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九年级数学学科第一次月综合作业
（时间100分钟 满分120分 闭卷）
一．选择题（共10小题，30分）
1．﹣2的绝对值是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
2．2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（　　）
A．24.2×108 B．2.42×108
C．2.42×109 D．0.242×1010
3．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（　　）
A．自 B．立 C．科 D．技
4．下列计算正确的是（　　）
A．a3÷a＝a2 B．a2 a3＝a6 C．a7﹣a3＝a4 D．（a4）3＝a7
5．如图，在△ABC中，点D是边AC延长线上一点，DE∥AB，若∠1＝115°，∠B＝55°，则∠ACB的度数为（　　）
A．55° B．65° C．60° D．70°
6．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+2相交于点P，则点P的坐标为（　　）
A．（3，5） B．（5，3） C．（5，2） D．（2，5）
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接DE，交AC于点F，连接OE，若OF＝2cm，则AC的长是（　　）
A．12cm B．15cm C．10cm D．9cm
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
9．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝4，A（0，2），C（2，0），点M是AD上一动点，N为AB的中点，连接MN，MC，当MN＝MC时，点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．（1，2）
10．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（　　）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底
二．填空题（共5小题，15分）
11．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式　 　 ．
12．若关于x的不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是　 　 ．
13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中C（秋分）邮票的概率为　 　 ．
14．如图，四边形OABC是平行四边形，AB＝1，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D．则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
15．在矩形 ABCD 中，BC = 2AB = 6，点 P 在 AD 边上，且 DP = 2，则点 P 到矩形对角线所在直线的距离是　 　 ．
三．解答题（共8小题，75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）DeepSeek的横空出世，引爆了国人对AI的关注，越来越多的AI软件不断涌现．某校十分重视信息技术与教学的融合，呼吁学生多利用AI软件辅助学习．宣传一个月后，该校对八年级学生就宣传前后AI软件辅助学习使用情况进行了一次随机问卷调查．现把一班和二班收集到的数据进行整理，分别得到了统计表和统计图．
宣传前后AI软件辅助学习使用情况统计表（一班）
不同AI软件使用个数 0 1 2 3 4 合计
宣传前 18 12 10 6 4 m
宣传后 0 5 12 n 13 m
（1）m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）汇总宣传前后两个班AI软件辅助学习使用个数的数据，回答下列问题：
①本次调查中，宣传后一班AI软件辅助学习使用个数的中位数是　 　 ，宣传后二班AI软件辅助学习使用个数的众数是　 　 ；
②请对宣传前后该校学生使用AI软件辅助学习的情况作出对比分析．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点P（n，0）（0＜n＜3），过点P作x轴的垂线，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点M，交直线y＝x﹣2于点N．若MN＝4，求n的值．
19．（9分）用两块完全相同的含有45°角的三角板拼成如下的图形，E是边BC的中点，连接DE．
（1）用无刻度的直尺和圆规过点E作ED的垂线EF，与射线CA交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：EF＝ED．
20．（9分）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．（9分）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．
（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
22．（10分）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
收集数据 某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）．
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分．
建立模型 求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围．
23.(10 分) 综合与探究如图 1, 等腰三角形ABC中，AB=AC, 在AC的右侧确定点D, 使得△ACD是以AD为腰的等腰三角形，且AC的对角∠ADC与等腰三角形BAC的顶角相等。我们将△ADC称为△ABC的 “和谐三角形”.
【问题发现】(1) 如图 1,△ADC为等腰三角形ABC的 “和谐三角形”,且DA=DC. 猜想线段BC,AC,AD之间的数量关系，并证明.
【类比探究】(2) 如图 2,△ADC为等腰三角形ABC的 “和谐三角形”,且∠BAC=∠ADC=90°, 连接BD交AC于点O, 若AC=2, 求线段AO的长.
【拓展延伸】(3) 如图 3, 等腰三角形ABC中，AB=AC,,BC=6. 若平面内存在点D, 使得△ADC为等腰三角形ABC的 “和谐三角形”, 请直接写出CD的长.

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