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第20章 数据的初步分析
20.2.3 中位数与众数
1. 掌握中位数、众数的意义. (重点)
2. 能结合平均数、中位数和众数三者的差别，对数据做出初步的判断. (难点)
1.平均数
对于n个数据x1 , x2 , x3 ,… xn ,则这n个数据的平均数
（2）平均数的缺点：
容易受个别极端数据（特大或特小）的影响.
（3）避免缺点方法:
为了消除这个缺点，当出现这种情形时，可以将特殊数据去掉.
（1）平均数定义：
其中 、 、…、 表示 、 、…、 出现的次数或者在结果中的比重
2.加权平均数：
对于n个数据x1 , x2 , x3 ,… xk ,则这n个数据的平均数
（2）特点：某个数据的“权”越大，对平均数的影响就越大.
数据的权能够反映的数据的相对“重要程度”.
（1）加权平均数定义：
问题1　某公司对外宣称员工的平均年薪为9万元，经过调查，发现该公司全体员工年薪(单位：万元)的具体情况如下:
年薪/万元 18 15 14 12 9 7 6 5.5 5
员工人数 2 1 3 2 1 6 5 4 1
知识点一：中位数
根据表中数据可以算出该公司员工的平均工资为：
1. 看了这张调查表，该公司对外宣称员工的平均年薪为9万元.你认为该公司的宣传是否失实？
2. 9万元能代表该公司员工年薪的一般水平吗？
平均年薪确实是9万元，公司的宣传是真实的
由于个别人的年薪特别高，将平均工资“拉高”了，平均数受极端数值的影响,不能代表公司员工年薪的一般水平.
那什么样的数可以表示“一般水平”呢？
在公司的25名员工中，年薪不低于9万元的有 人，而低于9万元的却有 人，并且其中有 人不超过6万元， 人不超过5.5万元，年薪 万元的人数最多，为 人.
9
16
10
5
7
6
如果我们将上面的25个数据按大小顺序排列，不难发现数据7万元处于中间位置，也就是说
(1) 年薪不低于7万元的有15人，不少于总人数的一半;
(2) 年薪不高于7万元的有16人，也不少于总人数的一半.
一起探究
中位数
一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫作这组数据的中位数.
中位数的确定：
1.将数据排序（从大到小或从小到大）;
2.根据数据个数的奇偶性来进行确定.
中位数是唯一确定的，但是中位数可能是也可能不是数组中的数据
2.如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平．
1.中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的.
3.如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，不小于或不大于这个中位数的数据各占一半，反映一组数据的中间水平．
中位数的特征及意义：
数学老师布置10道选择题，课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，根据图表，全班每位同学答对的题数的中位数是______.
答对题数
学生数
9
4人
20人
18人
8人
问题2　某商店有200L，215L，185L，180L四种型号的冰箱，一段时间内共销售58台，其中四个型号分别售出6台，30台，14台，8台，在研究电冰箱出售情况时，商店经理关心这组数据的平均数或中位数吗？他更关心的是什么数据？
哪种商品的销量最好
知识点二：众数
众数：
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
1.众数可能存在也可能不存在；
2.众数可能是唯一的，也可能是有多个的；
3.众数是出现次数最多的数据，而不是次数.
注意：
中位数和众数也都是刻画数据集中趋势的统计量.
中位数是一个位置代表值，用来描述数据的集中趋势.
如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平．
中位数的应用
当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数更能反映数据的整体水平
众数的应用
例2 8位评委对选手甲的评分情况如下：9.0 ，9.0 ，9.2 ，9.8 ，8.8 ，9.2 ，9.5 ，9.2, 求这组数据的中位数和众数.
解： 将这8个数据按从小到大的顺序排列，得
8.8 ， 9.0 ，9.0 ，9.2 ， 9.2 ， 9.2 ， 9.5 ，9.8
数据 9.2出现的次数最多，所以这组数据的众数是9.2.
其中正中间的两个数据是 9.2 ， 9.2 ，它们的平均数是9.2 ，所以这组数据的中位数是9.2.
问题3　某公司是以生产各种模具为主的大型企业，公司销售部有营销员15人.销售部为了制定下一年度每位营销员的销售定额，统计了这15人本年度的销售额的情况：
销售额/万元 330 280 150 40 30 20
营销员人数 1 1 2 6 4 1
（1）这15人本年度的销售额的平均数是 ，中数是 ，众数是 .
（2）如果公司销售部把平均数作为每位营销员的下一年度销售定额，你认为是否合理？为什么？
（3）你认为用哪个数据作为销售定额比较合理？试说出你的理由.
知识点三：平均数、中位数、众数的选用
86
40
40
解：（2）我们看到，在上面的问题中，虽然86万元是这15个人销售额的平均值，但是销售额超过86万元的只有4人，还不到总人数的 ，绝大多数人的销售额不到其一半( 不超过40万元).可见，如果以平均值86万元作为下一年度每位营销员的销售定额，将会超过绝大多数人的承受能力，不利于调动多数营销员的积极性.
（3）40万元这个数据：
①它是众数；
②它是中位数，销售额不小于它的人数为10人，小于它的仅有5人.
因此，若将40万元定为下年度的销售定额，则更加符合大多数人
的承受能力，有利于调动营销员的积极性.
平均数
思考：平均数、中位数和众数分别从哪些方面反映了一组数据的特点？
平均数、中位数和众数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息：
能充分利用利用数据提供的信息，它的使用最为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态，但是不能反映个体性质，易受极端值（即一组数据中与其余数据差距很大的数据）的影响.
中位数
代表了这组数据数值大小的“中点”,不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.
众数
反映一组数据中出现次数最多的一组数据，一组数据中众数可能不止一个，也可能没有.
我们已经看到，有时是平均数更能反映问题，有时则是中位数或众数更能反映问题. 总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据集中趋势的统计量，选择的统计量要能够更客观的反映实际问题.
中位数和众数
中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于正中间的一个数据或正中间两个数据的平均数
众数：一组数据中出现次数最多的数
平均数、中位数、众数的意义：
平均数表示“一般水平”，
中位数表示“中等水平”，
众数表示“多数水平”.
1、跳远比赛中，所有15位参赛者的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否进入前8名，只需要知道所有参赛者成绩的( )
A、平均数 B、众数 C、中位数 D、加权平均数
C
2.某鞋店在一周内同一款不同尺码品牌鞋的销量情况如图所示,若尺码不同的每双鞋的利润相同,则下一周该鞋店应多进鞋的尺码是(　　)
A.22.5 cm B.23 cm C.23.5 cm D.24 cm
C
3.某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示.请求出这些队员年龄的平均数、众数、中位数，并解释它们的意义.
人数
13
14
15
16
17
18
年龄/岁
0
2
4
6
8
10
解：这些队员年龄的平均数为：
(13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1)÷22=15，
队员年龄的众数为15，
队员年龄的中位数是15.
意义：由平均数是15可说明队员们的平均年龄为15；
由众数是15可说明大多数队员的年龄为15岁；
由中位数是15可说明有不少于一半队员的年龄大于或等于15岁，有不少于一半队员的年龄小于或等于15岁.

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