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上海市长宁区2025-2026学年第二学期高三数学教学质量调研试卷
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
2.对于随机事件、，“”是“、互相独立”的 条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要
3.将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是．
A. B.
C. D.
4.已知．
存在，使得函数在上严格增；
对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点．
对于以上两个结论，下列判断正确的是( )
A. 正确，错误； B. 错误，正确；
C. 正确，正确； D. 错误，错误．
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.已知集合，，则 ．
6.已知正实数、满足，则的最小值等于 ．
7.已知向量，，若，则实数 ．
8.在的展开式中，含项的系数为 ．
9.函数，的值域为 ．
10.已知随机变量的分布为
则的期望为 ．
11.设等比数列的前项和为，若，，则
12.在中，是的中点，，，则 ．
13.将个不同的小球依次随机投入个篮子中，每个篮子不空的概率为 用分数表示．
14.已知复数满足：，且，则的最小值为 ．
15.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为为了使，则、两点间距离为 精确到
16.等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有 个
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了名学生体重数据单位：：，，，，，，，，，．
求该组数据的极差和第百分位数；
依据体检数据，求得这名学生体重单位：关于身高单位：的回归方程为，已知这名学生身高单位：的平均数为，求的值精确到
体重与身高平方的比称为体重指标，体重指标不低于称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表．
男生 女生 总计
观察值 预期值 观察值 预期值
不肥胖
肥胖
总计
求表中的值已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值精确到．
18.本小题分
如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，．
若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值
19.本小题分
已知其中，
若函数的图象过点，求不等式的解集；
若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围．
20.本小题分
双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、．
求的离心率；
设直线与轴交于点，且，求点的横坐标；
若、关于原点对称，证明：直线经过定点．
21.本小题分
设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为．
设，，若，求实数的值；
设，，若，且，求的值；
已知，，且对任意闭区间，与均存在．
求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有”
参考答案
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17.解：将数据从小到大排列：，，，，，，，，，，
故极差，
因不为整数，故第百分位数是第三个数为．
，
因回归方程为过样本中心点，故，
得
由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计，
所以，
男生肥胖的预期值．

18.解：设圆锥的底面半径为，母线为，，
圆锥的侧面积，所以，
则圆锥的高，
则圆锥的体积；
因为平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，则与平面所成角为，所以，
又因为，所以，取的中点，连结，，
因为，，
所以，，为二面角的平面角，
因为，，
所以，，
所以二面角的平面角的正切值为．

19.解：将代入，可得，得，
故，该对数函数为定义在上的减函数，
故由可得，解得，
故不等式的解集为
由已知可得，
即，故，
整理可得，故，得，
由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于，
设，
当时，，即函数在区间上有两个零点，
故，解得，
当时，，即函数在区间上有两个零点，
故，不等式无解，
综上可得实数的取值范围为

20.解：将代入双曲线方程可得：，
因为双曲线中，所以，
即离心率：；
设，直线方程为，
令，得，即可知，
令，得，即可知，
由，可得：，
则由纵坐标对应相等可得，
由知双曲线化简为，代入得，
解得或因为此时与点重合故舍去，即；
设，由关于原点对称得，
计算得直线的斜率可得
所以有，
设直线，联立，
可得：，
设，
由韦达定理得，
由可得：，
整理得：，
所以，
所以，
代入韦达定理可得：，
所以，
所以，
所以，
所以，则或，
当时，直线恒过点，不符合题意，
故，此时直线恒过点．

21.解：由题意知函数，在区间上的最小值为，
由题意得，
当时，恒成立，
在区间上单调递增，无最小值，不满足题意；
当时，当时，，
在区间上单调递减，
当时，，
此时在区间上单调递增，
此时，满足题意；
当时，恒成立，
在区间上单调递减，无最小值，不满足题意；
综上所述，．
由题意得，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
此时，
因为，所以，
又在区间上单调递减，即，
所以，故；
当时，在区间上单调递减，
此时，满足；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，
因为，在区间上单调递减，
所以，则，得到，解得，
综上所述：或或．
必要性：若在区间上严格增，
设，
因为在区间上严格增，
所以，
又，，
所以，又在区间上严格增，
所以，必要性成立；
充分性：假设在上不严格增，
则存在，使得，
令，设，，
由函数在区间连续，
所以必存在，使得，
令，则，，
由于，函数在区间上不可能是严格增函数，
若函数在区间上为常数，可取，
则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数，
则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到，
故是的真子集，即与题设矛盾．
因此假设不成立，在上严格增，充分性成立．
综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，
当，且时，均有”

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