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上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.已知甲乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有( )
A. 且 B. 且
C. D.
3.设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.设定义点的相伴集合为且，其中为正实数给出以下两个命题：
若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为；
设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则．
则正确的选项是( )
A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式的解集为 ．
6.函数的零点是 ．
7.计算： ．
8.若函数在处的切线方程为，则 ．
9.若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ．
10.若，则 ．
11.若的二项展开式中，第项为常数项，则 ．
12.已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 ．
13.已知实数满足，则的方差的最大值为 ．
14.设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
15.已知复数满足，记满足的复数组成的集合为若且，则的取值范围是 ．
16.如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴母线与轴夹角为的圆锥及其内部若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”当时，的最大值为 结果精确到
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，．
求证：；
若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
为落实全民健身条例，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研数据显示，居民主要选择商业健身场馆如健身房体育中心和社区公共运动场如小区健身点街心公园两类场所为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组岁且岁和中老年组岁，从该区随机抽取名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表：
青壮年 中老年 合计
商业健身场馆
社区公共运动场
合计
请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关；
用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取个人，再从个人中随机抽取个人，用随机变量表示这个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望．
参考公式及数据：，其中．
19.本小题分
已知函数，其中且．
设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由；
设若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值．
20.本小题分
已知无穷数列为严格增数列，且双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上．
若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标；
若，且点为线段的中点，求实数的取值范围；
已知直线过双曲线的右顶点若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数．
设求证：是的“调整函数”；
设若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围；
已知是的“调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合若，判断是否一定是常值函数，并说明理由．
参考答案
1.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：取的中点，连接，
因为，，
则，所以四边形是平行四边形，
又，四边形是矩形，
所以，
为等边三角形，为的中点，
所以，
，平面，
所以平面，
平面，所以．

梯形的面积为，
设四棱锥的高为，体积为，
得，
所以平面，
以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
设面的法向量为，
，，
取，
则，，
设直线与平面所成角为，
．
直线与平面所成角的大小为．

18.解：根据已知数据计算空缺值，得到完整列联表如下：
青壮年 中老年 合计
商业健身场馆
社区公共运动场
合计
因为，
因此有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关．
选择社区公共运动场的居民共人，其中青壮年人、中老年人，抽样比为，
因此抽取的样本中青壮年人数：，中老年人数：．
设抽取的人中中老年人数为，则青壮年人数为，．
因为青壮年共人，故，解得，又，
因此，对应的可能取值为．
总情况数为，
对应或时，，
对应时，，
对应时，，
对应时，，
因此，的分布列为：
所以

19.解：由题意知：，
分母不等于得：，
解得：，
所以函数的定义域为，
要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称，
则，解得，
当时，，定义域为，
此时，满足奇函数的定义，
所以存在正数，使得函数为奇函数．
由题意知：，
则等价于，其中且，
化简得：，
令，，
原命题等价于：的解集为单元素集合，
方程有两相等实根，且不等于，
所以，
化简得：，
解得：，
验证根是否等于，
当时，根，满足题意，
当时，根，满足题意，
方程有两不等实根，且其中一个根为，
则将代入方程：，
当时，此时方程为，
解得：舍或，满足题意．
综上所述：正数的取值为或或．

20.解：当时，双曲线的方程为，此时．
根据双曲线渐近线方程可得．
根据可得，焦点在轴上，所以焦点坐标为．
设，因为在双曲线的右支上，所以．
在双曲线的右支上，所以．
已知点为线段的中点，根据中点坐标公式可得．
因为，所以，则．
即实数的取值范围是．
的右顶点为．
若直线的斜率为，此时，为异支弦，．
若直线的斜率不为，设直线的方程为，代入，
得．
当时，
设，则
．
设，则．
当为异支弦时，，所以，即．
所以，所以异支弦最小值为．
当为同支弦时，．
因为，所以．
所以同支弦长最小值为，由已知，所以．
若是等差数列，设公差为，则一定存在一个充分大的，使．
此时，不合题意，所以不存在这样的等差数列．

21.解：因为，
所以．
所以
所以是的“调整函数”；
由，得．
由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立，
即，即．
因为存在实数，满足上式，所以，即．
若，则成立；
若，则，所以，且．
设，则在单调递增．
当时，因为，
所以存在，当时，，单调递增，
所以当时，，不满足题意；
当时，，，所以，在上单调递减，
所以恒成立．
当时，对，恒成立．
综上，调整系数的取值范围是．
不一定是常值函数．
例：令
．
此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足．
又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”，
此时不是常值函数．

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