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2025-2026学年湖北省黄冈市黄梅二中高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导运算正确的是（　　）
A. B.
C. （e2x）′=2xe2x-1 D.
2.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是，则f(1)+f′(1)的值等于 （ ）
A. 1 B. C. 3 D. 0
3.从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（　　）种.
A. 120 B. 60 C. 30 D. 20
4.函数的大致图像为（　　）
A. B.
C. D.
5.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（　　）
A. 81 B. 64 C. 27 D. 24
6.已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　）
A. [0，+∞） B. （0，+∞） C. [-1，+∞） D. （-1，+∞）
7.已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（-2）=3，且f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（3x2-5x）f（3x2-5x）＜-6的解集为（　　）
A. B.
C. D. （-∞，-1）∪（1，+∞）
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＞S8＞S12.当Sn取得最大值时n的值为k,使得Sn＞0成立的最大正整数n的值为m.则k+m的值为（　　）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.用数字0，1，2，3，5组成数字，下列说法正确的有（　　）
A. 可以组成60个没有重复数字的三位数
B. 可以组成54个没有重复数字的四位奇数
C. 可以组成15个小于500且没有重复数字的三位偶数
D. 可以组成14个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数
10.数列{an}是等比数列，公比q≠±1，其前n项和为Sn，则（　　）
A. 当q＞1时，{an}为递增数列
B. 若S5=3，S10=9，则S15=21
C. 若S5，S15，S10成等差数列，则a5，a15，a10成等差数列
D. 若an+1，a3n+1，a2n+1成等差数列，则Sn，S3n，S2n成等差数列
11.如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（　　）
A. f（x）=2x B.
C. f（x）=log2x（x＞0） D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线y=3x+2a与曲线y=lnx+2x相切，则实数a的值为 .
13.已知等比数列{an}中，首项a1=2，公比q＞1，a2，a3是函数f（x）=x3-6x2+32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是 .
14.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）=f（x）-g（x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若与在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+ax2-2x在x=1处取得极值.
（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]的最大值与最小值.
16.(本小题15分)
记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3Sn+an+1=1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ex（x2-2x-a）.
（1）若a=-1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）=f（x）-x有两个零点，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，{Sn}是公比为3的等比数列.
（1）求Sn与an；
（2）设bn=anSn，求数列{bn}的前k项和Tk（k≥2）；
（3）判断是否存在正整数s,t,r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差数列？若存在，写出s,t,r的一组值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2+alnx,a∈R.
（1）若曲线f（x）在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当时，f（x）≥（a+2）x,求a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】BCD
11.【答案】AD
12.【答案】
13.【答案】1022
14.【答案】[，）
15.【答案】解：（1）由f（x）=x3+ax2-2x,得f′（x）=3x2+2ax-2，
因为函数f（x）在x=1处取得极值，
所以f′（1）=3+2a-2=0，解得，
故，定义域为R，
f′（x）=3x2-x-2，令f′（x）＞0，得x＞1或，
令f′（x）＜0得，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，
显然x=1为极小值点，故，
f（x）单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
x 1 （1，2）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故f（x）的最大值为2，最小值为．
16.【答案】
17.【答案】极大值为，极小值为0
18.【答案】解：（1）因为{Sn}是公比为3的等比数列，且S1=a1=3，
所以，
当n≥2时，
，
所以；
（2）因为，
，
所以，
当n≥2时，{bn}是公比为9的等比数列，
因为k≥2，
所以；
（3）假设存在s,t,r（s＜t＜r），使as，at，ar成等差数列，
若s=1，则3+2×3r-1=4×3r-1，
3+2×3r-1是奇数，4×3r-1是偶数，
奇数与偶数不可能相同，矛盾；
若s≥2，则2×3s-1+2×3r-1=4×3t-1，
得1+3r-s=2×3t-s，
因为r≥t+1，
所以1+3r-s≥1+3t-s+1=1+3×3t-s＞2×3t-s，与假设矛盾，
所以不存在正整数s,t,r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差数列．
19.【答案】解：（1）∵f（x）=x2+alnx,∴，
∴f′（1）=2+a,
又f（x）在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，∴，
即，∴．
（2），x＞0．
①当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，令f′（x）=0，得．
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（3）由f（x）≥（a+2）x,得a（x-lnx）≤x2-2x在上恒成立．
令g（x）=x-lnx,x＞0，则，令g′（x）=0，得x=1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=1＞0，即x-lnx＞0，
则在上恒成立．
令，，
则
=．
∵，∴lnx≤1，则x+2-2lnx＞0，
令h′（x）=0，得x=1，
当时，h′（x）＜0，当x∈（1，e]时，h′（x）＞0，
∴h（x）在[，1）上单调递减，在（1，e]上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=-1，
∴a≤-1，即a的取值范围是（-∞，-1]．
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