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江苏盐城市响水县2025～2026学年下学期九年级模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）
A. B. C. D.
3.我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，四边形内接于圆，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 与取值有关
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为 ．
10.若分式有意义，则的取值范围是 ．
11.因式分解∶ ．
12.若，化简 ．
13.二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是 ．
14.如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端 A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是 米．
15.如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，点A在双曲线y=上，点 B在双曲线y=（ k≠0）上，AB // x轴，过点A作AD⊥x轴于 D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：；
四、解答题：本题共10小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中
20.(本小题9分)
某校为了解九年级女生的体育考试准备情况，随机抽取部分女生进行立定跳远测试，测试成绩由高到低分为“优秀”“良好”“合格”与“不合格”四个等级，根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1) 扇形统计图中“不合格”对应的扇形圆心角为______度，并补全条形统计图；
(2) 该校九年级有400名女生，请你估计成绩未达到良好的女生人数；
(3) 某班现拟选派甲、乙两位成绩“优秀”的女生参加校运会立定跳远比赛，预赛分为A，B，C，D四组进行，选手由抽签确定分组．请利用树状图或者列表的方法，求甲、乙两名女生恰好分在同一组的概率．
21.(本小题9分)
如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD的四个顶点都是格点，E点是格点，且在CD边上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1) 画格点F，并连且AF，使AF＝AE，且AF⊥AE；
(2) 在线段BC上画一点M，连接ME，使BM＋DE＝ME；
(3) 直接写出（2）中线段CM的长度为 ．
22.(本小题8分)
如图，在中，过点 C作， E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
(1) 求证：四边形AFCD是平行四边形．
(2) 若，，，求 AB的长．
23.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 若二次函数的图象的顶点在直线上，求；
(3) 设时，当时，则的函数值的取值范围是 ；
24.(本小题8分)
长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．）
(1) 求塔架的长度；
(2) 求风叶的长度．（精确到米）
25.(本小题9分)
如图，是上的四个点，连接交于点，过点作交的延长线于点，延长交直线于点
(1) 判断四边形的形状并说明理由；
(2) 求证:是的切线:
(3) 若求的长.
26.(本小题9分)
【情境】
图①的正方形通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余）
【操作】
如图③，小明将正方形沿虚线对折，再沿，裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题：
(1) 求线段的长；
(2) 求点到直线的距离；
(3) 【探究】
小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形．
请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出的长．
27.(本小题9分)
平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”．
如图2，已知，点．
(1) ①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______；②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值；
(2) 若点在直线上．
①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围；
②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标；
(3) 若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】12
15.【答案】
16.【答案】12
17.【答案】解：原式.
18.【答案】解：，
由①，得；
由②，得；
∴不等式组的解集为；
在数轴上表示解集如图：

19.【答案】解：原式=
=
=，
当时，原式==．

20.【答案】【小题1】
解：由题意得，抽取的人数为（人），
扇形统计图中“不合格”对应的扇形圆心角为．
“合格”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：36．
【小题2】
解：（人）．
估计成绩未达到良好的女生人数约120人．
【小题3】
解：列表如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名女生恰好分在同一组的结果有4种，
甲、乙两名女生恰好分在同一组的概率为．

21.【答案】【小题1】
如图所示

【小题2】
如图所示

【小题3】

22.【答案】【小题1】
是 AC的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，即，
四边形 AFCD是平行四边形；
【小题2】
，
∽，
，即，
解得：，
四边形 AFCD是平行四边形，
，
．

23.【答案】【小题1】
解：把代入，得
，解得，
∴；
【小题2】
解：把代入，得：
，
∴，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点坐标在直线上，
∴，
整理，得，解得，
∴或；
综上：或；
【小题3】

24.【答案】【小题1】
解：根据题意，可知，，，
，
米．
答：塔架的长为米．
【小题2】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
设风叶的长度为，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
解得米．
答：风叶的长为米．

25.【答案】【小题1】
解：四边形是菱形，
理由如下：，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
【小题2】
证明：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
为等边三角形，
同理，为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小题3】
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
．

26.【答案】【小题1】
解：由题意，可知：，，
∴，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
∴，即；
【小题2】
解：作，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知：，，，
∴，
∴，即点到直线的距离为；
【小题3】
解：由题意，作图如下：
或
由作图可知：或．

27.【答案】【小题1】
解：①由题意得，
过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”，
∴矩形的长为，矩形的宽为，
∴矩形的周长为，矩形的面积为；
②∵，点，
当时，，
∵，
∴，
解得，
当时，，此时不存在n值，
当时，，
∵，
∴，
解得，
∴或6．
【小题2】
解：①，
∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12，
∵点在直线上，
分别将代入，可得x分别为0，1；
结合图象可知：；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6，
分别将代入，可得x分别为，3；
∴点P的坐标为或；
【小题3】
解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，，
∴矩形的宽为，
∵或，
如图，
设抛物线的解析式为，经过点，
∴，解得，
∴，
同理抛物线经过点，
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式或．

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