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北京市第八十中学 2025-2026学年第二学期高一年级 4月阶段测评
数学试题（A卷） 参考答案
一、单选题（每小题 4分，共 48分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A B B B C D B
题号 11 12
答案 A A
1．D
【详解】将直线 化为 ，则这两条平行直线间的距离为 .
2．A
【详解】设 B的坐标为（a,b），由题意可知 ，解得 a=2，b= 2，
所以 B点坐标为是（2, 2）.
3．B
【详解】如图，作出符合题意的图形，
抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ．
动圆的圆心在抛物线 上，且与直线 相切，
则动圆圆心到 的距离等于到准线 的距离，
由抛物线定义可知，动圆恒过定点 ．
4．A
【详解】因为椭圆的一个焦点为 ，所以焦点在 轴上，又离心率为 ，所以 ，解得
，所以椭圆的方程为 ，
5．B
【详解】设M（x,y）, ∵ 点M为双曲线 上,∴
=
6．B
【详解】若 为椭圆方程，则 且 ，
所以“ ”是“ 为椭圆方程”的必要不充分条件.
7．B
【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为 ，得 ，
又由双曲线的离心率为 ，得 ，即 ，则 ，
可得双曲线的方程为 ，因为最大直径为 ，所以把 代入双曲线方程，解得
，故该花瓶的高为 ．
8．C
【详解】由 ，则 或 ，
当 时，曲线为椭圆，当椭圆的焦点在 轴上时， ，
则 ，可得 符合；
当椭圆的焦点在 轴上时， ，
则 ，可得 符合；
当 时，曲线为双曲线，则 ，
则 ，可得 符合.
综上， 有 3个不同的值.
9．D
【详解】若要直线 l与两个坐标轴分别交于点M，N，
则直线 l的斜率存在，故设直线 l方程为 ，
代入到椭圆方程 可得 ，
根据提意可得 ，所以 ，
根据题意对方程 ， ，
所以令 得 ，令 得 ，
所以 ，
当且仅当 时取等，所以 面积的最小值是 .
10．B
【详解】双曲线 的右焦点为 ，
因为过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率 ，
即 ，所以离心率 .
11．A
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，由对称性不妨令点 在第四象限，
过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 和 ，作 于 ，
则 ，由 ，得 ， ，
因此 ，而 ，则 ，
即 ，于是 ，所以 .
12．A
【详解】解：对于①，用 替换方程中的 ，方程形式不变，
所以曲线 关于直线 对称，故①正确，
对于②，设点 是曲线上任意一点，则 ，
则点 到原点的距离为 ，
由 ，解得 ，当且仅当 时取等号，故②正确，
对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为 1，
所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为 2，故③错误.
二、填空题（每小题 4分，共 24分）
13．
【详解】已知直线 与直线 平行，
两直线斜率相等，即 ，解得 ，
直线 的截距为 1，直线 的截距为 0，不相等， ．
14．
【详解】解：设 ， ，根据题意得 ，则 ，
又 ，将 ， 代入上式得： .
15．
【详解】由题意得 a<0,所以标准方程为 ，由渐近线 ，所以 ， ，填
．
16．
【详解】由题可得抛物线 是开口向右的抛物线，可得 ，即 ，
因此准线方程为 ，
由横坐标为 的点到焦点的距离为 ，可得： ，
即 ，解得 .
17．
【详解】方法 1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，设 可得 ，
联立方程
可解得 （舍），点 在椭圆上且在 轴的上方，
求得 ，所以
方法 2：焦半径公式应用
解析 1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，即 ，求得 ，所以
.
18．
【详解】由题知 ，解得 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
又 ，得到 ，整理得到 ，
由于使得 成立的点恰好是 个，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
又 ，所以 ，得到 ，
三、解答题（每小题 14分，共 28分）
19．（1） （2）证明见解析 （3）
【详解】（1）由题知 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 l的方程为 ， ， ，
联立 ，消去 y得， ，
由韦达定理知 ，因为 为线段 的中点，
所以 ， ，所以 ，
所以 为定值.
（3）当直线 的斜率为 时，由（2）知直线 l的方程为 ，
由 ，消去 y得， ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，所以 ，
设 ，
则点 到直线 的距离为 ，
其中 ，当 时 取到最大值为 ，
此时 面积最大，最大值为 .
20．（1） （2）存在定点 ，
【详解】（1）由题知，椭圆 C过点 和 ，
所以 ，解得
所以椭圆 C的方程为 ．
（2）
假设在 y轴上存在定点 P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设 ， ，
由 ，得 ，∴ ，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点 P在以 EF为直径的圆上，即 PE⊥PF
，
∴
∴ 恒成立
∴ ，解得
∴
∴存在定点 ，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．北京市第八十中学 2025-2026学年第二学期高一年级 4月阶段测评
数学试题（A卷）
一、单选题（每小题 4分，共 48分）
1．两平行直线 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知线段 的中垂线方程为 且 ，则 点坐标为．
A． B． C． D．
3．若一动圆的圆心在抛物线 上，且与直线 相切，则此圆恒过定点（ ）
A． B． C． D．
4．设椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 ，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．点M为双曲线 上任意一点，点 O是坐标原点，则 的最小值是
A．1 B． C．2 D．
6．“ ”是“ 为椭圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是
双曲线 ： 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面 若该花瓶横截面圆的最
小直径为 ，最大直径为 ，双曲线的离心率为 ，则该花瓶的高为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆锥曲线 的离心率 为方程 的根，则满足条件的m有几个不同的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知椭圆 ，直线 l与两个坐标轴分别交于点M，N．且与椭圆 E有且只有一个公共点，
O是坐标原点，则 面积的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．2
10．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则 的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是原点，如果
，那么 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．6
12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下
列三个结论：
①曲线 关于直线 对称；
②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 1；
③存在一个以原点为中心 边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内（含边界）.
其中，正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（每小题 4分，共 24分）
13．若直线 与直线 平行，则实数 a的值为________．
14．已知点 ，Q为圆 上任一点，则线段 AQ中点M的轨迹方程是___________.
15．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线方程为______.
16．若抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为 ，则 ___________．
17．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为
圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_______.
18．设点 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使得
成立的点恰好是 个，则实数 的范围是______．
三、解答题（每小题 14分，共 28分）
19．（14分）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．直线 过点 且不垂
直于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（3）若点 是椭圆 上一动点，当直线 的斜率为 时，求 面积的最大值．
20．（14分）已知椭圆 C： 过点 ，过其右焦点 且垂直于 x轴的直线交椭圆
C于 A，B两点，且 ．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若直线 l： 与椭圆 C交于 E，F两点，线段 EF的中点为 Q，在 y轴上是否存在定点 P，
使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．2025-2026学年第二学期高一年级4月阶段测评
数学试题(A卷)
一、单选题（每小题4分，共48分）
1.两平行直线3x+2y-1=0与6x+4y+1=0之间的距离为()
A.3
B.3
c.2w13
D.3v13
13
26
13
26
2.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为.
A.(2,-2)
B.(-2,2)
C.（-2,-2)
D.(2,2)
3.若一动圆的圆心在抛物线x2=16y上，且与直线y+4=0相切，则此圆恒过定点（)
A.(0,-8)
B.(0,4)
C.(0,-4)
D.(0,8)
4.设椭圆
+京=1(m>0,>0)的一个焦点为(0,2)，离心率为；，则此椭圆的方程为()
A.+-1
B.
c.+-
D.号+=l
1612
1612
6448
6448
5.点M为双曲线y
-x2=1上任意一点，点0是坐标原点，则|OM的最小值是
A.1
B.√2
C.2
D.2W2
6.“0=1为椭圆方程“的（)
m 2-m
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以
看成是双曲线C:。-片=1Q>0b>0的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶
横截面圆的最小直径为40cm,最大直径为60cm,双曲线的离心率为√6，则该花瓶的高为()
A.90cm
B.100cm
C.110cm
D.120cm
试卷第1页，
8.已知圆锥曲线
+上=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根，则满足条件的m有几个不同
4 m
的值()
A.1
B.2
C.3
D.4
D,已知椭圆E:+y=1,直线1与两个坐标轴分别交于点M,N.且与椭圆E有且只有一个公
共点，O是坐标原点，则aOMW面积的最小值是()
A.4V2
B.4
C.22
D.2
,已知双曲线c:-片1(@>0，b>≥0的右焦点为F,过点F且倾斜角为5的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则C的离心率取值范围是()
A.（1,2]
B.[2,+o)
C.（1,5
D.「V5,+o∞
11.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，如果
|BF=3,∠BFO=
2
3，
那么AF的值为()
A.1
B
C.3
D.6
12.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:(x2+y2°=4x2y被称为“四叶玫瑰线”（如图所示)，
给出下列三个结论：
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