＝＝＝.
∴BC＝2CH＝2.
∴S△OBC＝BC·OH＝×2×1＝.
∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC＝π－.
考点3　圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个半径为l，弧长等于圆锥底面周长的扇形.圆锥的侧面积＝　④　πrl　
例5 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为　　.
变式5 若一个圆锥的高为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是(　C　)
A.π B.2π C.2π D.4π
1.如图，正八边形内接于☉O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为(　C　)
A.55° B.50° C.45° D.40°
2.圆心角为120°，半径为3的扇形的面积为(　B　)
A.π B.3π C.6π D.9π
3.(2025绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是(　A　)
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
4.(2025广安)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为(　A　)
(第4题)
A. B. C. D.5
5.(2025凉山州)如图，△ABC内接于☉O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2，则的长为　π　.
(第5题)
6.(2025山西改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为　4π－8　.
7.如图，△ABC内接于☉O，直径BD交AC于点E，过点D作☉O的切线，交BC的延长线于点P.已知BE＝BC，∠P＝50°.
(1)求∠ACB的度数；
(2)若BD＝6，求的长.
解：(1)根据题意，得∠BDP＝90°.
∵∠P＝50°，
∴∠DBP＝40°.
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝70°，即∠ACB＝70°.
(2)如图，连接AD，AO.
根据题意，得∠BAD＝90°.
∵∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝20°.
∴∠AOD＝2∠ABD＝40°.
∵BD＝6，∴OD＝3.
∴的长为＝π.
8.(2025苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为　40π　m.(结果保留π)
9.(2025德阳)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分).如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是　π　.
10.(2025资阳)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　4－　.
11.(2025内江节选)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，☉O恰好经过点D，交AB于点E.
(1)求证：直线AC是☉O的切线；
(2)若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积.
解：(1)证明：如图，连接OD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.
∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC.
∵∠C＝90°，∴∠ODA＝∠C＝90°.
∴OD⊥AD.
∵OD是☉O的半径，
∴直线AC是☉O的切线.
(2)∵E为AO的中点，∴OA＝2OE.
∵OD＝OE，∴OA＝2OD.
由(1)，得∠ODA＝90°.
在Rt△ADO中，cos∠AOD＝＝.
∴∠AOD＝60°.
∴OD＝＝＝.
∴S阴影＝S△AOD－S扇形DOE＝×3×－＝.第32讲 与圆有关的计算
◎2022年版课标要求
①会计算圆的弧长、扇形的面积.
②了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
◎备考策略
在复习过程中熟练掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式，正多边形也要重视，对于不规则阴影图形面积的计算需要从基础图形开始进行专题强化，要重点练习圆与其他结合图形结合的综合解答题。
◎链接教材
人教：九上P105～P125；华师：九下P58～P76；北师：九下P97～P102.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
考点1　正多边形与圆
图示
中心 正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心
半径 外接圆的半径叫作正多边形的半径
中心角 正n边形每一边所对的圆心角叫作正n边形的中心角，其中θ＝
边心距 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距，其中r＝
面积 S＝lr＝nar(l为正n边形的周长)
例1 如图，A，B，C，D是一个正多边形相邻的四个顶点，若∠CAD＝15°，则这个多边形的边数为( )
A.8 B.9 C.10 D.12
变式1－1 如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，若☉O的周长是6π，则正六边形的边长是 .
变式1－2 如图，五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，直线HG与☉O相切于点B，则∠CBG＝ °.
例2 如图，正方形ABCD内接于☉O，P为上的一点，连接DP，CP.
(1)求∠CPD的度数；
(2)当P为的中点时，CP是☉O的内接正n边形的一边，求n的值.
考点2　弧长、扇形面积计算　 重点
图示
弧长 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝　① 　
扇形面积 (1)若扇形的半径为r，圆心角为n°，则扇形的面积公式为S＝　② 　；(2)若扇形的弧长为l，半径为r，则扇形的面积公式为S＝　③ 　
例3 (1)如图，在☉O中，∠C＝30°，OA＝2，则的长为 .
(2)如图，已知圆心角为90°的扇形AOB的面积为4π，C为上一点，D，E分别为OA，OB上的点，连接CD，CE，DE.若四边形ODCE为矩形，则DE的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
变式3－1 已知圆弧所对圆心角的度数为80°，弧长为8π，则圆弧的半径为 .
变式3－2 现在从一块直径为8 cm的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩(A，B，C在圆上，且∠ABC＝90°)，则这个扇形玉佩的面积是( )
A.4π cm2 B.8π cm2 C.16π cm2 D.16π cm2
例4 (2025成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 .
变式4－1 (2025烟台)如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 .
变式4－2 (2025徐州)如图，☉O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB.
(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.
考点3　圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个半径为l，弧长等于圆锥底面周长的扇形.圆锥的侧面积＝　④ 　
例5 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 .
变式5 若一个圆锥的高为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是( )
A.π B.2π C.2π D.4π
1.如图，正八边形内接于☉O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为( )
A.55° B.50° C.45° D.40°
2.圆心角为120°，半径为3的扇形的面积为( )
A.π B.3π C.6π D.9π
3.(2025绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
4.(2025广安)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为( )
(第4题)
A. B. C. D.5
5.(2025凉山州)如图，△ABC内接于☉O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2，则的长为 .
(第5题)
6.(2025山西改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为 .
7.如图，△ABC内接于☉O，直径BD交AC于点E，过点D作☉O的切线，交BC的延长线于点P.已知BE＝BC，∠P＝50°.
(1)求∠ACB的度数；
(2)若BD＝6，求的长.
8.(2025苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为 m.(结果保留π)
9.(2025德阳)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分).如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是 .
10.(2025资阳)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 .
11.(2025内江节选)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，☉O恰好经过点D，交AB于点E.
(1)求证：直线AC是☉O的切线；
(2)若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积.

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