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第34讲 图形的轴对称
◎2022年版课标要求
①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
②能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.
③理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
◎备考策略
复习时要熟练掌握几何图形的基本定义和图形间的内在联系。考查对称图形的识别较多，但是不能忽视图形的折叠问题，复习过程中要全面把握知识点的考查。
◎链接教材
人教：八上P58～P74；华师：七下P98～P110；北师：七下P114～P134，八上P68～P70.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　轴对称与轴对称图形
轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴
轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点
轴对称的性质 (1)关于某直线对称的两个图形是全等图形，如△ABC　①　≌　△DEF；(2)对称轴　②　垂直平分　对应点所连的线段，如直线MN　③　垂直平分　AD
例1 (2025广安)下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是(　D　)
变式1 (2025遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是(　D　)
例2 (2025南充模拟)如图，将△ABC沿过点C的直线MN翻折得到△A'B'C.若∠ACA'＝∠BCB'＝100°，∠A＝32°，则∠B'的度数为(　A　)
A.68° B.64° C.58° D.50°
变式2 如图1，这是中国古代的一种打击乐器编钟.小颖绘制编钟的正面示意图如图2所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形.下列说法不一定正确的是(　C　)
A.AD＝EF B.BC垂直平分DF
C.∠D＋∠F＝180° D.∠ABC＝∠EBC
　
考点2　图形的折叠
例3 如图，将△ABC沿边AB翻折得到△ABD，点E是AD边上一点，且∠CBE＋∠CAE＝180°.
(1)求证：BE＝BD；
(2)若AC＝AB＝4，BC＝2，求DE的长.
解：(1)证明：∵△ABC沿边AB翻折得到△ABD，
∴∠C＝∠D.
∵∠C＋∠CAE＋∠AEB＋∠CBE＝360°，∠CBE＋∠CAE＝180°，
∴∠C＋∠AEB＝180°.
∵∠BED＋∠AEB＝180°，
∴∠BED＝∠C.∴∠BED＝∠D.∴BE＝BD.
(2)∵AC＝AB，∴∠C＝∠ABC.
由(1)，知∠C＝∠D，BE＝BD，∠D＝∠BED.
∴∠ABC＝∠BED.
∴△ABC∽△BED.∴＝.
由翻折，得BC＝BD＝BE＝2.
∴＝.∴DE＝1.
变式3－1 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在点C'，D'的位置，D'E与BC相交于点G.若∠1＝40°，则∠2＝　110　°.
变式3－2 (2025河南)如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　D　)
A.2 B.6－3
C.2 D.6－6
变式3－3 (2025湖北)如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE＝2，则CG的长是(　B　)
A. B.2 C.＋1 D.2－1
几何图形折叠的本质是轴对称，折叠前后两部分图形关于折痕所在直线对称，即折痕所在直线垂直平分对应点所连线段.
　考点3　最值问题
例4 (2024成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为　5　.
变式4 如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE＝2，求EM＋BM的最小值.
解：如图，连接CE，与AD交于点M'，连接BM'.
∵在等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC.
∴CE＝CM'＋M'E＝BM'＋M'E.
∴当M运动到M'处时，EM＋BM的值最小，最小值为CE的长.
如图，过点C作CF⊥AB.
∵等边三角形ABC的边长为6，AE＝2，
∴BE＝AB－AE＝6－2＝4，AF＝BF＝3，EF＝3－2＝1，CF＝＝3.
∴CE＝＝2.
∴EM＋BM的最小值为2.
最短路径问题常结合等腰(边)三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、勾股定理等解决.解题的关键是找准对称轴作对称，然后将线段和的最小值转换成两点之间线段的长度或垂线段的长度.
1.(2025青海省卷)下列图形是轴对称图形的是(　C　)
A B C D
2.如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，则∠BAC的度数是(　B　)
(第2题)
A.30° B.50° C.80° D.100°
3.(2025长沙)如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为(　D　)
(第3题)
A.5 B.6 C.6.5 D.7
4.如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，G是直线l上一点，连接AG，DG，CG，FG，下列说法错误的是(　D　)
A.∠ACB＝∠DFE
B.线段AD，BE，CF被直线l垂直平分
C.△AGC≌△DGF　　
D.AB∥DF
5.如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使点B恰好落到纸片边缘AC上的点B'处，折痕为AD，若∠C＝20°，则∠B'DC的度数为　50°　.
(第5题)
6.如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是边BC上的一点，连接AD，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.
(1)求∠AFC的度数；
(2)若∠C＝30°，求证：DE∥AC.
解：(1)由折叠，
得∠BAD＝∠EAD＝30°.
∴∠AFC＝∠B＋∠BAF＝45°＋30°＋30°＝105°.
(2)证明：∵∠C＝30°，∠AFC＝105°，
∴∠FAC＝180°－∠C－∠AFC
＝180°－30°－105°＝45°.
由折叠，得∠E＝∠B＝45°.∴∠E＝∠FAC.∴DE∥AC.
7.(2025深圳)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　D　)
(第7题)
A. B. C. D.
8.(2025内江)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)，点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0，3)，则点E的坐标为　　.
(第8题)
9.(2025山西节选)如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平.
(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由.
(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F.若AD＝2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由.
解：(1)四边形BDB'E是菱形.理由如下：
由折叠的性质，得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE.
∵DB'∥BC，∴∠B'DE＝∠BED.
∴∠BDE＝∠BED.
∴BD＝BE.∴BE＝BD＝B'D＝B'E.
∴四边形BDB'E是菱形.
(2)DE⊥A'E.理由如下：
由(1)，知四边形BDB'E是菱形，
BD＝B'E＝B'D.
由折叠的性质，得AD＝A'D.
∵AD＝2BD，
∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E.
∴B'D＝A'B'＝B'E.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠2＋∠3＝90°.
∴DE⊥A'E.
10.已知△ABC.
(1)如图1，请在直线l上求作点P，使点P满足PA＋PB最小；
(2)如图2，过点A求作一直线l，使得l上任取一点E(异于点A)，满足C△ABC＜C△EBC.请用尺规作出直线l，并证明你所作的直线l满足“l上任取一点E(异于点A)，均有C△ABC＜C△EBC”的结论.
(说明：①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②C△ABC表示△ABC的周长，C△EBC表示△EBC的周长)
解：(1)如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，交直线l于点P，连接AP.
此时点P满足PA＋PB最小.
(2)如图2，直线l即为所求.
证明如下：如图2，直线l上取一点E(异于点A)，连接DE，BE，EC.
在△BED中，DE＋BE＞BD，BD＝AD＋AB.
由作图，知ED＝EC，AD＝AC.
∴EC＋BE＞AD＋AB.
∴EC＋BE＋CB＞AC＋AB＋CB.
∴C△ABC＜C△EBC.第34讲 图形的轴对称
◎2022年版课标要求
①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
②能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.
③理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
◎备考策略
复习时要熟练掌握几何图形的基本定义和图形间的内在联系。考查对称图形的识别较多，但是不能忽视图形的折叠问题，复习过程中要全面把握知识点的考查。
◎链接教材
人教：八上P58～P74；华师：七下P98～P110；北师：七下P114～P134，八上P68～P70.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　轴对称与轴对称图形
轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴
轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点
轴对称的性质 (1)关于某直线对称的两个图形是全等图形，如△ABC　① 　△DEF；(2)对称轴　② 　对应点所连的线段，如直线MN　③ 　AD
例1 (2025广安)下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是( )
变式1 (2025遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是( )
例2 (2025南充模拟)如图，将△ABC沿过点C的直线MN翻折得到△A'B'C.若∠ACA'＝∠BCB'＝100°，∠A＝32°，则∠B'的度数为( )
A.68° B.64° C.58° D.50°
变式2 如图1，这是中国古代的一种打击乐器编钟.小颖绘制编钟的正面示意图如图2所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形.下列说法不一定正确的是( )
A.AD＝EF B.BC垂直平分DF
C.∠D＋∠F＝180° D.∠ABC＝∠EBC
　
考点2　图形的折叠
例3 如图，将△ABC沿边AB翻折得到△ABD，点E是AD边上一点，且∠CBE＋∠CAE＝180°.
(1)求证：BE＝BD；
(2)若AC＝AB＝4，BC＝2，求DE的长.
变式3－1 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在点C'，D'的位置，D'E与BC相交于点G.若∠1＝40°，则∠2＝ °.
变式3－2 (2025河南)如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为( )
A.2 B.6－3
C.2 D.6－6
变式3－3 (2025湖北)如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE＝2，则CG的长是( )
A. B.2 C.＋1 D.2－1
几何图形折叠的本质是轴对称，折叠前后两部分图形关于折痕所在直线对称，即折痕所在直线垂直平分对应点所连线段.
　考点3　最值问题
例4 (2024成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为 .
变式4 如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE＝2，求EM＋BM的最小值.
最短路径问题常结合等腰(边)三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、勾股定理等解决.解题的关键是找准对称轴作对称，然后将线段和的最小值转换成两点之间线段的长度或垂线段的长度.
1.(2025青海省卷)下列图形是轴对称图形的是( )
A B C D
2.如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，则∠BAC的度数是( )
(第2题)
A.30° B.50° C.80° D.100°
3.(2025长沙)如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为( )
(第3题)
A.5 B.6 C.6.5 D.7
4.如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，G是直线l上一点，连接AG，DG，CG，FG，下列说法错误的是( )
A.∠ACB＝∠DFE
B.线段AD，BE，CF被直线l垂直平分
C.△AGC≌△DGF　　
D.AB∥DF
5.如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使点B恰好落到纸片边缘AC上的点B'处，折痕为AD，若∠C＝20°，则∠B'DC的度数为 .
(第5题)
6.如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是边BC上的一点，连接AD，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.
(1)求∠AFC的度数；
(2)若∠C＝30°，求证：DE∥AC.
7.(2025深圳)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为( )
(第7题)
A. B. C. D.
8.(2025内江)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)，点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0，3)，则点E的坐标为 .
(第8题)
9.(2025山西节选)如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平.
(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由.
(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F.若AD＝2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由.
10.已知△ABC.
(1)如图1，请在直线l上求作点P，使点P满足PA＋PB最小；
(2)如图2，过点A求作一直线l，使得l上任取一点E(异于点A)，满足C△ABC＜C△EBC.请用尺规作出直线l，并证明你所作的直线l满足“l上任取一点E(异于点A)，均有C△ABC＜C△EBC”的结论.
(说明：①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②C△ABC表示△ABC的周长，C△EBC表示△EBC的周长)

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