资源简介

第35讲 图形的平移与旋转
◎2022年版课标要求
①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
◎备考策略
基本性质：在教学过程中，要让学生掌握图形平移和旋转的基本性质：①只改变图形位置，不改变图形的大小和形状；②平移和旋转前后对应角、对应边相等。
◎链接教材
人教：七下P28～P33，九上P58～P77；华师：七下P112～P132；北师：八下P64～P90.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　图形的平移
概念 在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到一个新的图形的运动
要素 平移的方向和距离
性质 (1)平移前、后的两个图形　① 　，如△ABC　② 　△DEF；(2)对应线段平行(或在同一条直线上)且　③ 　，如AB∥DE，AB　④ 　DE；(3)对应角　⑤ 　，如∠BAC　⑥ 　∠EDF；(4)对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等
例1 甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.下列甲骨文中，能由其中一部分平移得到的是( )
变式1－1 如图，☉O的半径OC＝5，直线l与☉O相切于点C，将其沿CO方向平移至直线l'，交☉O于点A，B，交线段OC于点H，若AB＝8，则平移的距离是 .
变式1－2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝53°，BC＝8.将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'.
(1)分别求∠B'DC和∠AA'C'的度数；
(2)若CC'＝3，DB'＝4，求图中阴影部分的面积.
　
考点2　旋转的概念与性质
概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度的几何变换
要素 旋转中心，旋转方向和旋转角
性质 (1)旋转前后图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离　⑦ 　
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点B顺时针旋转得△DBE.若DE∥AB，则∠CBD的度数为( )
A.20° B.35° C.45° D.55°
变式2－1 (2024自贡)如图，在平面直角坐标系中，D(4，－2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置，则点B坐标为( )
(变式2－1)
A.(2，4) B.(4，2) C.(－4，－2) D.(－2，4)
变式2－2 (2025大庆)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠CBA＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E.连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为( )
(变式2－2)
A.2 B.4 C.3 D.6
变式2－3 (2024攀枝花节选)如图1，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α得到△DBE，此时点D落在AC的延长线上.
(1)求α的大小；
(2)如图2，连接AE，F为AE的中点，连接BF，求证：直线BF⊥AD.
　考点3　中心对称与中心对称图形
中心对称图形 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转　⑧ 　，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心
中心对称 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转　⑨ 　，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心，旋转前后对应的点叫作对称点
中心对称的性质 (1)中心对称的两个图形是　⑩ 　图形；(2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过　 　，且被对称中心所　 　
例3 (2025内江改编)古钱币是我国珍贵的历史文化遗产.下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
例4 如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O；
(2)若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由.
1.(2025龙东地区)我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.杨辉三角 B.割圆术示意图 C.赵爽弦图 D.洛书
2.(2025青岛)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180°，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标是( )
A.(－1，－2) B.(1，2) C.(2，1) D.(－2，－1)
3.(2025自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'B'C'D'，则点D'的坐标为( )
A.(－3，5) B.(5，－3) C.(－2，5) D.(5，－2)
4.如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上.若CD＝2，BC＝1，则AC的长为( )
(第4题)
A. B. C. D.3
5.(2025凉山州)如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为 .
(第5题)
6.如图，已知AB＝4，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C中心对称，则AE的长是 .
7.如图，在△ABC中，AB＝BC，O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△CBD重合.
(1)旋转中心是点 ；
(2)若∠ACB＝70°，求旋转角的度数.
8.(2025德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD.若CD＝1，则GE＝( )
(第8题)
A.3 B.2 C.1 D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在边AC上，则EC的长为 .
(第9题)
10.如图，在△ABC中，∠C＝50°，将AB沿射线BC方向平移至DE，使E为BC的中点，连接AD，记DE与AC的交点为O.
(1)求证：△AOD≌△COE；
(2)若AC平分∠BAD，求∠B的度数.
11.(2025湖北节选)在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE.
(1)如图1，求证：△BCE∽△ACD；
(2)如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长.第35讲 图形的平移与旋转
◎2022年版课标要求
①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
◎备考策略
基本性质：在教学过程中，要让学生掌握图形平移和旋转的基本性质：①只改变图形位置，不改变图形的大小和形状；②平移和旋转前后对应角、对应边相等。
◎链接教材
人教：七下P28～P33，九上P58～P77；华师：七下P112～P132；北师：八下P64～P90.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　图形的平移
概念 在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到一个新的图形的运动
要素 平移的方向和距离
性质 (1)平移前、后的两个图形　①　全等　，如△ABC　②　≌　△DEF；(2)对应线段平行(或在同一条直线上)且　③　相等　，如AB∥DE，AB　④　＝　DE；(3)对应角　⑤　相等　，如∠BAC　⑥　＝　∠EDF；(4)对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等
例1 甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.下列甲骨文中，能由其中一部分平移得到的是(　A　)
变式1－1 如图，☉O的半径OC＝5，直线l与☉O相切于点C，将其沿CO方向平移至直线l'，交☉O于点A，B，交线段OC于点H，若AB＝8，则平移的距离是　2　.
变式1－2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝53°，BC＝8.将△ABC沿BC向右平移，得到△A'B'C'，A'B'与AC交于点D，连接AA'.
(1)分别求∠B'DC和∠AA'C'的度数；
(2)若CC'＝3，DB'＝4，求图中阴影部分的面积.
解：(1)由平移性质，得
∠A'B'C'＝∠B＝90°，
∠B'A'C'＝∠BAC＝53°，
AA'∥BC'，A'B'∥AB.
∴∠B'DC＝∠BAC＝53°.
∵AA'∥BC'，∴∠AA'B'＝∠A'B'C'＝90°.
∴∠AA'C'＝∠AA'B'＋∠B'A'C'＝90°＋53°＝143°.
(2)由平移性质，得B'C'＝BC＝8.
∴B'C＝B'C'－CC'＝8－3＝5.
由(1)，得∠DB'C＝90°.
∴S阴影＝S△DB'C＝DB'·B'C＝×4×5＝10.
　
考点2　旋转的概念与性质
概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度的几何变换
要素 旋转中心，旋转方向和旋转角
性质 (1)旋转前后图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离　⑦　相等　
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点B顺时针旋转得△DBE.若DE∥AB，则∠CBD的度数为(　A　)
A.20° B.35° C.45° D.55°
变式2－1 (2024自贡)如图，在平面直角坐标系中，D(4，－2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置，则点B坐标为(　A　)
(变式2－1)
A.(2，4) B.(4，2) C.(－4，－2) D.(－2，4)
变式2－2 (2025大庆)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠CBA＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E.连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为(　B　)
(变式2－2)
A.2 B.4 C.3 D.6
变式2－3 (2024攀枝花节选)如图1，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α得到△DBE，此时点D落在AC的延长线上.
(1)求α的大小；
(2)如图2，连接AE，F为AE的中点，连接BF，求证：直线BF⊥AD.
解：(1)由旋转，得BA＝BD.
∵点D落在AC的延长线上，∠BAC＝45°，
∴∠BDA＝∠BAC＝45°.∴α＝∠ABD＝90°.
(2)证明：如图，连接DF.
由旋转，得∠BDE＝∠BAC＝45°.
∵∠BDA＝∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝90°.∴DE⊥AD.
∵F是AE的中点，∴DF＝AF.
又BF＝BF，BA＝BD，
∴△ABF≌△DBF(SSS).
∴∠FBD＝∠FBA＝∠ABD＝45°.
∴∠FBD＝∠BDE.
∴BF∥DE.∴直线BF⊥AD.
　考点3　中心对称与中心对称图形
中心对称图形 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转　⑧　180°　，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心
中心对称 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转　⑨　180°　，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心，旋转前后对应的点叫作对称点
中心对称的性质 (1)中心对称的两个图形是　⑩　全等　图形；(2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过　 　对称中心　，且被对称中心所　 　平分　
例3 (2025内江改编)古钱币是我国珍贵的历史文化遗产.下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　D　)
例4 如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O；
(2)若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由.
解：(1)如图，连接AD，CF，相交于点O，点O即为所求.
(2)∵△ABC和△DEF
关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF.
∴DF＝AC＝5，DE＝AB＝6，EF＝BC＝4.
∴△DEF的周长为EF＋DF＋DE＝4＋5＋6＝15.
(3)四边形ACDF是平行四边形.理由如下：
连接AF，CD，如图所示.
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴OA＝OD，OC＝OF.
∴四边形ACDF是平行四边形.
1.(2025龙东地区)我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　B　)
A.杨辉三角 B.割圆术示意图 C.赵爽弦图 D.洛书
2.(2025青岛)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180°，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标是(　A　)
A.(－1，－2) B.(1，2) C.(2，1) D.(－2，－1)
3.(2025自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'B'C'D'，则点D'的坐标为(　A　)
A.(－3，5) B.(5，－3) C.(－2，5) D.(5，－2)
4.如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上.若CD＝2，BC＝1，则AC的长为(　C　)
(第4题)
A. B. C. D.3
5.(2025凉山州)如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为　24　.
(第5题)
6.如图，已知AB＝4，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C中心对称，则AE的长是　2　.
7.如图，在△ABC中，AB＝BC，O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△CBD重合.
(1)旋转中心是点　B　；
(2)若∠ACB＝70°，求旋转角的度数.
解：∵AB＝BC，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝∠BCA＝70°.
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠BCA＝180°－70°－70°＝40°.
∵将△ABO旋转后能与△CBD重合，
∴旋转角为∠ABC，旋转角的度数为40°.
8.(2025德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD.若CD＝1，则GE＝(　B　)
(第8题)
A.3 B.2 C.1 D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在边AC上，则EC的长为　4　.
(第9题)
10.如图，在△ABC中，∠C＝50°，将AB沿射线BC方向平移至DE，使E为BC的中点，连接AD，记DE与AC的交点为O.
(1)求证：△AOD≌△COE；
(2)若AC平分∠BAD，求∠B的度数.
解：(1)证明：由平移，
得AD∥BE，AD＝BE.
∴∠OAD＝∠C，∠D＝∠OEC.
∵E为BC的中点，∴AD＝BE＝CE.
∴△AOD≌△COE(ASA).
(2)由(1)，得AD∥BE.∴∠OAD＝∠C＝50°.
∵AC平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠OAD＝100°.
∵AD∥BE，∴∠B＝180°－∠BAD＝80°.
11.(2025湖北节选)在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE.
(1)如图1，求证：△BCE∽△ACD；
(2)如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长.
解：(1)证明：由旋转，得CD＝CA，CE＝CB，∠BCE＝∠ACD.
∴＝.
∴△BCE∽△ACD.
(2)∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°，
∴AC＝CD＝1，AB＝＝＝.
∴tan A＝＝2.
如图，过点D作DH⊥AC于点H.
∴tan A＝＝2.∴DH＝2AH.
在△CDH中，CH2＋DH2＝CD2，
即(1－AH)2＋(2AH)2＝12.
解得AH＝或AH＝0(舍去).
∴DH＝.
在Rt△ADH中，
AD＝＝AH＝.
∵△BCE∽△ACD，
∴＝，即＝.
∴BE＝.

展开更多......

收起↑