资源简介

2026年山东省青岛五十八中高新学校高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
5.函数在的零点个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.若圆经过，，圆心在直线上，则圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的奇函数，满足，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球与四个面都相切的球球心，且与，分别截于、，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，，则必有( )
A.
B.
C.
D. ，的大小关系不能确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，及平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.从装有个红球和个蓝球的袋中均不小于，每次不放回地随机摸出一球记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为，“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知椭圆的左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，左顶点为，，是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______．
13.设等比数列满足，，则的最大值为 ．
14.过点的直线与圆：相切于点，与曲线交于点，若的中点为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，，数列是公比为的等比数列，．
求，；
求证．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
判断的形状；
设，且是边的中点，求当最大时的面积．
17.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
设，当时，在上的极小值点为，求证：．
注：
18.本小题分
已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图、所示．
求椭圆的标准方程；
若直线的斜率为，求翻折后异面直线与所成角的余弦值；
当，不在轴上时，如图，求面积的最大值．
19.本小题分
有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞记个细胞分裂次后共有个细胞的概率为．
求、；
求；
已知：若和均为离散型随机变量，则证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，的公比为，则为正整数，，
依题意有
由知为正有理数，故为的因子，，，之一，
解得，
故，
．
16.解：因为，所以，
所以，整理得，即，
因为，，
所以，即，
故为等腰三角形．
由题意知，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
此时不妨设，，
由余弦定理知，，
所以，即，
又为的中点，所以，
由知，
所以是边长为的正三角形，
所以的面积．
17.解：对求导，可得，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，即，解得，
当时，，则，在上单调递减；
当时，，则，，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：当时，，
对求导，可得，
令，对求导，可得，
令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因为，，
，，
所以由零点存在定理可知，存在，使得，
即，也就是，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以是在上的极小值点，且，
将代入得：，
因为，且函数在上单调递减，
所以，
综上，得证．
18.解：由题意知，解得
椭圆的标准方程为．
翻折前，所在直线方程为，
联立，消得，解得，
不妨设，翻折后，建立空间直角坐标系，
则
于是．
设异面直线与所成角为，
．
故异面直线与所成角的余弦值为．
设翻折前所在直线方程为，
联立，消得，
设，令，
由韦达定理有．
翻折后，，
故，
则，
所以，
于是．
所以，
令，有，于是．
令，由对勾函数的性质，
在上单调递增．
所以当时取得最小值，为，此时取得最大值，
的最大值为此时，解得．
所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为．
19.解：由题意可得，
若第二次分裂出现个细胞，有两种情况：
第一种：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成个；
第二种：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞各分裂成个．
；
若第三次分裂出现个细胞，有两种情况：
第一种：第二次个细胞分裂成个细胞；
第二种：第二次个细胞每个细胞各分裂为个．
．
第次分裂后只有个细胞，则这次分裂中，有次由个细胞分裂成个细胞，有次由个细胞分裂成个细胞；
设第次由个细胞分裂成个细胞，后面的次都是由个细胞分裂成个细胞；
则
．
证明：记分裂次后细胞个数为，令，
设表示第次分裂后生成的第个新细胞，经过第次分裂后增加的细胞个数，
即分裂产生个细胞时，分裂产生个细胞时，
分裂产生个细胞时，可得；
可知，
得；
可知，；
得，
求得，
得，
是首项和公比都为的等比数列，，
易知，
当时，，
即，
，
累加可得
，
即．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑