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北京市第八十中学2025-2026学年第二学期4月阶段测评高一数学（B卷）
一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。
1.已知平面向量，，且，则（　　）
A. B. 2 C. D. 4
2.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是异面直线
D. 若，则或，是异面直线
3.在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（　　）
A. B. C. D.
4.在中，，若点满足，则（　　）
A. B. C. D.
5.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是（　　）
A. 钝角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不是等腰三角形
6.正方体上的点M，N，P，Q是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知向量满足．则（　　）
A. 5 B. C. D.
8.如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　）
A. B. C. D.
9.记内角的对边分别为，若，则（　　）
A. B. C. D. 或
10.已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为6）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（　　）
A. 144 B. 108 C. 96 D. 48
12.向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”.
其中，所有正确说法的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.已知正方形的边长为2，且为边中点，则 ．
14.在中，若，则 ．
15.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为 ．
16.如图，，，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有2个不同的点，则 ．
17.在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论：
①平面；
②点轨迹的长度为；
③三棱锥的体积恒为定值；
④平面截正方体所得的截面面积为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共3小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题20分)
如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面．
19.(本小题20分)
在中，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值．
条件①：的面积为6；
条件②：边上中线的长为；
条件③：边上的高的长为2．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题25分)
某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，．
(1)求的长度；
(2)公园拟在边上设置休息点与不重合，同时将修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段智慧步道的造价总和记为（单位：万元）．
①将表示为的函数；
②若不超过96万元，求的最大值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】B
13.【答案】
14.【答案】 /
15.【答案】
16.【答案】9
17.【答案】①②④
18.【答案】解：（1）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，所以，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）连接，因为点分别为棱的中点，则，
因为，，则，
可得，则，
且平面，平面，则平面，
取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，
又因为分别为的中点，则，，
且，，则，，
可知为平行四边形，则，可得，
且平面，平面，则平面，
又因为，平面，所以平面平面.

19.【答案】解：（1）由以及正弦定理得，
因为，所以，则，故；
（2）选①：因为，所以，
则由余弦定理得，
则，
由正弦定理得，，即；
选②：设边上的中点为，则，
在中利用余弦定理得，
即，即，得或，
则或，此时有两解，不符合题意；
选③：因为，即，得，
因为，，所以，
所以
，
在中利用正弦定理得，，即；
综上，选①或③，均有，

20.【答案】解：（1）在三角形中，由余弦定理得，
代入得到，解得．
（2）①因为，
即，，
又因为，则，
在三角形中，由正弦定理可得，
则，，
且，
所以，其中；
②若，，可得，
因为，则，化简得，
即，当，则，
则，解得，
再考虑到，其中，，
故的最大值为．

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