资源简介

第33讲 尺规作图
◎2022年版课标要求
①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；
②会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形(2022年版课标将“会利用基本作图作三角形”调整为“能用尺规作图”)；
③在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．
◎备考策略
在复习过程中的熟练掌握线段、角、角平分线、垂直平分线和平行线的基本尺规作图。
◎链接教材
人教：七上P126～P128，八上P35～P42，P48～49，P62～P63；华师：八上P85～P92；
北师：七上P111～P113，七下P55～P57，P105～P107，P124～P127，八下P25～P27.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考 点　　基本的尺规作图 重点
1.作一条线段等于已知线段
作法及图示
(1)作射线OP；(2)以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段
2.作一个角等于已知角
作法及图示
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；(2)画一条射线O'A，以点O'为圆心，OP的长为半径作弧，交O'A于点M；(3)以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，与前弧相交于点N；(4)过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角
例1 (2025成都模拟)如图，在△ABC中，M是AB的中点.按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BM于点D，交BC于点E；②以点M为圆心，BD长为半径画弧，交MA于点F；③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线MG，交AC于点N.下列结论不一定成立的是( )
A.∠AMN＝∠B
B.∠MNC＋∠C＝180°
C.AN＝CN
D.AB＝2MN
变式1 如图，点A，B分别在∠MON的两条边OM，ON上.尺规作图：过点B在∠MON内部作射线BC∥OM，并在BC上截取BD＝OA.(不写作法，保留作图痕迹)
　
3.作已知角的平分线
作法及图示
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点N，交OB于点M；(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；(3)作射线OP，OP即为所求作的角平分线
例2 (2025资阳)如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E.若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
变式2 如图，在△ABC中，AB＞AC.尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE.(不写作法，保留作图痕迹)
　
4.作线段的垂直平分线
作法及图示
(1)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；(2)作直线MN，MN即为所求作的垂直平分线
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于( )
A.21 B.24 C.27 D.30
变式3 如图，已知△ABC.尺规作图：在BC上作点D，使得DA＝DC，连接AD.(不写作法，保留作图痕迹)
　
5.过一点作已知直线的垂线
a.点在直线上(图中点P)
作法及图示
(1)以点P为圆心，任意长为半径在点P两侧作弧，交直线于A，B两点；(2)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径在直线同侧作弧，两弧交于点M；(3)连接MP，直线MP即为所求作的垂线
b.点在直线外(图中点P)
作法及图示
(1)在直线另一侧取点M；(2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线于A，B两点；(3)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M同侧的点N处；(4)连接PN，直线PN即为所求作的垂线
例4 如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F.若BF＝5，则CF的长为( )
A.4 B.9 C.2 D.10
变式4－1 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D；
②分别以C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E；
③作射线BE交AC于点F.
若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为 .
变式4－2 如图，已知直线l和l外一点A.尺规作图：作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，不写作法，保留作图痕迹)
　
1.观察图中尺规作图的痕迹，下列结论正确的是( )
A.BD平分∠ABC　　
B.AD＝CD
C.AB＝CB
D.BD⊥AC
2.(2025内江)按如下步骤作四边形ABCD：
(1)画∠EAF；
(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；
(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；
(4)连接BC，DC，BD.
若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( )
A.64° B.66° C.68° D.70°
3.(2025眉山)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10.按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，AD于E，F两点；
②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作射线AP交BC于点G，
则CG的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
4.(2025湖南省卷)如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 .
5.(2025南充)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC＝1，则OE的长是 .
6.(2025陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(不写作法，保留作图痕迹)
　
7.(2025成都模拟)如图，在 ABCD中，在AD上截取AF＝AB，分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点E.若AB＝5，BF＝6，则AE的长为 .
8.(2025广安)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；③画射线AF交BC于点E.若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 .
9.(2025青岛)已知：如图，D是∠AOB内部一点.求作：等腰三角形COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D.
　
10.(2025达州)开启作角平分线的智慧之窗
问题：作∠AOB的平分线OP.
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角尺作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线.
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，② ；
对丙同学的作法陷入了沉思.
任务：
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；
(2)完成对丙同学作法的验证.
已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB.第33讲 尺规作图
◎2022年版课标要求
①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；
②会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形(2022年版课标将“会利用基本作图作三角形”调整为“能用尺规作图”)；
③在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．
◎备考策略
在复习过程中的熟练掌握线段、角、角平分线、垂直平分线和平行线的基本尺规作图。
◎链接教材
人教：七上P126～P128，八上P35～P42，P48～49，P62～P63；华师：八上P85～P92；
北师：七上P111～P113，七下P55～P57，P105～P107，P124～P127，八下P25～P27.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考 点　　基本的尺规作图 重点
1.作一条线段等于已知线段
作法及图示
(1)作射线OP；(2)以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段
2.作一个角等于已知角
作法及图示
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；(2)画一条射线O'A，以点O'为圆心，OP的长为半径作弧，交O'A于点M；(3)以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，与前弧相交于点N；(4)过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角
例1 (2025成都模拟)如图，在△ABC中，M是AB的中点.按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BM于点D，交BC于点E；②以点M为圆心，BD长为半径画弧，交MA于点F；③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线MG，交AC于点N.下列结论不一定成立的是(　D　)
A.∠AMN＝∠B
B.∠MNC＋∠C＝180°
C.AN＝CN
D.AB＝2MN
变式1 如图，点A，B分别在∠MON的两条边OM，ON上.尺规作图：过点B在∠MON内部作射线BC∥OM，并在BC上截取BD＝OA.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图(答案不唯一).　
3.作已知角的平分线
作法及图示
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点N，交OB于点M；(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；(3)作射线OP，OP即为所求作的角平分线
例2 (2025资阳)如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E.若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是(　C　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
变式2 如图，在△ABC中，AB＞AC.尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图.　
4.作线段的垂直平分线
作法及图示
(1)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；(2)作直线MN，MN即为所求作的垂直平分线
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于(　A　)
A.21 B.24 C.27 D.30
变式3 如图，已知△ABC.尺规作图：在BC上作点D，使得DA＝DC，连接AD.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图.　
5.过一点作已知直线的垂线
a.点在直线上(图中点P)
作法及图示
(1)以点P为圆心，任意长为半径在点P两侧作弧，交直线于A，B两点；(2)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径在直线同侧作弧，两弧交于点M；(3)连接MP，直线MP即为所求作的垂线
b.点在直线外(图中点P)
作法及图示
(1)在直线另一侧取点M；(2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线于A，B两点；(3)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M同侧的点N处；(4)连接PN，直线PN即为所求作的垂线
例4 如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F.若BF＝5，则CF的长为(　B　)
A.4 B.9 C.2 D.10
变式4－1 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D；
②分别以C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E；
③作射线BE交AC于点F.
若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为　　.
变式4－2 如图，已知直线l和l外一点A.尺规作图：作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，不写作法，保留作图痕迹)
解：等腰直角三角形ABC如图所示.(答案不唯一)　
1.观察图中尺规作图的痕迹，下列结论正确的是(　D　)
A.BD平分∠ABC　　
B.AD＝CD
C.AB＝CB
D.BD⊥AC
2.(2025内江)按如下步骤作四边形ABCD：
(1)画∠EAF；
(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；
(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；
(4)连接BC，DC，BD.
若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　D　)
A.64° B.66° C.68° D.70°
3.(2025眉山)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10.按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，AD于E，F两点；
②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作射线AP交BC于点G，
则CG的长为(　A　)
A.4 B.5 C.6 D.8
4.(2025湖南省卷)如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是　3　.
5.(2025南充)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC＝1，则OE的长是　　.
6.(2025陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点P即为所求.　
7.(2025成都模拟)如图，在 ABCD中，在AD上截取AF＝AB，分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点E.若AB＝5，BF＝6，则AE的长为　8　.
8.(2025广安)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；③画射线AF交BC于点E.若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为　12　.
9.(2025青岛)已知：如图，D是∠AOB内部一点.求作：等腰三角形COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D.
解：如图，等腰三角形COE即为所求作.　
10.(2025达州)开启作角平分线的智慧之窗
问题：作∠AOB的平分线OP.
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角尺作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线.
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是　SSS　；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②　全等三角形的对应角相等　；
对丙同学的作法陷入了沉思.
任务：
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；
(2)完成对丙同学作法的验证.
已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB.
证明：∵∠AED＝∠AOB，
∴ED∥OB.
∴∠EPO＝∠BOP.
∵EP＝EO，
∴∠EPO＝∠EOP.
∴∠BOP＝∠EOP.
∴OP平分∠AOB.

展开更多......

收起↑