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2025-2026学年广东省广州市奥林匹克中学高二（下）段考数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导结果正确的是（　　）
A. （sin3）′=cos3 B. （cosx）′=sinx
C. D.
2.在（1+3x）5展开式中，x2的系数为（　　）
A. 15 B. 90 C. 270 D. 405
3.已知函数f（x）=x2+ex，则=（　　）
A. 2e B. 3e C. -2-e D. 2+e
4.函数的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=lnx-ax在区间[1，3]上不单调，则实数a的取值范围为（　　）
A. a≥1 B. C. D.
6.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去A、B、C三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲、乙到同一所学校，丙不到A学校，则不同的安排方式有多少种（　　）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种
7.若存在x∈（-2，-1），使得不等式x2-kx+2＞0成立，则实数k的取值范围为（　　）
A. B. C. （-3，+∞） D. [-3，+∞）
8.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜2x,且f（5）=3，则不等式f（2x-1）+4x＞4x2-21的解集是（　　）
A. （-∞，3） B. （3，+∞） C. （0，3） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（　　）
A. 任意站成一排，有120种排法 B. 学生不相邻，有24种排法
C. 教师相邻，有48种排法 D. 教师不站在两边，有72种排法
10.已知的展开式中x2的系数为6，则（　　）
A. B. 展开式中各二项式系数之和为16
C. 展开式中第4项为-4x D. 展开式中不含常数项
11.设函数f（x）=（x-1）2（x-4），则（　　）
A. x=3是f（x）的极小值点 B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C. 当1＜x＜2时，-4＜f（2x-1）＜0 D. 当-1＜x＜1时，f（2-x）＞f（x）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算= （用数字作答）.
13.若3是函数f（x）=（x-2）（x-3）（x-a）的一个极值点，则f（0）= .
14.如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁（m,n∈N*），它们排成一条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）.爬行规则如下：
①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行；
②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落.
当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为f（m,n）.则f（1，2）= ；若f（m,n）=12，写出满足条件的一组（m,n）为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记正项数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，．
从①；②；③这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项的和Tn，求证：Tn＜1．
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=-xlnx+2x+1.
（1）求函数f（x）的单调区间以及极值；
（2）求函数f（x）在[1，e2]上的最值.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，F是BC中点，PA=PD，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求证：DF⊥平面PAD；
（2）求二面角A-PB-F的余弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点坐标分别为.
（1）求椭圆C的方程.
（2）已知A，B为椭圆C上异于M的两点，且直线MA，MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形.
（i）求证：直线AB的斜率为定值；
（ii）求△MAB面积的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax2-x-1.
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程.
（2）当时，证明：当x≤0时，f（x）≤0.
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】-15
13.【答案】-18
14.【答案】2
（1，12）（或（2，6），（1，12），（4，3）mn=12，任意一组正整数解都符合要求）

15.【答案】解：（Ⅰ）选择①，
当n≥2时an=Sn-Sn-1==n+1，
而n=1时，满足左式，
∴an=n+1；
选择；②，
；
选择③，
由（an+1+an）（an+1-an-1）=0，得an+1-an=1，从而得an=n+1．
（Ⅱ）证明：，
∴，
∵n∈N*，
∴，
∴．
16.【答案】（1）单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；极大值为e+1，无极小值 （2）f（x）max=e+1，f（x）min=1
17.【答案】（1）证明：取AD的中点M连接PM，
∵平面ABCD为菱形，∠BAD=60°，F为BC的中点，
∴DF⊥BC，
又∵AD∥BC，∴DF⊥AD，
∵PA=AD，M为AD的中点，PM⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，即PM⊥DF，
∵DF⊥AD，DF⊥PM，AD∩PM=M，
∴DF⊥平面PAD．
（2）由（1）得DF⊥AD，以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
的方向为y轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，
设AB=2a则A=（2a，0，0），，，P（a，0，a），
设是平面PAB的一个法向量，
则，∴，
令，则，
同理可求面PBF的法向量，
，
故二面角A-PB-F的余弦值为．
18.【答案】 （i）证明如下，
设直线AB的方程为y=kx+t（由对称性知k存在），如下图：
联立得x2+4（kx+t）2=8，化简得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2-2）=0，
由Δ＞0知8k2-t2+2＞0，则，
因为kMA+kMB=0，所以，即，
化简得（2k-1）（2k-1+t）=0，因为直线AB不过点M（2，1），所以2k+t≠1，
故；（ii）2
19.【答案】y=（e2-3）x-e2+1 设g（x）=f′（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1．
显然g′（x）≤0在（-∞，0]上恒成立，所以f′（x）在（-∞，0）上单调递减．
又f′（0）=0，所以f′（x）≥0在（-∞，0]上恒成立，
所以f（x）在（-∞，0）上单调递增，
故f（x）≤f（0）=0，即当x≤0时，f（x）≤0
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