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安徽省马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
4.已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，当时，，对任意，有若是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为以为球心，为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比( )
A. 极差相同 B. 平均数相同 C. 方差相同 D. 中位数相同
10.数列的前项和为，且，，则
A. 数列是等差数列( ) B. 数列是等比数列
C. D. 数列的前项和等于
11.已知曲线，则( )
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线与轴有个公共点
C. 曲线上存在一点，使得
D. 曲线上任意一点，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为 ．
13.的展开式中，的系数为 用数字作答
14.已知曲线恒过定点点是曲线上的一个动点，点，当的最小值为时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
曲线在点处的切线为．
求直线的方程
若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值．
16.本小题分
如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且．
求点到平面的距离
点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知，点是边上一点，．
若，，求的面积
若，求的最小值．
18.本小题分
已知双曲线过点，且渐近线方程为．
求的标准方程；
点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点．
的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求；
(ⅱ)证明：直线过定点．
19.本小题分
某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积分，负者积分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为的人有次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者允许并列获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响．
求甲在乒乓球比赛中积分的概率；
记甲在游戏中总得分为的概率为，求的最小值；
若，记事件为“甲在乒乓球比赛中积分”，事件为“甲在游戏中获得奖励”，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
则的方程为，即；
由题意，结合得方程只有一正实数解，
即只有一正实数解，
令，则，
时，，单调递减
时，，单调递增，
且时，时，，
故．
16.解：因为为直径，所以，
由，得，，，
．
在中，，，，
设点到平面的距离为，
由，得；
取中点，连接、，
则，，又，，面，
故AC面，又面，故，
由题意得二面角的平面角为，
在等边中，，
由为等腰直角三角形得，
在中，，
设直线与圆锥底面所成角为，
则．
17.解：，
两边平方得，即，
又由余弦定理知，联立得，
故的面积
由，得，
故，即．
故，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为．
18.解：双曲线过点，渐近线方程为，
，解得；
的标准方程为．
，的左顶点；
直线过点，设直线方程为，，；
，联立方程得，
，
则，；
直线与的左支交于，两点，，；
即，解得；
综上所述，的值为．
直线过点，设直线的方程为，，，则；
，联立方程得，
则，得；
；
同理可求得，；
当直线斜率存在时，如图所示：
，，三点共线，，即，
则，化简得
令，即，即直线过定点
当直线斜率不存在时，如图所示：
此时，则，解得，；
直线的方程为，也过定点；
直线恒过定点．
19.解：甲在乒乓球比赛中积分，则甲与乙、丙、丁三人的场比赛中，胜场，负两场，故概率为；
甲在游戏中总得分为，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得积分，抽奖次中次；
或甲在乒乓球比赛中获得积分，抽奖两次中次，故所求概率为
；
故当时，的最小值为
乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：，，或，，
则发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁人，故，
记事件“甲在乒乓球比赛中积分，乙、丙、丁各得分”为，
则，，
事件“甲在乒乓球比赛中积分，另人得分为，，分”为，
则，
且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲次抽奖至少中一次”，或者“甲次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故
由全概率公式，
所以

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